2023-2024学年广东省中山市部分学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四组线段，能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列图象中，不能表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在矩形中，，为边中点，连接，，则( )
A. B. C. D.
6. 将一元二次方程化成为常数的形式，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 在平行四边形中，比大，那么的度数为( )
A. B. C. D.
8. 估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
9. 若一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是( )
A. B. C. D.
10. 如图所示，在平行四边形中，，，平分，，则的长度是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 把直线的图象向上平移个单位，则平移后直线的解析式为______．
12. 甲、乙两个样本，甲的方差为，乙的方差为，哪个样本的数据波动大？答：______．
13. 已知点，均在一次函数的图象上则______填“”“”或“”．
14. 如图，一架梯子长米，底端离墙的距离为米，当梯子下滑到时，米，则______米．
15. 如图，一次函数的图象经过，两点，与轴交于点，则的面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
解方程：；
计算：．
17. 本小题分
已知一次函数的图象经过点和点，求这个函数的解析式．
18. 本小题分
肃州区某药店有枚口罩准备出售．从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格单位：元，绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
图中的值为______；
统计的这组数据的平均数为______，众数为______，中位数为______；
根据样本数据，估计这枚口罩中，价格为元的约有______枚．
19. 本小题分
如图，在中，，垂足为，，分别为边，的中点，连接，．
若，，求的度数；
若，，，求的周长．
20. 本小题分
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
21. 本小题分
已知，是一元二次方程的两个实数根．
求的取值范围．
是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
22. 本小题分
如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是每秒个单位，连接、、设点、运动的时间为秒．
当为何值时，四边形是矩形；
当时，判断四边形的形状，并说明理由．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点．
求直线的解析式；
若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，求点的坐标；
若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故选项符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了最简二次根式的定义的应用，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：最简二次根式满足以下两个条件：被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，被开方数的因数是整数，因式式整式
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】
解：．，不是最简二次根式，故本选项错误；
B.，不是最简二次根式，故本选项错误；
C.，不是最简二次根式，故本选项错误；
D.是最简二次根式，故本选项正确；
故选D．
3.【答案】
【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】
【解析】解：、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以能表示是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，不是有唯一的值和它对应，所以不能表示是的函数，故D符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值和它对应，判断即可．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，为边中点，
，
矩形中，
，
同理可得，
，
故选：．
根据，为边中点得到，再根据矩形中，得到，同理可得，从而求得答案．
考查了矩形的性质，解题的关键是利用矩形的性质得到是等腰直角三角形，难度不大．
6.【答案】
【解析】解：，
，
则，
即，
，．
故选：．
本题主要考查用配方法解一元二次方程．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
7.【答案】
【解析】解：画出图形如下所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
，，
．
故选：．
根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为，难度一般．
8.【答案】
【解析】解：
，
，
，
即，
故选：．
先计算出该式子的值，在估算大小即可．
本题主要考查无理数的混合运算以及无理数的估算，解题关键在于先求出算式的结果，再进行估算．
9.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，
，，
，
即选项A、、都错误，只有选项D正确；
故选：．
根据一次函数的图象和性质得出，，再逐个判断即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，能熟记一次函数的性质的内容是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故选：．
首先证明四边形是平行四边形，推出，想办法求出即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：把直线的图象向上平移个单位，则平移后直线的解析式为．
故答案为：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
12.【答案】甲样本的数据波动大
【解析】解：甲的方差为，乙的方差为，
，
甲样本的数据波动大，
故答案为：甲样本的数据波动大．
直接根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
根据方差的意义解答即可．
13.【答案】
【解析】解：，
随的增大而增大．
点，均在一次函数的图象上，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：在中，根据勾股定理，可得：米，
米，
在中，米，
米，
故答案为：．
在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，解得：，
点的坐标为，，
．
故答案为：．
根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，代入求出与之对应的值，进而可得出点的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点，的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键．
16.【答案】解：，
，，，
，
原方程有两个不相等的实数根，
，
解得，；
．
【解析】用公式法解方程即可．
先化简二次根式和除法，利用完全平方公式展开，再算二次根式的减法和加法，即可求解．
本题考查解一元二次方程和二次根式的运算，选择适当的方法解方程，熟练掌握二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质，计算含有二次根式的完全平方公式，是解决本题的关键．
17.【答案】解：设函数解析式为，
一次函数的图象经过点和点，
，
解得，
所以，这个函数的解析式为．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．
设函数解析式为，把经过的两个点的坐标代入得到关于、的二元一次方程组，求解得到、的值，即可得解．
18.【答案】 元 元 元
【解析】解：，
即的值是，
故答案为：；
平均数是：元，
本次调查了枚，
中位数是：元，众数是元；
故答案为：元，元，元；
枚，
答：价格为元的约枚．
故答案为：．
根据扇形统计图中的数据，可以计算出的值，从而可以得到的值；
根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数，然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；
根据统计图中的数据，可以计算出质量为元的约多少枚．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：，，
，
，分别为边，的中点，
，
，
在中，为边的中点，
，
，
，
；
在中，，，
由勾股定理得：，
，分别为边，的中点，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，，
，
为边的中点，
，
，
的周长．
【解析】根据三角形内角和定理求出，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，进而得到，计算即可；
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
20.【答案】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为米，
则平行于墙的一边的长为米，
由题意得，
化简得，
解得，，
当时，舍去，
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为、宽为．
【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为，则可以得出平行于墙的一边的长为根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可．
本题考查一元二次方程的应用，以及矩形面积公式．
21.【答案】解：一元二次方程有两个实数根，
，
解得：．
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
，
，
解得：，．
又，
．
存在这样的值，使得等式成立，值为．
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，
根据方程的系数结合，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的方程，解之即可得出值，再结合即可得出结论．
22.【答案】解：在矩形中，，，
，，
由已知可得，，，
在矩形中，，，
当时，四边形为矩形，
，
解得：，
当时，四边形为矩形；
四边形为菱形；理由如下：
，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
在中，，
，
平行四边形为菱形，
即当时，四边形为菱形．
【解析】由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形为矩形，得出方程，解方程即可；
时，，，得出，，，，则四边形为平行四边形，由勾股定理求出，得出，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题关键．
23.【答案】解：当时，，
．
设直线的解析式为，由题意得：
，
解得：．
直线的解析式为．
轴，
，的横坐标相同．
设，则．
为线段上一个动点，
，，
，．
．
解得：．
．
如下图，当四边形为平行四边形时，
令，则，
．
，
直线的解析式为：．
令，则，
．
，
直线的解析式为：．
．
解得：．
．
如下图，当四边形为平行四边形时，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
当时，，
．
当四边形为平行四边形时，如下图，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为：，
当时，，
．
综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或．
【解析】先求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可；
利用两条直线的解析式表示出，两点的坐标，进而得出线段的长，列出方程即可解答；
分三种情形解答，先求得经过点的解析式，再联立，解方程组即可求解．
本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．
第1页，共1页
