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1 简谐运动
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
模型方法·素养提升
随 堂 训 练
素养·目标定位
目 标 素 养
1.知道什么是弹簧振子,理解振动的平衡位置和位移。
2.通过观察和分析知道弹簧振子的位移—时间图像,理解简谐运动及其图像。培养分析问题的能力及审美能力(客观存在的简洁美、对称美等)。
3.通过对简谐运动图像的绘制,认识简谐运动的特点。培养认真、严谨、实事求是的科学态度。
知 识 概 览
课前·基础认知
一、弹簧振子
1.机械振动。
我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动,简称振动。
2.平衡位置。
如图所示,把一个有孔的小球连接在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球套在光滑的杆上,能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小,也可以
忽略。
弹簧未形变时,小球所受合力为0该位置为平衡位置。
3.弹簧振子。
我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。
微思考1 竖直上抛运动是否属于机械振动
提示:不属于。物体在一个位置附近做的往复运动属于机械振动,竖直向上抛出的物体到最高点后返回地面,不具有运动的往复性,因此不属于机械振动。
二、弹簧振子的位移—时间图像
1.建立坐标系。
如图所示,以小球的平衡位置为坐标原点O,沿着它的振动方向建立坐标轴,规定水平向右为正方向。小球在平衡位置的右边时它的位置坐标x为正,在左边时位置坐标x为负。
2.振子位置的确定。
用照相机连拍时,底片从下向上匀速运动,因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像,对应小球在各个时刻的位置,得到如图所示的图像。
微思考2 下图为振子的位移—时间图像,振子的位移—时间图像就是振子的运动轨迹吗
提示:图像描述的是振动物体的位移随时间的变化规律,并不是物体的运动轨迹。
三、简谐运动
1.如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动是一种简谐运动。
2.简谐运动是最基本的振动,弹簧振子的运动就是简谐运动。
微思考3 简谐运动与我们熟悉的匀速运动比较,速度有何不同的特点 如何判断一个物体的运动是不是简谐运动
提示:简谐运动与匀速运动的区别在于其速度大小、方向都不断变化,只要质点的位移随时间按正弦规律变化,则这个质点的运动就是简谐运动。
课堂·重难突破
一 弹簧振子的特点
重难归纳
1.弹簧振子的运动是最典型的机械振动。
振动特征:有一个“中心位置”,即平衡位置;运动具有往复性。如图所示。
2.弹簧振子的理想化条件。
(1)质量:弹簧的质量比小球的质量小得多,可以认为质量集中在小球上。
(2)体积:小球体积很小,可当成质点处理。
(3)阻力:忽略一切摩擦及阻力作用。
(4)弹性限度:小球的振动范围在弹簧的弹性限度内。
名师点睛
弹簧振子是一种理想化模型,在构造上表现为把一根没有质量的弹簧一端固定,另一端连接一个质点;在运动上表现为没有任何摩擦和阻力。
3.形形色色的弹簧振子。
如图所示,振子可以沿水平方向振动,也可以沿竖直方向或倾斜方向振动,弹簧可以只有一个,也可以有多个。
名师点睛
弹簧振子有多种表现形式,对于不同的弹簧振子,在平衡位置处,弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子),但运动方向上的合外力一定为零,速度也一定最大。
4.简谐运动的位移。
位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某时刻振动物体偏离平衡位置的位移可用该时刻振动物体所在位置的坐标来表示。
5.简谐运动的速度。
(1)物理含义:速度是描述振动物体在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上,速度的正负号表示振动物体运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
(2)特点:下图为一简谐运动的模型,振动物体在O点速度最大,在A、B两点速度为零。
简谐运动的位移就是某一段时间内振动物体的位置变化吗
提示:不是。简谐运动位移的初始位置是平衡位置,其方向是指从平衡位置指向实际位置的方向。
典例剖析
一水平弹簧振子做简谐运动,则下列说法正确的是( )
A.若位移为负值,则速度一定为正值
B.振子通过平衡位置时,速度为零
C.振子每次通过平衡位置时,速度一定相同
D.振子每次通过同一位置时,其速度不一定相同
答案:D
解析:振子做简谐运动时,某时刻位移的方向与速度的方向可能相同,也可能相反,选项A错误;当振子通过同一位置时,速度的方向不一定相同,选项C错误,D正确;振子经过平衡位置时速度最大,选项B错误。
规律总结
平衡位置的判断方法
振动系统不振动,振动物体处于平衡状态时所处的位置为平衡位置。此题中振动物体速度最大时的位置和振动物体原来静止时的位置为同一位置。
学以致用
(多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如图所示,用手向下拉一小段距离后释放小球,小球便上下振动起来。关于小球的平衡位置,下列说法正确的是( )
A.在小球运动的最低点
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置
D.在小球原来静止时的位置
答案:CD
解析:平衡位置是振动系统不振动时,小球(振子)处于平衡状态时所处的位置,可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等,即mg=kx,也即小球原来静止的位置,故选项D正确,A、B错误;当小球处于平衡位置时,其加速度为零,速度最大,故选项C正确。
二 对弹簧振子位移—时间图像的理解
重难归纳
1.图像特点:简谐运动的位移与时间的关系遵从正弦函数规律。
2.振动图像是振子的位移随时间的变化规律,根据振动图像可知如下信息。
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
甲
(2)任意时刻质点的振动方向。看下一时刻质点的位置,如图乙中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a此刻向上振动。
乙
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较。看下一时刻质点的位置,判断是远离还是衡位置,若远离平衡位置,则速度越来越小,加速度、位移越来越大;若衡位置,则速度越来越大,加速度、位移越来越小。如图乙中b点,从正位移向着平衡位置运动,则速度为负且增大,位移、加速度正在减小;c点从负位移远离平衡位置运动,则速度为负且减小,位移、加速度正在增大。
简谐运动的x-t图像与匀速直线运动的x-t图像有何相同点
提示:①两种图像都反映了位移随时间的变化规律;②根据图线上某点切线的斜率可判断出某一时刻质点的速度方向及大小。
典例剖析
一质点做简谐运动的图像如图所示,该质点在t=3.5 s时刻
( )
A.速度为正,加速度为正
B.速度为负,加速度为负
C.速度为负,加速度为正
D.速度为正,加速度为负
答案:D
解析:由题图可知,3.5 s时,质点由平衡位置向正的最大位移处运动,所以此时速度为正,质点做减速运动,加速度为负,故选项D正确。
特别提醒 分析简谐运动图像问题的三点提醒
1.简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律,简谐运动的位移—时间图像并不是质点的运动轨迹,运动轨迹的长度也不是正弦图线拉开后的长度。
2.在x-t图像上,质点在某时刻的位移,即为此时刻对应的纵坐标。
3.质点在某段时间内的路程(轨迹的长度),需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算。
学以致用
下图为某物体做简谐运动的图像,下列说法正确的是( )
A.由P→Q位移在增大
B.由P→Q速度在增大
C.由M→N速度是先减小后增大
D.由M→N位移始终减小
答案:A
解析:由题图可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动,位移增大,速度减小,选项A正确,B错误;由M→N,物体由正位移处向平衡位置移动,速度增大,位移减小,再由平衡位置沿负方向运动,位移增大,速度减小,选项C、D错误。
模型方法 素养提升
简谐运动的对称性及应用——模型构建
方法归纳
简谐运动的对称性的理解
举例:如图所示,物体在A与B间做简谐运动,O点为平衡位置,C和D两点关于O点对称 时间的对称 tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO,tDB=tBD=tAC=tCA
速度的 对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反
位移和加速度的对称 ①物体经过同一点(如C点)时,位移和加速度均相同
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移与加速度均大小相等,方向相反
做简谐运动的物体,在两个不同的时刻速度相等,一定是到达了同一位置吗
提示:不是。做简谐运动的物体,在两个不同的时刻速度相等,这两个时刻所处的位置可能为同一位置,也可能处于相对平衡位置对称的两个不同位置。
典例剖析
弹簧振子做简谐运动,其振动图像如图所示,则( )
A.t1、t2时刻振动物体的速度大小相等,方向相反
B.t1、t2时刻振动物体加速度大小相等,方向相反
C.t2、t3时刻振动物体的速度大小相等,方向相反
D.t2、t3时刻振动物体的加速度大小相等,方向相同
答案:A
解析:从题图可以看出,t1、t2时刻振动物体处于同一位置,位移大小相同,方向一致,则加速度大小相等,方向一致;由振动的对称性知,速度大小相等,方向相反,故选项A正确,B错误。t2、t3时刻振动物体处于平衡位置两边的对称位置,位移大小相等,方向相反,则加速度大小相同,方向相反;由振动的对称性知,速度大小相等,方向相同,都沿x轴负方向,故选项C、D错误。
规律总结
简谐运动中几个特殊位置的运动参量的关系
1.位移、速度、加速度都是矢量,当振动物体通过某一位置时,位移和加速度方向是一定的,速度方向有两种可能。
2.当振动物体通过关于平衡位置对称的位置时,位移、加速度大小相等,方向相反,而速度方向可能相同,也可能相反。
学以致用
一弹簧振子做简谐运动,以下说法正确的是( )
A.若位移为负值,则速度一定为正值,加速度也一定为正值
B.振动物体每次经过平衡位置时,加速度相同,速度也一定相同
C.振动物体每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但加速度一定相同
D.振动物体在平衡位置两侧对称的位置上,其速度、位移都反向
答案:C
解析:加速度的方向与位移方向相反,位移方向为负时,加速度方向一定为正,但速度方向为物体运动方向,与位移方向无关,可正可负,选项A错误;振动物体每次经过平衡位置时,加速度为零且速度大小相等,但速度方向不一定相同,选项B错误;每次通过同一位置时,位移相同,故加速度相同,速度大小相同,但方向不一定相同,选项C正确;同理在平衡位置两侧对称的位置上,位移方向相反,速度方向可能相同,也可能相反,选项D错误。
随 堂 训 练
1.小球和弹簧做如下连接,下列说法正确的是( )
A.只有甲可以被看成弹簧振子
B.甲、乙都可以看成弹簧振子,丙、丁不可以
C.甲在任何情况下都可以看成弹簧振子
D.在一定条件下甲、乙、丙、丁都可以看成弹簧振子
答案:D
解析:只要满足弹簧振子的振动规律的小球和弹簧的组合都可以看成弹簧振子,弹簧振子可以是水平的、竖直的、倾斜的,也可以是多个弹簧和小球的组合体,如题图丁所示,故选项A、B、C错误,D正确。
2.装有砂粒的试管竖直静立于水面,如图所示,将试管竖直提起少许,然后由静止释放并开始计时,在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向,则下列描述试管振动的图像中可能正确的是( )
答案:D
解析:试管在竖直方向上做简谐运动,平衡位置是其重力与浮力相等的位置,开始时向上提起试管的距离,就是其偏离平衡位置的位移,即正向最大位移,故选项D正确。
3.下图为某质点在0~4 s内的振动图像,则( )
A.质点在3 s末的位移为2 m
B.质点在4 s末的位移为8 m
C.质点在4 s内的路程为8 m
D.质点在4 s内的路程为零
答案:C
解析:振动质点的位移指的是质点离开平衡位置的位移,位移是矢量,有大小,也有方向,因此3 s末质点的位移为-2 m,4 s末质点的位移为零,选项A、B错误;路程是指质点运动轨迹的长度,在4 s内质点的路程是从平衡位置到最大位移处这段距离的4倍,即为8 m,故选项C正确,D错误。
4.(多选)关于简谐运动的图像,下列说法正确的是( )
A.表示质点振动的轨迹是正弦曲线
B.由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移的大小与方向
C.表示质点的位移随时间变化的规律
D.由图像可判断任一时刻质点的速度方向
答案:BCD
解析:简谐运动的图像表示质点的位移随时间变化的规律,而不是运动轨迹,选项A错误,C正确;由简谐运动的图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移的大小与方向,还可判断任一时刻质点的速度方向,选项B、D正确。1 简谐运动
课后·训练提升
基础巩固
一、选择题Ⅰ(每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)
1.关于简谐运动,下列说法正确的是( )
A.简谐运动一定是水平方向的运动
B.所有的振动都可以看作是简谐运动
C.物体做简谐运动时一定可以得到正弦形的轨迹线
D.只要振动图像是正弦曲线,物体一定做简谐运动
答案D
解析物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生,各个方向都有可能发生,选项A错误;简谐运动是最基本的振动,选项B错误;做简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线,选项C错误;物体振动的图像是正弦曲线,一定是做简谐运动,选项D正确。
2.如图所示的弹簧振子,O点为它的平衡位置,当小球从A点运动到C点时,振子离开平衡位置的位移是( )
A.大小为lOC,方向向左
B.大小为lOC,方向向右
C.大小为lAC,方向向左
D.大小为lAC,方向向右
答案B
解析弹簧振子位移的方向总是由平衡位置指向小球所在位置,其大小等于平衡位置到小球所在位置的距离,故选项B正确,A、C、D错误。
3.简谐运动中,若位移的方向为负,则下列判断一定正确的是( )
A.速度为正 B.速度为负
C.加速度为负 D.加速度为正
答案D
解析速度方向与位移方向无必然联系,选项A、B错误;加速度的方向与位移方向相反,即加速度的方向为正,选项C错误,D正确。
4.某弹簧振子的振动图像如图所示,根据图像判断,下列说法正确的是( )
A.第1 s内振动物体相对于平衡位置的位移与速度方向相反
B.第2 s末振动物体相对于平衡位置的位移为-20 cm
C.第2 s末和第3 s末振动物体相对于平衡位置的位移不相同,但瞬时速度方向相反
D.第1 s内和第2 s内振动物体相对于平衡位置的位移方向相同,瞬时速度方向相反
答案D
解析第1s内振动物体相对于平衡位置的位移为正方向,速度方向也为正方向,选项A错误;第2s末振动物体在平衡位置,位移为零,选项B错误;第3s末振动物体相对于平衡位置的位移为-20cm,第2s末振动物体恰好过平衡位置,且向-x轴方向运动,而第3s末振动物体瞬时速度刚好为零,所以选项C错误;第2s内振动物体的位移方向沿x轴正方向,速度方向沿x轴负方向,所以选项D正确。
二、选择题Ⅱ(每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的)
5.下列说法正确的是( )
A.弹簧振子的运动是简谐运动
B.简谐运动就是指弹簧振子的运动
C.简谐运动是匀变速运动
D.简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种
答案AD
解析弹簧振子的运动是一种简谐运动,而简谐运动是机械振动中最简单、最基本的运动,故选项A、D正确。
6.一质点做简谐运动,其位移—时间图像如图所示,由图像可知( )
A.t=1 s时,质点速度为负的最大值,加速度为零
B.t=2 s时,质点速度为零,加速度为负的最大值
C.t=3 s时,质点速度为正的最大值,加速度为零
D.t=4 s时,质点速度为零,加速度为正的最大值
答案AC
解析t=1s时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为负,即速度为负,选项A正确;t=2s时,位移为负的最大值,加速度为正的最大值,速度为零,选项B错误;t=3s时,位移为零,加速度为零,速度最大,图像斜率为正,即速度为正,选项C正确;t=4s时,质点位移为正的最大值,加速度为负的最大值,速度为零,选项D错误。
三、非选择题
7.如图所示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线。从三个图线可知,这三个物体振动的共同特点是具有 。三个物体中,最简单的振动是 。
答案周期性 弹簧振子的振动
8.右图为某质点做简谐运动的图像,质点在前6 s内通过的路程是多少 在6~8 s内的平均速度大小为多少 方向如何
答案6 cm 1×10-2 m/s 方向沿x轴正方向
解析质点在前6s内通过的路程s=3×2cm=6cm
6~8s内平均速度大小=1×10-2m/s,方向沿x轴正方向。
能力提升
一、选择题Ⅰ(每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)
1.一竖直弹簧振子做简谐运动,其振动图像如图所示,那么在(Δt是微小的时间)两时刻,弹簧振子的( )
A.相对平衡位置的位移相同
B.速度相同
C.加速度相同
D.速度方向相反
答案B
解析在两时刻振子的位移大小相等、方向相反,加速度大小相等、方向相反,速度相同,故选项B正确。
2.如图所示,轻质弹簧一端固定在地面上,另一端与一薄板连接,薄板的质量不计,板上放一重物。用手将重物往下压,然后突然将手撤去,若重物一直与薄板接触,则重物上升过程中的运动情况是( )
A.加速度一直增大 B.加速度一直减小
C.加速度先减小后增大 D.加速度先增大后减小
答案C
解析竖直方向的弹簧振子的振动也是简谐运动,但它的平衡位置在重力与弹力相等的位置,此位置加速度为零。因此从平衡位置将弹簧压缩以后放手,它的加速度是先减小,到达平衡位置以后再增大,选项C正确。
3.如图所示,一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点,历时0.5 s,过B点后再经过t=0.5 s,质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点从离开O点到再次回到O点历时(O点为AB的中点)( )
A.0.5 s B.1.0 s
C.2.0 s D.4.0 s
答案B
解析根据题意,由振动的对称性可知,O点为平衡位置,A、B两点对称分布在O点两侧,质点从O点向右运动到B点的时间应为tOB=×0.5s=0.25s。质点从B点向右到达最大位移处(D点)的时间tBD=×0.5s=0.25s。所以质点从离开O点到再次回到O点的时间t=2tOD=2×(0.25+0.25)s=1.0s,故选项B正确。
4.装有砂粒的试管竖直静浮于水面,如图所示。将试管竖直提起少许,然后由静止释放并开始计时,在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向,则以下描述试管振动的图像可能正确的是( )
答案D
解析试管在竖直方向上做简谐运动,平衡位置是在重力与浮力相等的位置,开始时,向上提起的距离就是其偏离平衡位置的位移,为正向最大位移,故选项D正确。
二、选择题Ⅱ(每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的)
5.如图所示,下列说法正确的是( )
A.振动图像上的A、B两点的速度相同
B.在t=0.1 s和t=0.3 s时,质点的加速度大小相等、方向相反
C.振动图像上A、B两点的位移大小相等、方向相反
D.质点在t=0.2 s和t=0.4 s时的速度不同
答案BD
解析由题图看出A、B两点的速度大小相等、方向相反,A、B两点的位移大小相等、方向相同,故选项A、C错误;在t=0.1s和t=0.3s时,加速度等大、反向,故选项B正确;质点在t=0.2s和t=0.4s时,质点在平衡位置,速度方向不同,故选项D正确。
6.如图甲所示,弹簧振子以点O为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向,振动物体的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是( )
A.t=0.4 s时,振动物体的速度方向向右
B.t=0.8 s时,振动物体在O点和A点之间
C.t=0.6 s和t=1.2 s时刻,振动物体的速度完全相同
D.t=1.5 s到t=1.8 s的时间内,振动物体的加速度逐渐减小
答案BD
解析t=0.4s时,振动物体的速度向左,选项A错误;t=0.8s时,振动物体在O、A之间,选项B正确;t=0.6s和t=1.2s时刻振动物体的速度方向相反,选项C错误;t=1.5s到t=1.8s时间内振动物体从B运动到O,加速度逐渐减小,选项D正确。
三、非选择题
7.右图是某质点做简谐运动的振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题。
(1)质点在第2 s末的位移是多少
(2)质点振动过程中的最大位移为多少
(3)在前4 s内,质点经过的路程为多少
答案(1)0 (2)10 cm (3)40 cm
解析(1)由x-t图像可以读出第2s末质点的位移为零。
(2)质点的最大位移在前4s内发生在1s末和3s末,位移大小为10cm。
(3)前4s,质点先朝正方向运动了一个10cm距离的来回,又在负方向上运动了一个10cm距离的来回,故总路程为40cm。
8.如图所示,简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点。
(1)与a点位移相同的点有哪些
(2)与a点速度相同的点有哪些
(3)图像上从a点到c点,质点经过的路程为多少
答案(1)b、e、f (2)d、e (3)4 cm
解析(1)分析图像可得a、b、e、f的位移均为1cm,c、d点的位移都是-1cm,故与a点位移相同的点为b、e、f三点。
(2)由(1)可知,图像上的a、b、e、f点对应质点运动到同一位置,图像上的c、d点对应质点运动到关于O点对称的另一位置,故以上6个点的速度大小相等。再结合图像可以判断a、b、c、d、e、f6个点的运动方向分别为向上、向下、向下、向上、向上和向下,故与a点有相同速度的点为d和e。
(3)图像上从a点到b点,对应质点从正方向1cm处先是到达2cm处又返回到1cm处,通过的路程为2cm;从b点到c点,对应质点从正方向1cm处经平衡位置运动到负方向1cm处,通过的路程也为2cm,故从a点到c点总共通过的路程为4cm。
