第5讲 函数的概念与性质（能力卷）
一、单选题
1．（2023春·吉林长春·高二长春市第五中学校考期末）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（ ）
A． B．6 C． D．5
3．（2023·全国·高三专题练习）设a为实数，定义在R上的偶函数满足：在上为增函数，则使得成立的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数
C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，若实数x满足，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·江苏南通·高二期末）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
11．（2023·全国·高三专题练习）对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
12．（2023秋·高一课时练习）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R
B．的值域为
C．
D．若则x的值是
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为 ．
15．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为 ．
16．（2023·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为 ．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
18．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
19．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，．
（1）求证：；
（2）求；
（3）解不等式．
20．（2023秋·高一课时练习）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
21．（2023秋·云南红河·高二开远市第一中学校校考开学考试）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
22．（2023秋·云南西双版纳·高一统考期末）已知函数f(x)=.
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)试判断函数在x∈[3，5]的最大值和最小值.
试卷第4页，共5页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，以及函数在区间上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，
则，，，
因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，
故函数在区间上为增函数，所以，即.
故选：D.
2．B
【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.
【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴．
故选:B
3．A
【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.
【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，
由可得，
∴，解得：或
所以实数a的取值范围为
故选：A
4．D
【分析】由可得，结合可得出，再由即可求出的周期，再由，即可求出为奇函数.
【详解】即①，
在①中将变换为，则，则，
又因为，所以，所以②，
在②将变换为，所以，所以，
所以的周期为.
因为，所以，
所以为奇函数.
故选：D.
5．A
【分析】先证明出在[1，+∞）上为减函数，把转化为，即可解得.
【详解】因为函数满足（x∈R），则函数的图像关于直线x＝1对称，
又由对任意的时，恒有成立，
所以任取，有，所以，
所以在[1，+∞）上为减函数.
又由2a2+a+2＝2（a）21，2a2﹣2a+4＝2（a）21，
若，则有，
解得：，即a的取值范围为.
故选：A．
6．A
【分析】首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数在上单调递增，且，从而得到，，，，，，，，再分类讨论解不等式即可.
【详解】因为奇函数在上单调递增，定义域为，，
所以函数在上单调递增，且.
所以，，，，
，，，.
因为，
当时，，即或，
解得.
当时，符合题意.
当时，，或，
解得.
综上：或.
故选：A
7．D
【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
8．A
【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关于的不等式，最后结合单调性求解即可
【详解】当时，，∴，
令，∴在上单调递减，
又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，
∵，∴，
当，即时，，∴；
当，即时，，∴，则.
故不等式的解集为.
故选：A.
9．AD
【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.
【详解】令，则，所以，则，故C错误；
，故A正确；，故B错误；
（且），故D正确．
故选：AD．
10．ABD
【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，，
根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；
对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，任取，，且，则，，
所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；
对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.
故选：ABD．
11．ABD
【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
12．BD
【分析】根据分段函数的解析式可确定函数的定义域和值域，判断A,B；代入求值判断C;结合函数值域列方程求解，判断D.
【详解】由可知函数定义域为，A错误；
当时，；当时，，
故的值域为，B正确；
，C错误；
由于当时，，故则，，则，D正确；
故选：BD
13．
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，计算出的值，结合以及周期性可求得的值.
【详解】因为为奇函数，则，
所以，，
在等式中，令，可得，解得，
又因为，则，①
所以，，②
由①②可得，即，
所以，函数为周期函数，且该函数的周期为，
所以，.
故答案为：.
14．
【分析】先求得a的值，再利用函数单调性把不等式转化为，解之即可求得的取值范围.
【详解】定义在R上函数的图象关于原点对称，
则，解之得，经检验符合题意
均为R上增函数，则为R上增函数，
又，
则不等式等价于，解之得
故答案为：
15．
【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果．
【详解】解：
当x∈时，设线段所在直线的方程为，线段过点（﹣1，0），（0，1），
根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 ，
解得 ．故当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1；
同理当x∈（0，1]时，f（x）＝x1；
当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化为：
x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．
当x∈（0，1]时，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为：
x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，
综上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为 ．
故答案为：
16．
【分析】首先利用函数是奇函数，不等式变形为，判断函数的单调性，再根据函数的最大值求函数的最小值.
【详解】∵是定义在上的奇函数，
∴对任意，，，且，等价于，
∴在上单调递增．
∵，∴．
故答案为：
17．（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;
（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．
【详解】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴.
（2）即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，
由，得，
∴实数k的取值范围是.
19．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）令，，由此可求出答案；
（2）令，可求得，再令，，可求得；
（3）先求出函数在上的单调性，根据条件将原不等式化为，结合单调性即可求出答案．
【详解】解：（1）令，，则，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）设、且，于是，
∴，
∴在上为增函数，
又∵，
∴，解得，
∴原不等式的解集为．
20．（1）；（2）；（3）2．
【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
【详解】解析：（1）．，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）
，，，
∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
21．(1)
(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元
【分析】（1）利用，即可求解；
（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.
【详解】（1）根据题意，，化简得，
（2）由（1）得
当时，
当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，.
故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.
22．(1){x|x≠-1}
(2)是增函数，证明见解析
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据函数f(x)有意义，列出不等关系求解即可；
（2）先分离常数转化函数为f(x)==2-，根据反比例函数的单调性判断函数单调性，再利用定义证明即可；
（3）结合（2）中函数单调性求解即可
【详解】（1）∵f(x)=，∴x+1≠0，∴x≠-1，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.
（2）∵f(x)==2-，∴函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数.
证明如下：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1
∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)
∴f(x)在x∈[3，5]上单调递增，
∴函数f(x)在x∈[3，5]上的最大值为f(5)=2-=，最小值为f（3）=2-=.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
第5讲 函数的概念与性质（能力卷）
一、单选题
1．（2023春·吉林长春·高二长春市第五中学校考期末）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（ ）
A． B．6 C． D．5
3．（2023·全国·高三专题练习）设a为实数，定义在R上的偶函数满足：在上为增函数，则使得成立的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数
C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，若实数x满足，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·江苏南通·高二期末）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
11．（2023·全国·高三专题练习）对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
12．（2023秋·高一课时练习）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R
B．的值域为
C．
D．若则x的值是
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为 ．
15．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为 ．
16．（2023·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为 ．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
18．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
19．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，．
（1）求证：；
（2）求；
（3）解不等式．
20．（2023秋·高一课时练习）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
21．（2023秋·云南红河·高二开远市第一中学校校考开学考试）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
22．（2023秋·云南西双版纳·高一统考期末）已知函数f(x)=.
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)试判断函数在x∈[3，5]的最大值和最小值.试卷第4页，共5页
试卷第1页，共1页
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
