2023年浙教版九年级上数学《二次函数》单元测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，2）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3（x+4）2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h得出是解题关键．
2．将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据平移的单位可得新抛物线的解析式．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3变为：y＝（x﹣1）2﹣4向右平移2个单位得到的函数的解析式为：y＝（x﹣1﹣2）2﹣4
即y＝（x﹣3）2﹣4再向上平移2个单位后，所得图象的函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4+2即y＝（x﹣3）2﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
3．已知二次函数y＝3x2﹣12x+13，则函数值y的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2﹣12x+13可化为y＝3（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，二次函数y＝3x2﹣12x+13有最小值1．
故选：C．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
4．下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝3x2﹣2x C．y＝2x+1 D．y＝
【分析】原点坐标为（0，0），所以应把原点坐标代入所给函数，适合的便一定经过原点．
【解答】解：把点（0，0）分别代入下列选项得
A、左边＝0，右边＝﹣1，左边≠右边，所以y＝x2﹣1不经过原点；
B、左边＝0，右边＝0，左边＝右边，所以y＝3x2﹣2x经过原点；
C、左边＝0，右边＝1，左边≠右边，所以y＝2x+1不经过原点；
D、左边＝0，右边无意义，所以y＝不经过原点．
故选：B．
【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．
5．已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（ ）
A．若x1＞x2，则y1＞y2
B．若x1＜x2，则y1＜y2
C．若，则y1＞y2
D．若，则y1＜y2
【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：∵y＝x2，a＝1＞0，对称轴为y轴，
∴在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大；
A、x1＞x2，y1不一定大于y2，
例如x1＝1时，y1＝1，x2＝﹣2时，y2＝4，此时x1＞x2，
但是y1＜y2；故选项A错误，不符合题意；
B、x1＜x2，y1不一定小于y2，
例如x1＝﹣2时y1＝4，x2＝1时，y2＝1，此时x1＜x2，
但是y1＞y2；故选项B错误，不符合题意；
C、当x1x2＞（x2）2，即：x1x2＞x2x2＞0，
∴x1＜x2＜0或x1＞x2＞0，
当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
当x1＞x2＞0时，y1＞y2，
..当x1x2＞（x2）2时，y1＞y2，
故选项C正确，符合题意；
D、当x1x2＜（x2）2，即：y1不一定小于y2，
例如x1＝﹣2时，y1＝4，x2＝1时，y2＝1，
此时x1x2＝﹣2＜（x2）2＝1，但是y1＞y2；故选项D错误，不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键，本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断．
6．关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣3的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝2
C．与x轴没有交点
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+2）2﹣3，
∴a＝﹣1＜0，
∴拋物线开口向下，
故A正确，不符合题意；
∴拋物线对称轴为直线x＝﹣2，
故B错误，符合题意；
∴拋物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），在第三象限，
又∵拋物线开口向下，
∴抛物线与x轴没有交点，
故C正确，不符合题意；
∵拋物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数关系，抛物线与x轴交点问题，熟练掌握图象与系数关系、抛物线的图象和性质是解题的关键．
7．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝﹣（x﹣6）2+4．则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x+6）2+4 B．y＝﹣（x+6）2+4
C．y＝（x+6）2﹣4 D．y＝﹣（x+6）2﹣4
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【解答】解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，
解得：a＝﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
8．二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（ ）
A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2
【分析】根据a的值先确定抛物线的开口方向，然后再根据已知当x＞1时，y随x的增大而增大，可得抛物线的对称轴﹣≤1，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2+bx+1的图象开口向上，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，
解得：b≥﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．已知函数y＝x2﹣8x+8，当0≤x＜m时，函数的最大值是8，最小值是﹣8，则m的值可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【分析】作出函数y＝x2﹣8x+8的图象，根据二次函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：如图，作出函数y＝x2﹣8x+8的图象，对称轴为x＝4，顶点坐标为（4，﹣8），
由图象可知，m的取值范围是4≤m≤8，
∴m的值可能是7．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解答本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（1，0），B（3，0）．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上两个点．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．|y1|＜|y2| D．|y1|＞|y2|
【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，若a＞0时，抛物线开口向上，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，由于点到对称轴的距离越大，函数值越大，所以y1＞y2＞0；若a＜0时，抛物线开口向下，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，利用点到对称轴的距离越大，函数值越小得到y1＜y2＜0，从而得到|y1|＞|y2|．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为A（1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
若a＞0时，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴y1＞y2＞0；
若a＜0时，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，
∴y1＜y2＜0，
∴|y1|＞|y2|．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共6小题）
11．抛物线y＝x2﹣3可以由抛物线y＝x2向 下 平移3个单位得到．
【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
【解答】解：抛物线y＝x2顶点为（0，0），抛物线y＝x2﹣3的顶点为（0，﹣3），则抛物线y＝x2向下平移3个单位得到抛物线y＝x2﹣3．
故答案为：下．
【点评】本题考查二次函数图象平移问题，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）的最小值是 ﹣1 ．
【分析】通过二次函数图象的特点可知函数有最小值，在顶点处取到，直接代值求解即可．
【解答】﹣解：∵y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴对称轴所在的直线为，
∵a＝1＞0，
∴二次函数有最小值，在顶点处取到，
即当x＝2时，ymin＝（2﹣1）（2﹣3）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查二次函数的最值，解题关键求出二次函数的顶点坐标．
13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了 米．
【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴汽车刹车后到停下来前进了米．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则不等式x2+＞0的解为 x＜﹣1或x＞2 ．
【分析】写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＜﹣1或x＞2时，抛物线y＝ax2+bx+c在x轴的下方，
∴ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞2，
∵a＜0，
∴不等式x2+＞0的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．
15．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度EF是 米 ．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 ①②③ （填写序号）．
【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝2．
∴﹣＝2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴a﹣（﹣4a）+c＝0．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如图：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
三．解答题（共7小题）
17．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点B（m，﹣2）在该函数图象上，求点B的坐标．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把已知点的坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；
（2）把B（m，﹣2）代入y＝（x﹣1）2﹣4得关于m的方程，然后解关于m的方程得到B点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入得a×（0﹣1）2﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）把B（m，﹣2）代入y＝（x﹣1）2﹣4得（m﹣1）2﹣4＝﹣2，
解得m1＝1﹣，m2＝1+，
∴B点坐标为（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
18．如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点A的直线y2＝mx+n与抛物线在第一象限交于点D，若点D的纵坐标为5，请直接写出当y2＜y1时，x的取值范围是 x＞4或x＜0 ．
【分析】（1）先设抛物线的交点式，再列方程求解；
（2）先求出D的坐标，再根据图象求解．
【解答】解：（1）由题意设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴ax2﹣2x+c＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴a＝1，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x＝﹣2或x＝4，
∵D在第一象限，
∴D（4，5），
由图象得：当x＞4或x＜﹣1时，y2＜y1，
故答案为：x＞4或x＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣1，1）和B（2，4）代入解析式得到，两式相减即可得到结论；
（2）由题意可知﹣≤﹣1，代入b＝1﹣a，解得a≤，即可得到a的取值范围是0＜a≤；
（3）由b＝1﹣a得到a2+b2＝2（a﹣）2+，即可根据二次函数的性质得到a2+b2的最值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4），
∴，
②﹣①得，3a+3b＝3，即a+b＝1，
∴b＝1﹣a；
（2）由题意可知﹣≤﹣1，
∵b＝1﹣a，
∴﹣≤﹣1，
∴a＞0，
∴1﹣a≥2a，
∴a≤，
∴a的取值范围是0＜a≤；
（3）∵函数图象与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0，即（1﹣a）2﹣4a（2﹣2a）＜0，
∴（1﹣a）（1﹣9a）＜0，
解得＜a＜1，
∵b＝1﹣a，
∴a2+b2
＝a2+（1﹣a）2
＝a2+a2﹣2a+1
＝2a2﹣2a+1
＝2（a﹣）2+，
∴当a＝时，a2+b2的最小值为，
当a＝1时，a2+b2的最大值为1，
∴≤a2+b2＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20． 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当x＝2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y＝2.52求出x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），
设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3＝0，
解得a＝﹣，
则抛物线是y＝﹣（x﹣4）2+3，
当x＝0时，y＝﹣×16+3＝3﹣＝＜2.44米，
故能射中球门；
（2）当x＝2时，y＝﹣（2﹣4）2+3＝＞2.52，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y＝2.52时，y＝﹣（x﹣4）2+3＝2.52，
解得：x1＝1.6，x2＝6.4（舍去），
∴2﹣1.6＝0.4（m），
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
21．如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；
（2）先求出A、B、C，即可△ABC的面积；
（3）先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM+DM＝BM+D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M 在一条直线上时，BM+D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，9），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+9，
∵抛物线经过点D（3，8），
∴（3﹣2）2 a+9＝8，解得a＝﹣1，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5；
（2）当y＝0时，有﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴AB＝5+1＝6，
当x＝0时，有﹣x2+4x+5＝5，
∴C（0，5），
∴OC＝5，
∴△ABC的面积＝ AB OC＝×5×6＝15；
（3）存在，理由如下：
∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+9的对称轴为直线x＝2，
∴点D（3，8）关于对称轴x＝2对称的点的坐标为D'（1，8），
由对称性得：DM＝D'M，
则BM+DM＝BM+D'M，
由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM+DM最短，
设直线BD'的函数解析式为y＝kx+b，
把（5，0），（1，8）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y＝﹣2x+10，
取x＝2，则﹣2×2+10＝6，
∴M（2，6）．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
22．南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为9平方米，求DF的长；
（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；
②根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）设饲养场DBEF的面积为S，求出关于DF的长x的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．
【解答】解：（1）①设DF的长为x米，
∵点D在线段AB上，
∴EF＝11﹣2x﹣（x﹣1）＝（12﹣3x）米，
∵AB＝3，
∴EF≤3，即12﹣3x≤3，
∴x≥3；
②设DF的长为x米，根据题意得：
x（12﹣3x）＝9，
解得：x1＝3，x2＝1（此时点D不在线段AB上，舍去），
∴x＝3，
答：饲养场的长DF为3米；
（2）设饲养场DBEF的面积为S，DF的长为x米，
①点D在线段AB上，由（1）知此时x≥3，
则S＝x（12﹣3x）＝﹣3x2+12x＝﹣3（x﹣2）2+12，
∵a＝﹣3＜0，抛物线对称轴是直线x＝2，
∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
∴x＝3时，S有最大值，S最大值＝﹣3×12+12＝9（平方米）；
②点D在线段BA的延长线上，此时x＜3，
则S＝（12﹣3x+3）x＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣＜0，＜3，
∴x＝时，S有最大值，S最大值＝，
∴x＝时，S最大值＝（平方米）；
∵＞9，
∴饲养场的宽DF为米时，饲养场DBEF的面积最大，最大面积为平方米．
答：饲养场的宽DF为米时，饲养场DBEF的面积最大，最大面积为平方米．
【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
23．已知抛物线y＝x2+（2m﹣4）x+1．
（1）若点A（m，0）在抛物线上，求抛物线解析式．
（2）若x≤﹣2 时，y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若点B（﹣m，y1）C（m，y2），D（m+6，y3） 在抛物线上且y3＞y2≥y1，求m的取值范围．
【分析】（1）代入点A（m，0）即可求解；
（2）根据题意得出﹣≥﹣2，解不等式即可；
（3）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式）组），解不等式（组）即可．
【解答】解：（1）∵点A（m，0）在抛物线上，
∴m2+（2m﹣4）m+1＝0，
解得m＝1或m＝，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1或y＝x2﹣x+1；
（2）∵x≤﹣2 时，y随着x的增大而减小，
∴﹣≥﹣2，
解得m≤4；
（3）当m＞0时，可知点（﹣m，y1），（m，y2），（m+6，y3）从左至右分布，
∵y3＞y2≥y1，
∴，
解得m≥2；
当m≤0时，
∴﹣m+2＜，
解得﹣＜m≤0，
综上，m的取值范围是﹣＜m≤0或m≥2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023年浙教版九年级上数学《二次函数》单元测试
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，2）
2．将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
3．已知二次函数y＝3x2﹣12x+13，则函数值y的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
4．下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝3x2﹣2x C．y＝2x+1 D．y＝
5．已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（ ）
A．若x1＞x2，则y1＞y2
B．若x1＜x2，则y1＜y2
C．若，则y1＞y2
D．若，则y1＜y2
6．关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣3的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝2
C．与x轴没有交点
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
7．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝﹣（x﹣6）2+4．则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x+6）2+4 B．y＝﹣（x+6）2+4
C．y＝（x+6）2﹣4 D．y＝﹣（x+6）2﹣4
8．二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（ ）
A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2
9．已知函数y＝x2﹣8x+8，当0≤x＜m时，函数的最大值是8，最小值是﹣8，则m的值可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（1，0），B（3，0）．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上两个点．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．|y1|＜|y2| D．|y1|＞|y2|
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线y＝x2﹣3可以由抛物线y＝x2向 平移3个单位得到．
12．二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）的最小值是 ．
13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了 米．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则不等式x2+＞0的解为 ．
15．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度EF是 ．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 （填写序号）．
三．解答题（共7小题，共7小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点B（m，﹣2）在该函数图象上，求点B的坐标．
18．（8分）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点A的直线y2＝mx+n与抛物线在第一象限交于点D，若点D的纵坐标为5，请直接写出当y2＜y1时，x的取值范围是 ．
19．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
20． （10分）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
21．（10分）如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．
22．（12分）南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为9平方米，求DF的长；
（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
23．（12分）已知抛物线y＝x2+（2m﹣4）x+1．
（1）若点A（m，0）在抛物线上，求抛物线解析式．
（2）若x≤﹣2 时，y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若点B（﹣m，y1）C（m，y2），D（m+6，y3） 在抛物线上且y3＞y2≥y1，求m的取值范围．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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