人教A版（2019）必修第一册《4.5.3 函数模型的应用》提升训练
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是
A. B. C. D.
2.（5分）某人年月日到银行存入一年期存款元，若年利率为，按复利计算，到年月日可取回款
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
3.（5分）某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为
A. B. C. D.
4.（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是
参考数据：，，
A. 年
B. 年
C. 年
D. 年
5.（5分）若，且，则的最大值是
A. B. C. D.
6.（5分）某省每年损失耕地万亩，每亩耕地价值元，为了减少耕地损失，决定按每亩耕地价值的征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少万亩，为了既减少耕地损失又保证此项税收一年不少于万元，则的取值范围为
A. B. C. D.
7.（5分）某食品的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是
A. 小时 B. 小时
C. 小时 D. 小时
8.（5分）如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动转动角度不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，则这个函数的图像大致是
A. B.
C. D.
9.（5分）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减少，则他至少要经过小时后才可以驾驶机动车．
A. B. C. D.
10.（5分）在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在以下四个函数模型中，，为常数，最能反映，间函数关系的可能是
A. B. C. D.
11.（5分）有浓度为的溶液，从中倒出后再倒入水称为次操作，要使浓度低于，这种操作至少应进行的次数为参考数据：，
A. B. C. D.
12.（5分）某省每年损失耕地万亩，每亩耕地价值元，为了减少耕地损失，决定按每亩耕地价值的征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少万亩，为了既减少耕地损失又保证此项税收一年不少于万元，则的取值范围为
A. B. C. D.
13.（5分）已知，，，函数，若，则下列不等关系不可能成立的是
A.
B.
C.
D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在中，，为边上的点，且，，则面积的最大值为________.
15.（5分）将将进价为元的商品，按每件元售出，每天可销售件，若每件售价涨价元，其销售量就减少件，为使所赚利润最大，则售价定为__________.
16.（5分）如果本金为，每期利率为，按复利计算，本利和为，则存期后，与之间的函数关系是 ______ ．
17.（5分）已知函数，若在区间上的最大值为，则的取值范围为______．
18.（5分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为元，每桶水的进价是元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.
销售单价元
日均销售量桶
请根据以上数据分析，这个经营部将桶装水定价在____元桶才能获得最大利润
三 、解答题（本大题共6小题，共60分）
19.（12分）已知二次函数满足，且．
求函数的解析式；
若函数，的最小值为，求实数的值．
20.（12分）［2021金华一中高一期末］某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加，我们收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量(单位：万只)如下：
产量W和月份m之间可能存在以下四种函数关系：①；②；③；④(上式中均有a＞0，a≠1,b>0).
20-1.请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；
20-2.请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第(1)问剩下的三个模型中任选两个函数模型进行建模，求出其函数表达式，再分别求出这两个模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好。(参考数据：)
21.（12分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，，且，设，绿地面积为．
写出关于的函数解析式，并求出它的定义域；
当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．
22.（12分）已知二次函数满足，且
求函数的解析式：
求函数在区间上的最大值和最小值.
23.（12分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为平方厘米的矩形纸板，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒如图设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边，的长分别为厘米和厘米，其中当时，求纸盒侧面积的最大值.
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了函数的单调性与单调区间，二次函数模型，必要条件，充分条件与充要条件的应用，解答该题的关键是熟练掌握函数的单调性与单调区间，二次函数模型，必要条件，充分条件与充要条件的计算，
根据已知及函数的单调性与单调区间，二次函数模型，必要条件，充分条件与充要条件的计算，“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是哪一个.
解：函数在区间上单调，
或，
“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是
故选
2.【答案】A;
【解析】
此题主要考查指数函数模型的应用，由题设知，到年月日可取回款元，到年月日可取回款元，到年月日可取回款元，属于基础题.
解：到年月日可取回款元，
到年月日可取回款元，
到年月日可取回款元.
故选
3.【答案】D;
【解析】解：设原来森林蓄积量为
某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，
一年后，森林蓄积量为
两年后，森林蓄积量为，
经过年，森林蓄积量为，
要增长到原来的倍，需经过年，
则，
故选：．
根据题意，写出函数解析式，此函数为指数函数，定义域，选则．
考查指数函数的应用及其函数图象．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了指数函数模型的应用以及对数的运算，属于中档题.
由题意可得，根据指对互化式可得，再利用换底公式计算的值即可.
解：设经过年后全年投入的研发资金开始超过万元，
则，
，
，
又为正整数，
该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是
故选
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查的知识点是函数的最值，首先得到用表示的式子，再利用二次函数的思想求出最值，关键是注意的取值范围 .
解：因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ， 所以 即 ，
所以当 时 取最大值 .
故选
6.【答案】A;
【解析】此题主要考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．求出征收耕地占用税后每年损失耕地，乘以每亩耕地的价值后再乘以得征地占用税，由征地占用税大于等于求解的范围．
解：由题意，知，
解得故选
7.【答案】C;
【解析】
该题考查函数模型的运用，属于一般题．
由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程求出，的值，运用指数幂的运算性质求解即可．
解：为自然对数的底数，，为常数．当时，，
当时，，
，
解得，
当时，．
故选C．
8.【答案】C;
【解析】
此题主要考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．
解：观察可知阴影部分的面积变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项符合要求.
9.【答案】B;
【解析】
本题意实际问题为依托，主要考查了指数函数的性质及实际应用，属于基础题．
设个小时后才可以驾车，根据题意可知，，求得．
解：设个小时后才可以驾车，
由题得方程
，
即至少要经过小时后才可以驾驶机动车．
故选：．
10.【答案】B;
【解析】
此题主要考查函数模型的选择及应用，属于基础题．
由表中的数据可知，其函数值增长较快，由此可得出答案.解：由表中的数据可知，其函数值增长较快，
由此可知，最能反映 ， 间函数关系的可能是指数函数模型.
故答案选：
11.【答案】C;
【解析】
此题主要考查函数的应用问题，指数不等式和对数运算，属于基础题.
利用取对数法是解决本题的关键．根据条件设至少操作次才能使其浓度低于，建立不等式关系，根据指数函数和对数函数的性质解不等式即可．
解：设操作次数为时，溶液的浓度为，
由，
得，
故选
12.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是基础题．
求出征收耕地占用税后每年损失耕地，乘以每亩耕地的价值后再乘以得征地占用税，由征地占用税大于等于求解的范围．
解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为万亩，
则税收收入为，
知，
整理得，
解得
故选
13.【答案】C;
【解析】
该题考查了二次函数的性质，对称轴，二次函数的对称性，属于中档题．
由找到对称轴，再分别讨论和的情况，由对称性问题得解．
解：若，
则对称轴，
若，则答案A，B正确，
若，则是最大值，
，
答案C错误，答案D正确，
故选C．
14.【答案】;
【解析】
根据余弦定理和同角的三角函数的关系以及三角形的面积公式和二次函数的性质计算即可．此题主要考查了余弦定理和同角的三角函数的关系以及三角形的面积公式和二次函数的性质，属于中档题．
解：如图：
设，，，在三角形中，根据余弦定理可得，
，
，
故答案为
15.【答案】元;
【解析】设每件售价定为元，则销售件数减少了件．每天所获利润为：，故当时，有此时定价为，即售价定为每件元时，可获最大利润，其最大利润为元．
16.【答案】y=a（1+r）x;
【解析】解：当本金为，每期利率为，按复利计算时，
本利和与存期的函数关系为
．
故答案为：．
根据按复利计算时，本利和与存期的函数关系是指数函数模型，写出它的函数关系式即可．
该题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题目．
17.【答案】;
【解析】
，令可得 ，或，或 当时，应有，由此求得的取值范围，当时，应有，由此求得的值，综合可得的取值范围．
这道题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
解：函数是偶函数，图象关于轴对称． 且，令可得 ，或，或 ．
若在区间上的最大值为，，解得．
当时，应有，由此求得．
当时，应有，解得．
综上可得，的取值范围为 ，
故答案为
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，属于中档题．通过表格可知销售单每增、日均销售量减少桶而列出达式，用二次函的简单质即得结论．
解：设每桶水在进价的基础上上涨元时，利润为元，
由表格中的数据可以得，日销售的桶数为，
及，
，
利润，
又，
当时，利润最大，即当每桶水的价格为元时，利润取得最大值，为元.
故答案为
19.【答案】解：（1）设f（x）=a+bx+c，则f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，
∵f（x+1）-f（x）=2x-1，
∴a=1，b=-2，c=3，
则f（x）=-2x+3；
（2）令t=lox+m，则t∈[m-1，m+1]，
则y=f（lox+m）=f（t）=-2t+3=（t-1）2+2，
当1≤m-1 m≥2时，则f（m-1）=3 m=3，
当1≥m+1 m≤0时，则f（m+1）=3 m=-1，
当m-1＜1＜m+1 0＜m＜2时，f（1）=3不成立，
综上，m=-1或m=3．;
【解析】
设出解析式，表示出，代入已知等式确定出，，的值，即可求出解析式；
令，得到关于的二次函数，由的最小值为，利用二次函数性质确定出的值即可．
该题考查了二次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
20.【答案】去掉函数模型④，因为根据所给数据可推断函数为增函数，而函数模型④是减函数，所以函数模型④与表格数据不吻合.(4分);由题意，将点，代入函数模型①得，解得，
所以，
所以，.
将点，代入函数模型②得，解得，
所以
所以，.
将点，代入函数模型③得，解得.
所以，
所以. (10分)
(模型①②③中任选两个即可)
与实际肉鸡产量作差比较发现，选函数模型①与实际差距最大，选函数模型③与实际差距最小，所以如果选①③或者②③，函数模型③更好；如果选①②，函数模型②更好. (12分);
【解析】略
21.【答案】解：（1）由AE=AH=CF=CG，
依题意，S△AEH=S△CGF=，
S△BEF=S△DGH=（a-x）（2-x），
则y=SABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a--（a-x）（2-x）=-2+（a+2）x，
由题意，解得：0＜x≤2，
∴y=-2+（a+2）x，其中定义域为（0，2]；
（2）∵y=-2+（a+2）x的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是x=，
∴y=-2+（a+2）x在（0，）递增，在（，+∞）上递减．
若＜2，即a＜6，则x=时，y取最大值；
若≥2，即a≥6，则y=-2+（a+2）x，0＜x≤2是增函数，
故当x=2时，y取最大值2a-4；
综上所述：若a＜6，则AE=时绿地面积取最大值；
若a≥6，则AE=2时绿地面积取最大值2a-4．;
【解析】
求得，，利用，化简即得结论；
通过可知的图象为开口向下、对称轴是的抛物线，比较与的大小关系并结合函数的单调性即得结论．
该题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
22.【答案】解：由题意：为二次函数，设，
，
，
则
又，
，即，
由，解得：，
所以函数的解析式：；
由知，
根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴，
函数在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值，，
又，
在处取得最大值，，
故函数在区间上的最大值和最小值分别为，
;
【解析】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数在闭区间的最值问题，考查了分析和运算能力，属于中档题．
设函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
利用二次函数的性质求解在区间上的最大值和最小值即可.
23.【答案】
解：因为矩形纸板的面积为平方厘米，
从而包装盒子的侧面积，，
因为，
故当时，侧面积最大，最大值为平方厘米． ;
【解析】
此题主要考查二次函数模型.
求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值即可.
