第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式（能力卷）
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
4．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式恒成立，则的取值范围为
A． B．，
C．，， D．，
5．（2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
8．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考期末）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是 B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为2
11．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期末）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
三、填空题
13．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期中）已知为正实数，则的最小值为 ．
14．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“，”是假命题，则实数的取值范围为 .
15．（2023春·天津河东·高二天津市第七中学校考阶段练习）若，，，，则的最小值为 ．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，且，则的最小值为 .
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）已知关于的不等式.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集.
18．（2023秋·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．
20．（2023·上海·高二专题练习）设函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
21．（2023秋·青海西宁·高一校考期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
22．（2023·全国·高一课堂例题）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；
（Ⅱ）.
试卷第4页，共4页
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参考答案：
1．C
【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】∵， ,
∴，
当且仅当 时，即时等号成立，
因此，函数,的最大值为,
故选：C．
2．B
【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可.
【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.
故选：B
3．A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知，且xy+2x+y=6，
y=
2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，
故2x+y的最小值为4.
故选:A
4．B
【分析】通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的范围即可．
【详解】解：时，成立，
时，，
故，
综上：，
故选：B．
5．B
【分析】根据题意得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得且，
所以，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
6．C
【分析】由已知可得出，将与相乘，利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，，则，，
所以，，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立．
又恒成立，所以．
故选：C.
7．C
【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.
【详解】
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
8．D
【分析】将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】解：恒成立，
即，对任意得恒成立，
令，，
当时，，不符题意，故，
当时，函数在上递增，
则，
解得或（舍去），
当时，函数在上递减，
则，
解得或（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
9．BD
【分析】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.
【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误，
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故C选项错误，
对于D选项，，
所以,当且仅当时，等号成立，可得，
时取最大值，故的最大值为，D选项正确．
故选：BD．
10．BC
【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；
故选：BC.
11．CD
【分析】利用题设条件，将式子化成，观察得出，之后利用乘以1不变，结合基本不等式求得其范围，进而得到正确答案.
【详解】原式
（当且仅当，时取等号）.
故选：CD.
12．BCD
【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.
【详解】选项A： ，
当 时， ，当且仅当时有最小值.
故A不正确.
选项B：
对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，
当且仅当 时取得最大值.
所以 ，当且仅当时取得最大值.
故B正确.
选项C：对于正数， ,所以
所以
当且仅当 ，即时取得最小值.
故C正确.
选项D：因
所以 ，即
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故D正确.
故选：BCD.
13．6
【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】由题得，
设，则.
当且仅当时取等.
所以的最小值为6.
故答案为：6
14．
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
15．/
【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。
【详解】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
16．
【分析】由题意化简得到，进而得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由为正实数，且，可化为，
则
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．(1)，；
(2)答案见解析．
【分析】（1）由不等式的解集得相应方程的根，由韦达定理列方程组求解；
（2）先根据分类讨论，在时，再根据两根的大小分类讨论得结论．
【详解】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；
（2），
当a=0，不等式为，不等式的解集为；
当时，不等式化为，不等式的解集为
当时，方程的两个根分别为：.
当时，两根相等，故不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或，.
综上：
当时，不等式的解集为
当a=0，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
18．(1)
(2)
(3)
【分析】设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.
【详解】（1）设．
依题意有，即，得．
（2）设．
依题意有，解得．
（3）设．
方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得
综上所述，得．
19．(1)，，
(2)
(3)[0，1）．
【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一元二次不等式即可；
（2）问题转化为在，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出的范围即可；
（3）利用参数分离法进行转化求解即可．
【详解】（1）解：若不等式的解集为，，
即1，2是方程的两个根，
则，即，
则，由得，
即得，得或，
即不等式的解集为，，．
（2）解:不等式恒成立，
即在，恒成立，
令，，，
则，
令，解得：，
故在，递增，在，递减，
故（1）或，
而（1），，
故．
（3）解：由得，
，即，
若方程在，有解，等价为有解，
设，
，，，，
即，即，则，
即实数的取值范围是，．
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集；
（2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
（2）
因为，所以由可化为：，
因为（当且仅当，即时等号成立），
所以.所以a的取值范围为.
21．（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.
所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
22．（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由，，得：
，
由题设得，
即，
所以，即.
（Ⅱ）因为，，，
所以，
即，
所以.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.
【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
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第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式（能力卷）
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
4．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式恒成立，则的取值范围为
A． B．，
C．，， D．，
5．（2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
8．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考期末）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是 B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为2
11．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期末）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
三、填空题
13．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期中）已知为正实数，则的最小值为 ．
14．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“，”是假命题，则实数的取值范围为 .
15．（2023春·天津河东·高二天津市第七中学校考阶段练习）若，，，，则的最小值为 ．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，且，则的最小值为 .
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）已知关于的不等式.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集.
18．（2023秋·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．
20．（2023·上海·高二专题练习）设函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
21．（2023秋·青海西宁·高一校考期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
22．（2023·全国·高一课堂例题）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；
（Ⅱ）.
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