专题15 等边和全等
1．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．有下列结论：
①AD=BE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④DE=DP，其中正确的结论有 （ ）
A．①②③ B．①③④ C．①② D．②③④
2．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为 ．
3．如图，过边长为10的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
4．如图，D为等边△ABC中边BC的中点，在边DA的延长线上取一点E，以CE为边、在CE的左下方作等边△CEF，连结AF．若AB＝4，AF＝，则CF的值为 ．
5． 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)能否为等边三角形？为什么？
6．如图，和都是等边三角形，E，F分别为边和上的动点．
（1）若，证明是等边三角形．
（2）若，还一定是等边三角形吗？请说明理由．
7．已知；如图，点D是等边三角形的边延长线上的一点，．
（1）求的度数．
（2）求证：是等边三角形．
8．如图，在△ABC中．
（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；
①猜想BE与CD的数量关系是 ；
②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；
（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直接写出∠APC与α的数量关系
9．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面积．
10．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形中，若，则四边形是“准筝形”．
（1）如图2，是的高线，．求．
（2）如图3，四边形中，且，试判断四边形是不是“准筝形”，并说明理由．
（3）在（1）条件下，设D是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积；
11．（1）如图1，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC上一点，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．则线段AB、DC、AD的长度满足的数量关系为___________；
（2）如图2，将(1)中的条件“∠B=∠C=90°”改为“∠B+∠C=180°”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例；
（3）将(1)中的条件“∠B=∠C=90°”改为“∠B=∠C=120°，BC=2”，其他条件不变，试探究线段AB、DC、AD之间的数量关系，并说明理由．
12．已知是等边三角形，．
（1）如图1，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求的值；
（2）如图2，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，求的最小值．
13．如图，是等边三角形内的一点，连结、、，以为边作且．连结．
(1)观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．
(2)若，，，连结，试判断的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，求的面积．
14．【问题呈现】如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且，试确定线段AE与DB的数量关系，并说明理由．
【探究思考】
（1）特殊情况，探索结论
如图1，当点E为AB的中点时，猜想：AE________DB（填“>”，“<”或“=”）
（2）特例启发，解答题目
通过探讨，小敏和小聪分别给出了第（1）小题结论的两种证法，思路如下：
小敏：
小聪：
请选择适当的【问题呈现】中问题的解答．
【拓展延伸】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且．若的边长为1，，求CD的长（直接写出结果）．
15．如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD.聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！
【探究一】如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．
【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等.例如：如图3，如果△ABC≌△A’B’C’，AD、A’D’分别是△ABC、△A’B’C’的边BC、B’C’上的高，那么容易证明AD=A’D’.小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．
【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】证明△ACD≌△BCE可得AD=BE，故①小题正确；由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，从而得到∠ACQ=60°，∠ACB=∠ACQ=60°，可证得△ACP≌△BCQ，从而得到AP=BQ，故②小题正确；根据△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，从而得到∠AOB=60°，故③小题正确；根据AD=BE，AP=BQ，可得DP=QE，从而得到∠DQE≠∠CDE，故④小题错误，即可．
【详解】∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠ACQ=180°-60°×2=60°，∠ACB=∠ACQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
∵∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠ACQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故②小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC=∠BCA=60°，
∴∠CAD+∠BEC=60°，
∴∠AOB=60°，故③小题正确；
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，
∴∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．
综上所述，正确的是①②③．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．4．
【分析】首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可．
【详解】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．
又∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，
于是DE=
∴CD=DE=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键．
3．5
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
【详解】过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=10，
∴DE=5．
故答案为：5．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
4．.
【分析】连接BF，由等边三角形的性质得出AB=AC=BC=4，CE=CF，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠ECF=60°，得出∠BCF=∠ACE，证明△BCF≌△ACE（SAS），得出∠CBF=∠CAE，由等边三角形的性质得出AD⊥BC，∠CAD=∠BAC=30°，由直角三角形的性质得出CD=AC=2，AD=CD=2，求出∠CAE=∠CBF=150°，得出∠ABF=90°，由勾股定理得出BF=，得出DE=AD+AE=，再由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接BF，如图所示：
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，CE＝CF，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ECF＝60°，
∴∠BCF＝∠ACE，
在△BCF和△ACE中，，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE，
∵D为等边△ABC中边BC的中点，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，∠CAE＝150°，
∴∠CBF＝150°，
∴∠ABF＝150°﹣60°＝90°，
∴BF＝＝＝，
∴AE＝，
∴DE＝AD+AE＝3，
∴CF＝CE＝＝＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)不能．理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；
（3）用反证法，假设能否为等边三角形，根据题意证明不等于，推出矛盾．
【详解】（1）证明：，
．
，
是等边三角形；
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
，，
，
，
是直角三角形；
（3）解：不能．理由：
由，得．
若为等边三角形，
则，
又，
．
又，
，
又，
．
不可能为等边三角形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
6．（1）证明见解析；（2）是，理由见解析．
【分析】（1）先证明（ASA），得．再由一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得出结论；
（2）先判定是等边三角形，再证明，过作交与点，构造等边，可得，再角的和差关系证明，从而（AAS），再由一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】解：（1）和都是等边三角形，
，
又∵，
∴，
∴
在与中
（ASA）
，
为等边三角形；
（2）结论：是等边三角形
证明如下：过作交与点
∴，
可得是等边三角形
，，
，
在与中
（AAS）
是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，证明这个题一定要牢记等边三角形的判定条件和等边三角形的性质．依据题意判断使用哪种判定条件；利用角的和差关系证明角相等是解题关键．
7．（1）60°；（2）见详解
【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ACB=60°，结合三角形外角的性质得∠CAD＋∠ADC＝∠ACB=60°，进而即可求解；
（2）先证明∠BEC＝∠ADC，从而可证△BCE≌△ACD，再证明△BCF≌△ACG，进而即可得到结论．
【详解】解（1）∵ 是等边三角形，
∴∠CAD＋∠ADC＝∠ACB=60°，
又∵∠EBC＝∠DAC，
∴=∠EBC+∠ADC＝∠ACB=60°；
（2）证明：∵ 是等边三角形，
∴∠CAD＋∠ADC＝∠ACB=60°，∠ABE＋∠CBE＝60°，
又∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠ABE＝∠ADC，
又∵CE∥AB，
∴∠BEC＝∠ABE，
∴∠BEC＝∠ADC，
又∵BC＝AC，∠EBC＝∠DAC，
∴△BCE≌△ACD．
∴∠BCE＝∠ACD，即∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴∠ACG=∠ECD＝∠ACB＝60°，
∵∠EBC＝∠DAC，BC＝AC，
∴△BCF≌△ACG，
∴CF=CG，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定定理是解答的关键．
8．（1）①BE＝CD；②60°；（2）∠APC＝
【分析】（1）①证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论；
②连接AN，由①得：△ABE≌△ADC（SAS），则BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，再证△ADN≌△ABM（SAS），得AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，然后证∠MAN＝∠BAD＝60°，得△AMN为等边三角形，即可得出∠AMN＝60°；
（2）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS），则∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，证出PA平分∠DPE，得∠APE＝∠DPE，再证∠EPC＝∠CAE＝α，得∠DPE＝180°﹣α，则∠APE＝90°﹣α，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①BE＝CD，理由如下：
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE，
∴∠CAE＋∠BAC＝∠BAD＋∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，
故答案为：BE＝CD；
②连接AN，如图①所示：
由①得：△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，
∵点M，N分别是BE和CD的中点，
∴BM＝DN，
又∵AD＝AB，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，
∴∠BAM＋∠BAN＝∠DAN＋∠BAN，
即∠MAN＝∠BAD＝60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴∠AMN＝60°；
（2）∠APC＝90°＋ α ，理由如下：
过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，如图②所示：
同②得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（AAS），
∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴PA平分∠DPE，
∴∠APE＝ ∠DPE，
又∵∠EPC＋∠ACD＝∠CAE＋∠AEB，
∴∠EPC＝∠CAE＝α，
∴∠DPE＝180°﹣α，
∴∠APE＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∴∠APC＝∠APE＋∠EPC＝90°﹣ α＋α＝90°＋ α．
9．（1）A；（2）；（3）－1
【分析】（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，满足a2＋b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2＋3＝2b2，即可得a和b的值，进而可得直角三角形的面积；
（3）根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP＝ ，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，可得PC＝PB＝ ，进而可以求△PDC的面积．
【详解】解：（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2＋a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2＋b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2＋b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2＋3＝2b2，
联立解得 ，
则Rt△ABC的面积为：；
故答案为：；
（3）由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝ ，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝AD＝AE＝1，
∴BE＝，
∴PB＝BE﹣PE＝ ﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝PB＝，
∴S△PDC＝PC PD＝（）×＝﹣1．
【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
10．（1）3+；（2）是，理由见解析；（3）3+2，9+5或12+7．
【分析】（1）直接利用直角三角形的性质表示出HC，以及AH的长进而求出答案；
（2）首先延长BC至点E，使CE＝CD，进而求出△ACD≌△BED（SSS），进而求出△ABD是等边三角形，得出四边形ABCD是“准筝形”．
（3）分别利用①AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，②BC＝BD＝2+2，∠BCD＝60°，③AD＝CD＝AC＝HC＝3+，∠ADC＝60°分别求出答案．
【详解】解：（1）如图2﹣1，设BH＝x，
∵∠ABC＝120°，CH是△ABC的高线，
∴∠BCH＝30°，
∴HC＝x，
又∵∠A＝45°，
∴HA＝HC，
∵AB＝2，∴x＝2+x，
解得：x＝+1，
∴HC＝x＝3+；
（2）四边形ABCD是“准筝形”．
理由：如图3，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，
∵∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴ED＝CD，∠CDE＝60°，
∵，，
∴AC＝EB，
在△ACD和△BED中，
∵，
∴△ACD≌△BED（SSS），
∴∠ADC＝∠BDE，
∴∠ADB＝∠CDE＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴四边形ABCD是“准筝形”．
（3）在（1）条件下，四边形ABCD的面积是：3+2，9+5或12+7．
①如图2﹣2，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，
作CG垂直BD的延长线于点G，则BD＝2，
可得：∠CBG＝60°＝∠CBH，
在△CBG和△CBH中
∵，
∴△CBG≌△CBH（AAS），
∴GC＝HC＝3+，
作AK⊥BD于K，则可得：AK＝，
∴S△ABD＝×2×＝，S△CBD＝×2×（3+）＝3+，
∴S四边形ABCD＝3+2；
②如图2﹣3，BC＝BD＝2+2，∠BCD＝60°，
作CG垂直BD的延长线于点G，则BD＝2+2，
可得：CG＝3+，易得：AK＝，
∴S△BCD＝×（3+）（2+2）＝4+6，S△ABD＝××（2+2）＝3+，
∴S四边形ABCD＝9+5；
③如图2﹣4，AD＝CD＝AC＝HC＝3+，∠ADC＝60°，
作DM⊥AC于M，
可得：DM＝（3+）＝（+），
∴S△ABC＝×2×（3+）＝3+，
S△ADC＝×（3+）×（+）＝6+9，
∴S四边形ABCD＝12+7．
【点睛】此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和直角三角形的性质等知识，正确利用“准筝形”的定义结合分类讨论求出是解题关键．
11．（1）AD=AB+CD；（2）成立，理由见解析；（3）AD=AB+CD+1，理由见解析
【分析】（1）在AD上截取AF=AB，连接EF，证明△AEF≌△AEB（SAS），得出∠AFE=∠B=90°，证明△DEF≌△DEC（AAS），得出FD=CD，即可得出结论；
（2）在AD上截取AF=AB，连接EF，证明△AEF≌△AEB（SAS），得出∠AFE=∠B，再根据∠B+∠C=180°，∠AFE+∠DFE=180°，得出，证明△DEF≌△DEC（AAS），得出FD=CD，即可得出结论；
（3）在AD上截取AF=AB，连接EF，DG=DC，连接GE，证明△AEF≌△AEB（SAS），再证明△EDC≌△EDG ，从而得出△EFG为等边三角形，即可得出结论；
【详解】（1）在AD上截取AF=AB，连接EF，如图所示：
∵AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA，
∴∠BAE=∠FAE，∠CDE=∠FDE，
在△AEF和△AEB中，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B=90°，
∴∠DFE=90°，
在△DEF和△DEC中，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴FD=CD，
∵AD=AF+FD，
∴AD=AB+CD
故答案为：AD=AB+CD；
（2）成立，理由如下：
在AD上截取AF=AB，连接EF，如图所示：
∵AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA，
∴∠BAE=∠FAE，∠CDE=∠FDE，
在△AEF和△AEB中，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，
∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠DFE=180°，
∴∠DFE=∠C，
在△DEF和△DEC中，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴FD=CD，
∵AD=AF+FD，
∴AD=AB+CD；
（3）AD=AB+CD+1，理由如下：
在AD上截取AF=AB，连接EF，DG=DC，连接GE如图所示：
∵AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA，
∴∠BAE=∠FAE，∠CDE=∠FDE，
在△AEF和△AEB中，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B=120°，BE=EF
∴∠EFG=60°，
在△DEG和△DEC中，
∴△DEG≌△DEC，
∴EC=EG，∠EGD=∠C=120°，
∴∠FGE=60°，
∴∠FEG=60°，
∴△EFG为等边三角形
∴EF=FG=GE
∴BE=EC
∵BC=2
∴FG=1
∵AD=AF+FG+DG，
∴AD=AB+CD+1；
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（1）6；（2）
【分析】（1）在CN上截取点H，使CH=CM，先证出△CMH为等边三角形，然后利用ASA证出△AMC≌△NMH，从而得出AC=NH，从而求出结论；
（2）连接BQ，利用SAS证出△QCB≌△PCA，从而得出∠CBQ=∠CAP，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ⊥BQ时，DQ最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：（1）在CN上截取点H，使CH=CM，连接MH
∵△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°，AC=AB=6
∴∠ACM=180°－∠ACB=120°
∵CN平分∠ACM
∴∠MCN=∠ACM=60°
∴△CMH为等边三角形
∴CM=HM，∠CMH=∠CHM=60°
∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC＋∠AMH=60°
∴∠ACM=∠NHM
∵
∴∠NMH＋∠AMH=60°
∴∠AMC=∠NMH
在△AMC和△NMH中
∴△AMC≌△NMH
∴AC=NH
∴=CN－CH=NH=AC=6
（2）连接BQ
∵△ABC和△CPQ都是等边三角形
∴BC=AC，QC=PC，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°
∴∠PCQ－∠PCB=∠ACB－∠PCB
∴∠QCB=∠PCA
在△QCB和△PCA中
∴△QCB≌△PCA
∴∠CBQ=∠CAP
∵
∴∠CAP=∠BAC=30°，BD=BC=3
∴∠CBQ=30°
∴∠ABQ=∠ABC＋∠CBQ=90°
∴点Q在过点B作AB的垂线上运动
根据垂线段最短可得：当DQ⊥BQ时，DQ最短
此时在Rt△BDQ中，∠QBD=30°
∴DQ=BD=
即DQ的最小值为．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键．
13．(1)，证明见解析；
(2)为直角三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）通过证明得出；
（2）根据△BPQ是等边三角形求出PQ的长，再根据勾股定理逆定理可得△PQC是直角三角形；
（3）过点B作BD垂直于CQ的延长线于点D，在△BDQ中求出DQ、BD的长，再求出CD，根据勾股定理求出BC的长，即可求出三角形ABC面积．
【详解】（1）解： AP=CQ，理由：
∵∠PBQ=60°，∠ABC=60°，
∴∠ABP+∠PBC=60°=∠CBQ+∠PBC，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，AB=CB，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ．
（2）解：∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=4，
∵△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ=3，
∵PQ2+CQ2=42+32=25=PC2，
∴△PQC为直角三角形．
（3）解：∵∠PQC=90°，∠PQB=60°，
∴∠BQC=150°，
过点B作BD垂直于CQ的延长线于点D，
∴∠BQD=30°，
∵BQ=4，∴BD=2，DQ=2，
∴CD=CQ+DQ=3+，
在Rt△BCD中，BC=，
∵△ABC为等边三角形，
∴S△ABC=．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
14．（1）=；（2）详见解析；[拓展延伸]4或2
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BCE==∠D=∠DEB，从而得到DB=BE=AE；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，则△AEF是等边三角形，根据AAS证明△BDE≌△FEC得到BD=EF=AE；
（3）根据题意画出图形，分两种情况：当点E在AB延长线上时，当点E在BA延长线上时，过点E作EF∥BC，利用等边三角形的性质及平行线的性质证明△BDE≌△FEC即可求出答案
【详解】（1）当点E为AB的中点时，AE=DB，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴AE=BE，∠BCE=，
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D=，
又∵∠ABC=，
∴∠DEB=，
∴DB=BE=AE，
故答案为：=；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=，∠AFE=∠ACB=，∠FEC=∠ECD，
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF，
∴BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D，
∴∠FEC=∠D，
∵∠DBE=∠EFC=，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF=AE；
[拓展延伸]
如图3，当点E在AB延长线上时，
过点E作EF∥BC交AC的延长线于点F，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=，∠AFE=∠ACB=，∠FEC=∠ECD，
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF，
∴BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D，
∴∠FEC=∠D，
∵∠DBE=∠F=，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF=AE=3，
∴CD=BD+BC=3+1=4；
如图4，当点E在BA延长线上时，
过点E作EF∥BC交CA的延长线于点F，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=，∠F=∠ACB=，∠FEC=∠ECD，
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF=3，
∴BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D，
∴∠FEC=∠D，
∵∠DBE=∠F=，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF=AE=3，
∴CD=BD-BC=3-1=2；
综上，CD的长为4或2．
【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质，注意运用分类思想解决问题，辅助线EF∥BC的引出是解题的关键．
15．（1）；（2）理由见解析；（3）BF=AF+CF
【分析】探究一：设与交于点,先证明，得出，又根据对顶角相等，得出，最后得出，得出.
探究二：过点C作，，垂足分别为M、N，可证，根据，，可得CF平分∠BFE.
探究三：在AB上取一点H，使得，先证，得到，根据探究一、二，得：，为等边三角形，得到BF=BH+HF=AF+CF，即BF=AF+CF.
【详解】探究一：如图，设与交于点,
∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∴
∴
又∵
∴
∴
探究二，如图，过点C作，，垂足分别为M、N，
由探究一得：
∴
又∵，
∴CF平分∠BFE.
探究三：如图，在AB上取一点H，使得，
由得：
∠CAE=∠CBD
在△BCH和△ACF中，
∴
∴
由探究一、二，得：
∴为等边三角形
∴CF=CH=HF
∴BF=BH+HF=AF+CF
即BF=AF+CF.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质定理，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键．
