2022-2023学年江苏省盐城市康居路教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3. 下列反比例函数的图象经过第二、四象限的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 在平行四边形中，，则的大小是( )
A. B. C. D.
6. 估计的值在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
7. 下列性质中，矩形不一定具有的是( )
A. B. C. D.
8. 二氧化氯固体溶于水可制得二氧化氯消毒液有甲、乙、丙、丁四瓶二氧化氯消毒液，如图，平面直角坐标系中，轴表示消毒液的质量，轴表示二氧化氯的浓度瓶中二氧化氯固体的质量与消毒液的质量的比值，其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶消毒液中含二氧化氯固体质量最多的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
10. 如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为______ ．
11. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______ ．
12. 若和是反比例函数图象上的两个点，则 ______ 填“、或”
13. 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置从点运动到了点，则的度数为______ ．
14. 菱形中，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为______ ．
15. 矩形的对角线，相交于点，如图，已知，，则为______ ．
16. 将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出并写出其余两个顶点的坐标______ ，______ ，______ ，______ ；
画出关于点的中心对称图形．
20. 本小题分
定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的因子二次根式．
若与是关于的因子二次根式，则 ______ ；
若与是关于的因子二次根式，求的值．
21. 本小题分
如图，在平行四边形中点、分别在上且连接、试说明与互相平分．
22. 本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点，一次函数的图象与轴的交点为．
求反比例函数解析式；
连接，求的面积；
根据反比例函数的图象，当时，直接写出的取值范围：______ ．
23. 本小题分
如图，在中，将沿着方向平移得到，其中点在边上，与相交于点．
求证：为等腰三角形；
连接、、，试说明：当点在中点时，四边形是矩形．
24. 本小题分
阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
这个中点四边形的形状是______；
如图，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明．
25. 本小题分
如图，某小区的大门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱是宽度为的矩形，伸缩电动门中有个全等的菱形，每个菱形边长为，大门的总宽度为门框的宽度忽略不计
当每个菱形的内角度数为如图时，大门打开了多少？
当每个菱形的内角度数张开至为时，大门未完全关闭，有一辆宽的轿车需进入小区，计算说明该车能否直接通过参考数据：
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
求的值；
如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界，
当时，区域的整点个数为______ ；
当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ；
直线过一个定点，若点为此定点，
问题：______ ，______ ；
问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围．
27. 本小题分
在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，以为边作平行四边形，点落在边上，点落在矩形内或其边上．
如图，当，，且时，
求证：四边形是正方形；
连接，直接写出的面积______ ；
如图，当且时，若，连接，
______ ；用含的代数式表示
求面积的取值范围；
如图，当与的长度之比为：，且时，在点从点运动到点的过程中，直接写出点运动的路线长______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、函数中，，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，不符合题意；
B、函数中，，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，不符合题意；
C、函数中，，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，符合题意；
D、函数中，，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：不能合并，故选项A不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
不能化简，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类二次根式的方法可以判断；根据二次根式的乘方可以判断；根据二次根式的额化简可以判断；根据算术平方根可以判断．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在 中，，且，
．
故选：．
根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，而，
，
即，
故选：．
根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
7.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，而矩形的相邻两边不一定相等，
与不一定相等，
故A符合题意；
矩形的两组对边分别平行、四个角都是直角且对角线相等，
，，，
故B不符合题意，不符合题意，不符合题意，
故选：．
由四边形是矩形，而矩形的相邻两边不一定相等，可知与不一定相等，可判断符合题意；由矩形的性质得，，，可判断不符合题意，不符合题意，不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质，正确理解和应用矩形的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，可知的值即为二氧化氯固体质量，
描述甲、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
甲、丁两瓶二氧化氯固体质量相同，
点乙在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，
乙瓶的的值最大，即二氧化氯固体质量最多，丙瓶的的值最小，即二氧化氯固体质量最少，
故选：．
根据题意可知，的值即为二氧化氯固体质量，再根据图象即可确定乙瓶二氧化氯固体质量最多，丙瓶二氧化氯固体质量最少，甲、丁两瓶二氧化氯固体质量相同．
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，，
．
故答案为：．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于，列出不等式即可求出的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
10.【答案】
【解析】解：点、分别是、的中点，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
解得，
故答案为：．
根据题意可知这两个最简二次根式是同类二次根式，然后列出方程求解即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
12.【答案】
【解析】解：点，在反比例函数的图象上，，
，，
．
故答案为：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出和的值，然后比较它们的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据题意得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行解答即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是理解题意，找出已知条件．
14.【答案】
【解析】解：在菱形中，对角线、相交于点，，，
菱形的面积是：．
故答案为：．
直接利用菱形的面积公式得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形的性质是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，，
，
，
故答案为：．
根据矩形的对角线平分且相等和直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，可以求得的长．
本题考查矩形的性质、直角三角形中角所对的直角边与斜边的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：，
和一次函数联立得：，
整理得：，
由根与系数的关系得：，
有一根是，则，
，
当时，，
，
．
故答案为：．
根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
将代入得：
原式．
【解析】直接利用乘法公式化简合并同类项得出即可．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式是解题关键．
19.【答案】
【解析】解：由和可知其平移规律为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，如图所示即为所求，点，；
故答案为：，；，；
如图：即为所求．
根据平移前后点坐标和的坐标可画出图形，进而得到坐标即可；
将三角形三个顶点分别绕点顺时针旋转得到对应点，连接即可．
本题考查了作图旋转变换和平移变换，结合旋转的角度和图形的特殊性求出旋转后的坐标是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
故答案为：；
根据题意得，
所以，
解得，
即的值为．
根据新定义得到，然后解方程即可；
根据新定义得到，然后解方程即可．
本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
与互相平分．
【解析】证明≌，推出，，可得结论．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22.【答案】
【解析】解：点在一次函数的图象上，
，解得，
，
反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，
，
反比例函数解析式为；
令，则，
解得，
，
，
的面积；
当时，，
观察图象，当时，的取值范围是．
故答案为：．
由一次函数解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数解析式；
根据一次函数的解析式求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；
求得时的反比例函数的函数值，然后观察图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、三角形的面积、反比例函数的性质，数形结合是解题的关键．
23.【答案】证明：，
，
平移得到，
，
，
，
，
即为等腰三角形；
解：当为的中点时，四边形是矩形，
理由是：，为的中点，
，，
平移得到，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据平移得出，求出，再求出即可；
求出四边形是平行四边形，再求出四边形是矩形即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24.【答案】平行四边形
四边形为菱形．理由如下：
连接与，如图所示：
和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，
四边形为菱形．
【解析】解：中点四边形是平行四边形；
理由如下：连接，如图所示：
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
见答案
【分析】
连接，由三角形中位线定理得出，，，，得出，，即可得出结论；
连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明≌，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论．
本题考查了中点四边形、菱形的判定方法、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握中点四边形，证明三角形全等得出是解决问题的关键．
25.【答案】解：连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
大门的总宽度为，
大门打开的宽度，
大门打开了；
该车不能直接通过，
理由：，，
，
大门的总宽度为，
大门打开的宽度，
，
该车不能直接通过．
【解析】连接，根据菱形的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，最后进行计算，即可解答；
根据已知可得是等腰直角三角形，从而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：因为双曲线经过点，
所以．
即的值为．
当时，由图可知，
上的整点有个，
上的整点有个，
双曲线上段的整点有个，
区域内部的整点有个，
又点，，都被算了次，
所以区域的整点个数为：．
故答案为：．
因为区域的整点个数为，如图所示，
又，则区域的个整点如图所示：，，，．
故纵坐标的取值范围是：．
故答案为：．
问题一：由题知，
，
则不论为何值，时，，
即直线过定点，
所以．
故答案为：，．
问题二：如图所示，当时，区域内的整点共有个．
又被分成的区域和的整点个数之差不超过，
则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求．
此时，得．
当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求．故当点在直线上方时，即可．
此时，得．
故的取值范围是：．
根据点在的图象上，可求出的值．
标出区域，再统计区域内的整数点即可．
结合图象可找出这个整数点，便可得出的取值范围．
问题一：过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题．
问题二：利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可．
本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．
27.【答案】
【解析】证明：在 中．，
为矩形，
若则，
在矩形中，
，
，
，
，
又，
≌，
，
矩形为正方形；
解：过作于，则，如图，
，，
，
又
≌，
又由≌，
，
，
，
故答案为：；
解：连接，过点向作垂线交于点，如图，
若，则，
，
，
，
又：，
，
故答案为：；
，
则，
当时， 为菱形，连接，
，
，
又，
，
，
，
又，
≌，
，
，
，
当取最小值时，有最大值，
当点与点重合时，点在上，
即，
面积的取值范围为：；
解：当点与点重合时，点位置如图，当点与点重合时，
点在点处，点在点处，
根据瓜豆原理，主动点的轨迹是线段，则从动点轨迹也是线段，则点的运动路线为线段，
由题意知：，
，
，
，
所以点的运动路线长为．
在 中，， 为矩形，，，，，≌，，矩形为正方形，
过作于，则，，≌，，，；
连接，过点向作垂线交于点，求出，，，；
，， 为菱形，连接，，，又，，，又，≌，，，，当取最小值时，有最大值，当点与点重合时，点在上，即，面积的取值范围即可求得；
解：当点与点重合时，点位置如图，当点与点重合时，点在点处，点在点处，点的运动路线为线段，由题意知：，，．
本题考查动点，矩形，菱形，正方形的综合问题，解题的关键是对以上知识的熟练掌握．
第1页，共1页
