鸡泽县第一中学2023-2024学年高二上学期开学考
数学试卷【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 或 16.
17. 解：，
是纯虚数，，则；
由得，，则，
．
18. 解：若，
则，
故．
若，
则，
．
19. 证明：在三棱锥中，底面，底面，则，
而，有，又，，平面，
所以平面．
由知，平面，而，则平面，
于是是与平面所成的角，
令，在中，，，为的中点，则有，
显然为的中位线，于是，
在中，，
所以与平面所成角的正弦值是．
20. 解：当过坐标原点时，，解得：，满足题意；
当不过坐标原点时，即时，
若，即时，，不符合题意；
若，即时，方程可整理为：，
，解得：，
综上所述：或；
当，即时，，不经过第二象限，满足题意；
当，即时，方程为：，
，解得：，
综上所述：的取值范围为：．
21. 解：由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为，故众数是
由，解得，
，且，
中位数位于之间，设中位数为，
，解得，故中位数是
平均数为
上四分位数即为百分位数，
又，
，
上四分位数位于之间，设上四分位数为，
则，解得．
22. 证明：取的中点，连接，，，
因为，所以，
在中，，，
所以为等边三角形，所以，
因为，、平面，
所以平面，
因为，分别是，的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
又，平面，，
所以平面平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：由知平面，因为，，
所以可求得四棱锥的高为．
以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
记平面的法向量为，
则，令，得，
记平面的法向量为，
则，令，得，
因为，且二面角为钝角，
所以二面角为． 鸡泽县第一中学2023-2024学年高二上学期开学考
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 运动员甲次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，则下列关于这组数据说法不正确的是( )
A. 众数为和 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 方差为
4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则( )
A. B. C. D.
5. 在平行六面体中，，，，
，，则的长为( )
A. B. C. D.
6. 已知点，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. ，则
C. 若，则
D. ，则
8. 袋内有大小相同的个白球和个黑球，从中不放回地摸球，用表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是( )
A. 与为互斥事件 B. 与为对立事件
C. 与非相互独立事件 D. 与为相互独立事件
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，在下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则至少与，中一个平行
10. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果 ，那么
B. 如果与互斥，那么
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么
11. 下列四个命题中真命题有( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 经过定点的直线都可以用方程表示．
C. 直线必过定点
D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
12. 如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，在翻折到的过程中，下列说法正确的是( )
A. 存在某一翻折位置，使得
B. 当面平面时，二面角的正切值为
C. 四棱锥的体积的最大值为
D. 棱的中点为，则的长为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在中，内角，，对的边分别为，，，满足，则 ，若边上的中线，则面积的最大值为 ．
14. 已知圆锥的顶点为，母线、所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
15. 平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量是 ．
16. 已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点异于点，，则周长的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，，，为虚数单位，且是纯虚数．
求实数的值；
求的值．
18. 如图，在中，为线段上一点，且．
若，求，的值；
若，，，且与的夹角为，求的值．
19.如图，在三棱锥中，底面，，，，点、分别在棱、上，且．
求证平面；
当为的中点时，求与平面所成角的正弦值．
20. 直线的方程为．
若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
若不经过第二象限，求实数的取值范围．
21.某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的名学生，统计他们参加社会实践活动的时间单位：小时，并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．
估计这名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；
估计这名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的上四分位数结果保留两位小数．
22. 如图，在四棱锥中，是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点．
证明：平面平面．
求二面角的大小．
