专题04 与平行线有关的内角和问题
1．已知，在四边形ABCD中，．
（1）求证：．
（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．
2．嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究数学问题：一副三角尺分别有一个角为直角，其余角度如图1所示，AB=DE，经研究
发现
（1）如图2，当AB与DE重合时，∠CDF= °；
（2）如图3，将图2中△ABC绕B点顺时针旋转一定度使得∠CEF=156°，则∠AED= °；
拓展
（3）如图4，继续旋转使得AC垂直DE于点G，此时AC与EF位置关系 ，此时∠AED= °；
探究
（4）如图5，图6继续旋转，使得AC∥DF图5中此时∠AED= °，图6中此时∠AED= °．
3．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED =∠ABE +∠EDC．
（1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，若∠ABE=3∠ABF，且∠BFD=30°时，试求的值；
（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．
4．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α．
(1)如图①，若α=90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若α=135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=θ(90°<θ<180°)，入射光线FE与镜面AB的夹角∠1=m(0°
5．已知，是截线上的一点，与、分别交于、．
（1）若，，求的度数：
（2）如图1，当点在线段上运动时，与的平分线交于，问：是否为定值？若是定值、请求出定值：若不是，说明其范围
（3）①如图2，当点在线段的延长线上运动时，与的平分线交于，则的值为______．
②当点在线段上运动时，与的等分线交于，其中，，设，求的度数（直接用含，的代数式表示，不需说明理由）．
6．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．
(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
7．如图1，点E是直线AB，CD内部一点，AB//CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，则∠AED的度数为________；
②若∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，则∠AED的度数为________；
③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC之间的关系并说明理由．
（2）EF隔开的两个区域(不含边界），点P是位于以上两个区域内的点，连接PE，PF，猜想∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系(不要求写出过程)．
8．已知直线，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，则和之间的数量关系是________；
（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作 交直线PQ于点D，为探究与的数量关系，小明过点B作，请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．
A．如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当时直接写出的度数；
B．如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作交直线PQ于点D，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当时，直接写出的度数．
9．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：
①∠CAE的度数；
②∠DAE的度数．
（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．
10．如图①，已知点、点分别在定直线、上，且，点是直线上一动点（与不重合），、分别平分和，分别交直线于点、，老师发现当点从点出发，沿射线方向移动的过程中，始终有．
（1）请你判断直线和的位置关系，并说明理由；
（2）点从点出发，沿射线方向移动，当时，求度数．
（3）点从点出发，沿射线方向移动时．如图②，是否始终成立？请说明理由．
11．如图，若要判定纸带两条边线a，b是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB折叠的方式来进行探究．
（1）如图1，展开后，测得，则可判定a//b，请写出判定的依据_________；
（2）如图2，若要使a//b，则与应该满足的关系是_________；
（3）如图3，纸带两条边线a，b互相平行，折叠后的边线b与a交于点C，若将纸带沿（，分别在边线a，b上）再次折叠，折叠后的边线b与a交于点，AB//，，求出的长．
12．已知：线段，以为公共边，在两侧分别作和，并使．点在射线上．
（1）如图l，若，求证：；
（2）如图2，若，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，过点作交射线于点，当时，求的度数．
13．如图，平分，平分，
请判断与的位置关系并说明理由；
如图，当且与的位置关系保持不变，移动直角顶点，使，当直角顶点点移动时，问与否存在确定的数量关系？并说明理由．
如图，为线段上一定点，点为直线上一动点且与的位置关系保持不变，①当点在射线上运动时（点除外），与有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点在射线的反向延长线上运动时（点除外），与有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．
参考答案：
1．（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；
（2）DE⊥BF
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC
∴∠EDC=∠EBG
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG
∴∠EGB=∠C=90°
∴DE⊥BF
（3）DE∥BF
连接BD
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC
∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°
∵∠C=90°
∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°
∴DE∥BF．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键．
2．（1）105°；（2）24°；（3）平行，30°；（4）75°，105°．
【分析】（1）根据度数求和即可；
（2）根据∠ABC+∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝180°求解；
（3）①根据∠CGE＝∠DEF＝90°来说明；
②在直角△CDE中计算∠CED，根据∠CEA＝90°求解；
（4）图5在三角形DBH中求解，图6根据∠AED＝∠D+∠A求解．
【详解】解：（1）∵∠CAB＝60°，∠EDF＝45°，
∴∠CDF＝105°，
故答案为：105°；
（2）∵∠ACB+∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝180°，∠CEF＝156°，
∴∠DEA＝24°；
故答案为：24°；
（3）①平行
∵∠CGE＝∠DEF＝90°，
∴AC∥EF；
②∵∠C＝30°，∠CGE＝90°，
∴∠CEG＝60°，
又∠CBA＝90°，
∴∠AED＝30°；
故答案为：平行，30°；
（4）如图5，∵AC∥DF，
∴∠DHB＝∠A＝60°，
又∠D＝45°，
∴∠AED＝75°；
如图6，∵AC∥DF，
∴∠AED＝∠D+∠A＝105°．
故答案为：75°，105°．
【点睛】本题考查三角形和平行线性质，熟练应用三角形内角和及平行线性质是解答关键．
3．（1）证明见解析；（2）；（3）∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180°．
【分析】（1）由∠BED =∠ABE +∠EDC和三角形内角和定理即可得到∠ABD+∠BDC=180°，再由同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）由角平分线定义和∠ABD+∠BDC=180°，得到∠BED=∠ABE+∠EDC=90°．
设∠ABF=α，则∠ABE=3α，过F作FG∥AB，则有∠ABF+∠CDF=∠BFD，得到∠CDF=30°-α．过E作EH∥AB，同理可得：∠CDE=90°-3α，根据角的和差得到∠FDE=60°-2α，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论：①当H在点D的左边时，②当H在点D右边时．
【详解】（1）∵∠BED =∠ABE +∠EDC，∠EBD+∠BED+∠BDE=180°，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴AB∥CD；
（2）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABE=∠EBD，∠EDC=∠EDB．
∵∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BED=∠ABE+∠EDC=90°．
设∠ABF=α，则∠ABE=3α．
过F作FG∥AB，则有：∠ABF+∠CDF=∠BFD，∴∠CDF=30°-α．
过E作EH∥AB，则有：∠ABE+∠CDE=∠BED，∴∠CDE=90°-3α，∴∠FDE=60°-2α，∴．
（3）分两种情况讨论：
①当H在点D的左边时，如图3．
设∠HBI=∠DBI=x，∠EBH=y，则∠EBD=2x+y，∴∠ABE=∠EBD=2x+y．
∵AB∥CD，∴∠BHD=∠ABH=2x+y+y=2（x+y）=2∠EBI；
②当H在点D右边时，如图4．
设∠HBI=∠DBI=x，∠EBD=y，则∠EBI=x+y，∴∠ABH=2x+2y．
∵AB∥CD，∴∠ABH+∠BHD=180°，∴2x+2y+∠BHD=180°，∴∠BHD+2∠EBI=180°．
综上所述：∠BHD=2∠EBI或∠BHD+2∠EBI=180° ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用平行线的判定与性质，依据角的和差关系进行计算．
4．(1)EF∥GH
(2)θ＝90°＋m
(3)115°＜α＜135°
【分析】（1）在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，可得∠2＋∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG＋∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）根据题意以及第（1）题的方法，求得含有m的代数式直接表示θ的度数；
（3）在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，可得∠2＋∠3＝180° α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＋∠MGE＋β＝180°，求出β与α的数量关系，在△MEG中，0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，可得出α的取值范围．
【详解】（1）解：EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＋∠2＋∠FEG＝180°，
∠3＋∠4＋∠EGH＝180°，
∴∠FEG＋∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）如图，作，
，
，
，∠1=m，
，
，
，
，
，
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α=135°，
∵∠3＝∠4，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即θ＝90°＋m．
（3）在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，
∴∠2＋∠3＝180° α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG＋∠MGE＋β＝180°，
∴β＝180° （∠MEG＋∠MGE）＝180° （2∠2＋2∠3）
＝180° 2（∠2＋∠3）
＝180° 2（180° α）
＝2α 180°，
∵△MEG为锐角三角形，
∴0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，
，
∴115°＜α＜135°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、列代数式，一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
5．（1）15°；（2）是定值，；（3）①；②
【分析】（1）过作,可得，，，然后根据计算即可；
（2）根据，，可得，进而得出，，进一步得出，同理得出，然后根据角平分线的性质即可得出结论；
（3）①过作，过作，根据，可得，，从而得到，，即，同理得到，根据角平分线性质可得结论；
②分三种情况讨论的值：第一种当在当点在线段EF的延长线上运动时，根据图2分析的值；第二种当点在线段的上运动时，根据图1求解的值；第三种当P在线段EF的延长线上运动时，根据图3求解的值，综合判断即可．
【详解】解：（1）如图1，过作，
，
，
，，
，，
；
（2）
如图1，∵ ，
，
，
，
，
同理：，
又，分别平分，，
，
，
．
（3）①，
详解：如图2，过作，过作，
，
，，
，
，
同理：，
又，分别平分，，
，
，
．
②
详解：（1）当在当点在线段EF的延长线上运动时，同图2
易得，，
，
，即
（2）当点在线段的上运动时，同图1
易得，，
，
，即
（3）当P在线段EF的延长线上运动时，同图3，
易得，
，
，
，即
综上所述，．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是做出合理辅助线熟练运用平行线性质表示相关角的等量．
6．(1)见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算与，即可得出结论；
（2）过点作，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；
（3）延长交的延长线于点，设，则，，利用垂直的定义得到；利用三角形的内角和定理分别用，的代数式表示出与，计算即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
．
，
．
，
，．
．
．
平分，
．
．
，
．
．
（2）解：过点作，如图，
，
．
，．
．
即．
平分，平分，
，．
．
，
．
，
．
．
（3）解：与之间的数量关系是：．
延长交的延长线于点，如图，
，
．
．
同理：．
．
，
设，则．
平分，
设．
．
，，
．
．
．
．
．
，
．
．
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平角的意义，过点作是解题的关键．
7．（1）①83°；②77°；③∠AED＝∠EAB＋∠EDC，理由见解析；（2）点P在区域①时，∠EPF＝360°﹣（∠PEB+∠PFC）；点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB．
【分析】（1）①根据图1，过点E作EF∥AB，利用内错角相等，得到∠AED、∠EAB、∠EDC之间的关系，代入∠EAB，∠EDC的度数，计算出∠AED的度数．同理可得②，③的答案；
（2）利用三角形的外角和内角的关系以及平行线所形成的同位角、内错角间关系，得结论．
【详解】解：（1）①如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，
∴∠1＝∠EAB＝22°，∠2＝∠EDC＝61°，
∴∠AED＝∠1+∠2＝83°；
②过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，
∴∠1＝∠EAB＝32°，∠2＝∠EDC＝45°，
∴∠AED＝∠1+∠2＝77°；；
③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC，∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED＝∠1+∠2＝∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）根据题意得：
如图1，当点P在①区域时，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠CFE＝180°，
∴∠PEF＋∠PFE＝（∠PEB＋∠PFC） 180°．
∵∠PEF＋∠PFE＋∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝180° （∠PEF＋∠PFE）＝180° （∠PEB＋∠PFC）＋180°＝360° （∠PEB＋∠PFC）；
当点P在区域②时，如图2所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠CFE＝180°，
∵∠EPF＋∠FEP＋∠PFE＝180°，
∴∠EPF＝∠PEB＋∠PFC．
点P在区域③时，如图3所示：
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠CFE＝180°，
∵∠EPF＋∠FEP＋∠PFE＝180°，
∴∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；
点P在区域④时，如图4所示：
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠CFE＝180°，
∵∠EPF＋∠FEP＋∠PFE＝180°，
∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB；
综上所述，点P在区域①时，∠EPF＝360°﹣（∠PEB+∠PFC）；
点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；
点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；
点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
8．（1）；（2），见解析；（3）A：；B：
【分析】（1）根据平行线的性质和直角的性质即可解答；
（2）根据，可得，再由，可得，然后根据，即可求解；
（3）A、过点B作，设，则，由（2）得，从而，又由BE平分，得，即可求解；
B、设，根据题意得 ，由 ，可得，然后据BE平分 ，可得，最后由，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）选择A
过点B作，设，则，
由（2）得：，
∴，，
∵BE平分
∴，
∵，
∴，
解得
或选择B
设，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BE平分 ，
∴ ，
在 中， ，
在 中，
，
∴ ，
∵，
∴ ，解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，能作出合适辅助线构成平行线是解题的关键．
9．（1）①40°；②10°；（2）10°；（3）∠DFE＝（β﹣α），见解析
【分析】（1）如图1中，求出∠BAD，∠BAE，根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中结论，再证明∠DFE＝∠HAE即可．
（3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．由∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE＝∠HAE，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图（1）．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
而AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．
由（1）可知∠HAE＝10°，
∵AH∥EF，
∴∠DFE＝∠HAE＝10°
（3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．理由如下：
如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．
∵∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）
＝（∠B﹣∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE＝∠HAE，
∴∠DFE＝（β-α）．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质．
10．（1）；理由见解析；（2）30°；（3）始终成立，理由见解析
【分析】（1）由角平分线定义得出，，求出，得出，因此，即可得出结论；
（2）求出，得出，，求出，即可得出；
（3）求出，，，即可得出结论．
【详解】解：（1），理由如下：
，分别平分和，
，，
，
，
，
；
（2），，，
，
，
，
，
；
（3）始终成立，理由如下：
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
11．（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10
【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；
（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a∥b，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；
（3）分两种情况：①当B1在B的左侧时，如图2，当B1在B的右侧时，如图3，分别求出的长，即可得到答案．
【详解】（1）∵，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故答案是：内错角相等，两直线平行；
（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，
若a∥b，则∠3=∠2，
∴∠4=∠2，
∵∠2+∠4+∠1=180°，
∴∠1+2∠2=180°，
∴要使a∥b，则与应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．
故答案是：∠1+2∠2=180°；
（3）①当B1在B的左侧时，如图2，
∵AB//，a∥b，
∴AA1=BB1=3，
∴=AC- AA1=7-3=4；
②当B1在B的右侧时，如图3，
∵AB//，a∥b，
∴AA1=BB1=3，
∴=AC+AA1=7+3=10．
综上所述：=4或10．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．
12．（1）见详解；（2）+2=90°，理由见详解；（3）99°．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；
（2）设CE与BD交点为G，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE，由，得∠CGB+∠C=90°，结合，即可得到结论；
（3）设∠DAE=x，则∠DFE=8x，由，+2=90°，得关于x的方程，求出x的值，进而求出∠C，∠ADB的度数，结合∠BAD=∠BAC，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴∠C+∠CBD=180°，
∵，
∴∠D+∠CBD=180°，
∴；
（2）+2=90°，理由如下：
设CE与BD交点为G，
∵∠CGB是 ADG的外角，
∴∠CGB=∠D+∠DAE，
∵，
∴∠CBD=90°，
∴在 BCG中，∠CGB+∠C=90°，
∴∠D+∠DAE+∠C=90°，
又∵，
∴+2=90°；
（3）设∠DAE=x，则∠DFE=8x，
∴∠AFD=180°-8x，
∵，
∴∠C=∠AFD=180°-8x，
又∵+2=90°，
∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°，
∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB，
又∵∠BAD=∠BAC，
∴∠ABC=∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．
13．（1）详见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；
（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．
【详解】证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE．
∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，
∴AB∥CD；
（2）∠BAE+∠MCD=90°．证明如下：
过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°．
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+∠MCD=90°；
（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：
如图3：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；
②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．理由如下：
如图4：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACQ．
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．
