武汉市第六中学2024届第一次月考数学试卷
一、单选题
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解对数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，所以，解得，
所以，
所以.
故选：D
2. 平面向量，，，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出与的夹角为，利用向量垂直得到方程，得到，求出夹角.
【详解】设与的夹角为，
则，即，
解得，
因为，所以.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义和复数的除法计算.
【详解】由，根据共轭复数的定义，，
于是.
故选：B
4. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，由题意可得需满足在区间上单调递减，且，由此列出不等式，求得答案.
【详解】令，则，
由题意可得需满足在区间上单调递减，且，
而的图象开口向下，对称轴为，故且，
即，
故选：C
5. 已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题意可知即为等腰三角形，
故是锐角三角形，只需，
将代入可得，
故在中，，，
则，化简整理，得，
∴，∴，
又，∴，
故选：B.
6. 已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解的中点的轨迹方程，根据向量的运算可得，再结合点与圆的位置关系，即可求解.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
设圆心到直线的距离为，
由圆的弦长公式，可得，即，解得，
设的中点为，
点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，
的轨迹方程为，
因为，
又，，
即,
即的取值范围为 .
故选：C
7. 已知等比数列的公比为q，则“是“，，成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列与等比数列的定义，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】因为为等比数列，则，
若，则，，为常数数列，且为等差数列，所以充分性满足；
若，，成等差数列，由等差中项的性质可得，，化简可得，
，且，则，解得或，所以必要性不满足；
所以“是“，，成等差数列”的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知、是方程的两个根，且，则等于（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用韦达定理、和角的正切求解作答.
【详解】方程中，，则，
于是，显然，
又，则有，，
所以
故选：B
二、多选题
9. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A.
B. 直线为函数图象的一条对称轴
C. 函数在区间上存在3个零点
D. 若在区间上的根为，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据周期函数的定义可得周期，故A正确；由，，推出，可得B正确；若当时，无零点，可推出无零点，可得C错误；根据的图象关于直线对称，推出，可得D错误.
【详解】对于A，因为，所以周期，故A正确；
对于B，因为为偶函数，所以，又，
所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；
对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，
又在区间上的根为，所以，故D错误.
故选：AB.
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 数据，，，，，的第百分位数为
B. 若经验回归方程为时，则变量与负相关
C. 对于随机事件，，若，，，则与相互独立
D. 某小组调查名男生和名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为，方差为；女生成绩的平均数为，方差为，则该人成绩的方差为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由百分位的计算公式即可判断A错误；由经验回归方程的意义分析可得B正确；由条件概率公式和相互独立事件的定义可得C正确；由方差计算公式即可得出D正确．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，由于，则数据，，，，，的第百分位数为，故A错误；
对于B，若经验回归方程为时，则变量与负相关，故B正确；
对于C，若，则有，变形可得，则与相互独立，故C正确；
对于D，人的成绩平均数，则人的方差，故D正确；
故选：BCD．
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 必为奇函数
C. D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】赋值法求的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得的值有周期性，即可求得的值，判断D.
【详解】对于A，令，则由可得，
故或，故A错误；
对于B，当时，令，则，则，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
当时，令，则，所以，
则，即，则为奇函数，
综合以上可知必为奇函数，B正确；
对于C，令 ，则，故.
由于,令,即，即有，故C正确；
对于D，若，令 ，则，则 ，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
故，故D正确，
故选：BCD
12. 棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（ ）
A. 过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B. 的最小值为
C. 当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为
D. 两点间的最短距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据面面平行的性质可判断A；将两半平面折成一个平面，从而求得线段和的最小值，判断B；确定三棱锥的外接球的球心位置，列式求解，可判断C；求解异面直线的公垂线段的长可判断D.
【详解】在正方体中，平面平面，
设过的截面截正方体所得的截面为，M为截面与的交点，
因为平面平面，平面平面，
所以，又，故，
即∽，而，
则，
又点为线段上一点（不包括端点），，
即过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形，A正确；
根据正方体性质可知≌，
故可将沿转到和重合位置，则的最小值为的长，
而正方体棱长为1，故，即的最小值为，B正确；
当点为线段中点时，设的中点为N，连接，
由于，故，
连接交于G，连接，则四边形为矩形，
故，平面，
故平面，又，则N为的外心，
故三棱锥外接球的球心在上，设为H，而,
，则，
设三棱锥的外接球半径为r，则，
解得，C错误；
当分别为的中点时，由C的分析可知Q位于N点位置，
此时，即此时间距离最短，最短距离为，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了几何体截面问题、线段和最小以及外接球半径和异面直线间的最短距离问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，特别是求外接球半径时，要确定球心位置，再列式求解.
三、填空题
13. 展开式中含项的系数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用项可由的展开式的常数项与二次项 一次项与一次项 二次项与常数项相乘得到，结合组合即可得出结果.
【详解】整个式子中项可由的展开式的常数项与二次项 一次项与一次项 二次项与常数项相乘得到，
故所求为：.
故答案为：.
14. 函数在上的单调递减区间是______．
【答案】（开区间也对）
【解析】
【分析】先求出函数的单调递减区间，再与定义域取交集可得出答案．
【详解】由，得，
故函数的单调递减区间为
再结合，可得函数在上的递减区间为.
故答案为：.
15. 如图1是某校园内的一座凉亭，已知该凉亭的正四棱台部分的直观图如图2所示，则该正四棱台部分的体积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据棱台体积公式求解即可；
【详解】
由图可知，
因为
故答案为：
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设，，的内切圆的半径分别 为，，.若椭圆C的离心率为，且，则直线l的斜率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得椭圆方程表示为，设直线为，，，，根据面积公式及椭圆的定义得到，再由，即可得到，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到、，代入解得.
【详解】因为椭圆的离心率为，
所以，，，
则椭圆方程可以表示为，
设直线为，，，，
由，消去整理得，显然，
所以，，则，
由，
由，
由，
又，所以，所以，
又，所以，
又，，所以，
所以，，
所以，所以，则或（舍去），
所以直线的斜率为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
四、解答题
17. 在中，角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换化简已知条件，从而求得.
（2）利用三角形的面积求得，进而求得，根据余弦定理求得，从而求得的周长.
【小问1详解】
由得，
，
，
由正弦定理得，
，
.
【小问2详解】
的面积为，即，得，
，
，
，
由余弦定理可得，
，
三角形的周长为.
18. 如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连交于，则为的中点，由线面平行的判定定理证明平面，平面，再用面面平行的判定定理证明平面平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量可求出结果.
【小问1详解】
连交于，则为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面.
【小问2详解】
因为平面，是正方形，所以两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
设，因为，则，，，，，，
则，，
因为，所以，得，
所以，，
设平面的一个法向量，
因为，，
所以，令，则，，则，
设平面的一个法向量，
因为，
所以，则，令，则，
.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知函数在处的切线与直线：垂直．
（1）求的单调区间；
（2）若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可；
（2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.
【小问1详解】
由，得，又切线与直线：垂直，所以，即．
所以，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
对任意实数，恒成立，
即对任意实数恒成立．
设，即．
，令，
所以恒成立，所以在上单调递增．
又，，所以存在，使得，
即，所以．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以
，
当时，，
所以，由题意知且
所以，即整数的最大值为1．
20. 设正项数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式.
（2）设，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，，再结合可求出，当时，由，得，两式相减化简可得，从而可求出通项公式，
（2）由（1）可得，配方化简后可得，然后利用裂项相消求和法可证得结论.
【小问1详解】
因为，所以，
又，所以，
因，所以，．
当时，，又，所以，
所以，所以，，
又，所以，．
当时，也符合，所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
因为，所以．
因为，所以，
所以，
所以．
21. 已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）分析给定的条件，结合抛物线的定义求出曲线的方程，即可求解；
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出弦长，结合三角形面积及向量的垂直的坐标表示，即可求解.
【小问1详解】
解：由线段的垂直平分线与直线交于点，可得，
即点到点的距离等于点到直线的距离，
又因为，的方程为，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
解：根据题意，直线的斜率不为，设直线，且，
联立方程组，可得，则，
所以，
所以，
又点，点到直线的距离为，
所以，
又以线段为直径的圆恒过点，所以，
所以，
又，所以，
所以，
所以，所以，
即，所以，
所以或，
又直线不经过点，所以，所以，此时满足，
所以，
解得或，所以直线的斜率为或.
【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：
1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.
22. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
（其中）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
（1）若，求，并根据全概率公式求；
（2）是否存在值，使得，请说明理由.
【答案】（1），
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由概率之和为1列出方程，求出，计算出，然后利用全概率公式可求得结果，
（2）假设存在，使，由于，两式相乘后得，设，利用导数可求出其最小值进行判断.
【小问1详解】
当时，，
则，解得.
由题意，得.
由全概率公式，得
又，所以.
小问2详解】
由，得.
假设存在，使.
将上述两式相乘，得，
化简，得.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以不存在使得.即不存在值，使得.武汉市第六中学2024届第一次月考数学试卷
一、单选题
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 平面向量，，，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知等比数列的公比为q，则“是“，，成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知、是方程的两个根，且，则等于（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
二、多选题
9. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A.
B. 直线为函数图象的一条对称轴
C. 函数区间上存在3个零点
D. 若在区间上的根为，则
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 数据，，，，，的第百分位数为
B. 若经验回归方程为时，则变量与负相关
C. 对于随机事件，，若，，，则与相互独立
D. 某小组调查名男生和名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为，方差为；女生成绩的平均数为，方差为，则该人成绩的方差为
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 必为奇函数
C. D. 若，则
12. 棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（ ）
A. 过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B. 的最小值为
C. 当点为线段中点时，三棱锥外接球的半径为
D. 两点间的最短距离为
三、填空题
13. 展开式中含项的系数为__________.
14. 函数在上的单调递减区间是______．
15. 如图1是某校园内的一座凉亭，已知该凉亭的正四棱台部分的直观图如图2所示，则该正四棱台部分的体积为__________.
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设，，的内切圆的半径分别 为，，.若椭圆C的离心率为，且，则直线l的斜率为_______.
四、解答题
17. 在中，角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
18. 如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，，求平面与平面夹角的余弦值.
19. 已知函数在处的切线与直线：垂直．
（1）求的单调区间；
（2）若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．
20. 设正项数列前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式.
（2）设，求证：．
21. 已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C方程；
（2）已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线的斜率.
22. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
（其中）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
（1）若，求，并根据全概率公式求；
