奥数拓展第二讲：多边形的面积综合-数学五年级上册苏教版
一、选择题
1．如图，梯形上底5厘米，下底7厘米，高4厘米，计算涂色部分面积错误的是（ ）。
A． B． C．
2．下面有很多梯形（图中除A、B、C、D以外，其余位于边上的点均为中点），有（ ）个梯形中涂色部分的面积正好占了整个梯形面积的一半。
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，长方形的面积是15平方米，平行四边形的面积（ ）平方米。
A．大于15 B．等于15 C．小于15 D．无法确定
4．20本练习本摞成长方体（下图1），它的前面是长方形。再把这摞练习本均匀地斜放（下图2），前面变成了一个平行四边形。平行四边形面积与长方形面积相比（ ）。
A．长方形面积大 B．平行四边形面积大 C．一样大 D．无法确定
5．如下图，在给定的正方形网格的格点上（每个小方格的的边长是1厘米）找一点C，便这一点和线段AB围成三角形的面积是2平方厘米，点C的位置共有（ ）个。
A．4 B．5 C．8 D．10
6．如下图，已知AB和CD是两条互相平行的直线，线段a、b互相平行，线段c、d互相平行，则图中甲的面积与乙的面积相比较，结果是（ ）。
A．甲面积大 B．乙面积大 C．面积相等 D．无法比较
二、填空题
7．如图，已知直角梯形的高是14厘米，，那么直角梯形的面积是( )平方厘米。
8．若小红将一张长方形纸片按照下图所示步骤进行折叠，则图③中空白三角形的面积是( )平方厘米。
9．如图由两个完全相同的正方形拼成。已知长方形的周长是24厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘米。
10．一个平行四边形的相邻两条边长分别为9厘米和6厘米，其中一条底边上的高为7厘米，这个平行四边形的面积是( )。
11．折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。
12．四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，AC＝18厘米，BD＝13厘米，则四边形ABCD的面积是( )平方厘米。
13．下图四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是9平方厘米。三角形CDH的面积是( )平方厘米。
14．如图，一只蚂蚁以每秒1厘米的速度沿边长为4厘米的正方形ABCD的边由A→B→C→D→D→A走一圈，当它走了t秒时走到P处。则当t＝( )时，以A，P，C为顶点的三角形面积等于2平方厘米。
三、解答题
15．如图，P是平行四边形ABCD外一点，三角形PAD的面积是20平方分米，三角形PBC的面积是45平方分米。求平行四边形ABCD的面积。
16．如图，三角形ABC与三角形ADE都是等腰直角三角形，BC＝8厘米，DE＝4厘米。求阴影部分的面积。
17．如图，靠墙用48米长的篱笆围成一块梯形菜地，这块菜地的面积是多少平方米？
18．如图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米，求阴影部分面积是多少？（简便算法得）
19．如图①，过正方形的中心O画两条线段，可以将正方形分成4个完全一样的等腰直角三角形。
① ② ③
（1）在图②和图③中，过中心O画两条线段，将正方形分成4个完全一样的图形。（用不同的方法画一画）
（2）在图①中，AC和BD的长度都是10厘米，这个正方形的面积是（ ）。
20．如图，正方形ABCD的边长是8厘米，等腰直角三角形EFG的斜边FG长26厘米，正方形与三角形放在同一直线上，CF＝10厘米，正方形以每秒2厘米的速度向右沿直线BC运动。当第6秒时，计算正方形与三角形重叠部分的面积是多少平方厘米？
参考答案：
1．B
【分析】通过观察图形可知，涂色部分两个三角形的底之和等于梯形的下底，两个三角形的高等于梯形的高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2；阴影部分的面积也可以看作梯形与空白三角形的面积差，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，把数据代入公式解答。
【详解】A.7×4÷2
＝28÷2
＝14（平方厘米）
B.（5+7）×4÷2÷2
＝12×4÷2÷2
＝48÷2÷2
＝24÷2
＝12（平方厘米）
C.（5+7）×4÷2-5×4÷2
＝12×4÷2-20÷2
＝24-10
＝14（平方厘米）
B算式求的是梯形面积的一半，而不是涂色部分的面积。
故答案为：B
【点睛】解答求组合图形的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答。
2．D
【分析】假设梯形的上底为2，下底为4，高为2，分别表示出各图中涂色部分的面积，进而得出涂色部分面积与梯形的面积关系；据此解答。
【详解】假设梯形的上底为2，下底为4，高为2，则梯形的面积为（2＋4）×2÷2＝6
图形1的涂色面积为：（1＋2）×2÷2＝3，是梯形面积的一半；
图形2的涂色面积为：（1＋2）×2÷2＝3，是梯形面积的一半；
图形3的涂色面积＝梯形的面积－两个空白三角形的面积，是：6－1×2÷2－4×1÷2＝3，是梯形面积的一半；
图形4：平行四边形AEJG与平行四边形EDHJ面积相等，平行四边形GJFB与平行四边形JHCF面积相等，所以涂色部分面积是梯形面积的一半；
图形5的涂色面积＝梯形的面积－四个空白三角形的面积，是：6－2×1÷2－4×1÷2＝3，是梯形面积的一半；
综上可知：涂色部分面积均为梯形的一半。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查梯形、三角形面积公式的灵活运用。
3．B
【分析】如图，图中红色的三角形和长方形等底等高，它的面积是长方形面积的一半；这个三角形也与平行四边形等底等高，它的面积是平行四边形面积的一半；所以长方形和平行四边形的面积相等，由此求解。
【详解】长方形的面积是红色三角形面积的2倍；平行四边形的面积是红色三角形的面积的2倍；所以平行四边形的面积与长方形的面积相等，都是15平方米。
故答案为：B
【点睛】解决本题根据三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半，进行推理求解。
4．C
【分析】根据题意，前面的长方形变成一个平行四边形，左右两边的长度变长了；而高没有发生变化，都是这摞日记本的厚度，所以长方形的面积和平行四边形的面积相等。
【详解】长方形的长＝平行四边形的底
长方形的宽＝平行四边形的高
长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高
因为：长×宽＝底×高
所以：长方形的面积＝平行四边形的面积
故答案为：C
【点睛】解答此题的关键是熟练掌握长方形的面积公式和平行四边形的面积公式。
5．D
【分析】AB的长是2厘米，三角形的面积是2平方厘米，那么AB边上的高应该是2厘米，到AB的距离是2厘米的点一共有10个。
【详解】如图：
符合要求的C点一共有10个，故答案选：D。
【点睛】三角形的面积等于底乘高再除以2，等底等高的三角形的面积相等。
6．C
【分析】如图，给甲、乙两部分同时加上相同的一个三角形，得到两个平行四边形，这两个平行四边形的底相同，高相等，所以面积相等，那么减去多加的部分，得到甲、乙的面积也相等。
【详解】如图所示：
图中甲的面积与乙的面积相等，故答案选C。
【点睛】本题所用的方法是差不变原理，差不变原理是求解几何问题常用的方法。
7．98
【分析】由于∠1＝∠2＝45°，而且梯形是一个直角梯形，所以可知，上下两个三角形是等腰直角三角形，由于上下两个等腰三角形的各自一条直角边相加是14厘米，可知梯形的上底和下底的和是14厘米，根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，把数代入公式即可求解。
【详解】由分析可知：梯形的上底加下底的和是14厘米。
（平方厘米）
梯形的面积是98平方厘米。
【点睛】本题主要考查梯形的面积公式以及三角形的特点，应熟练掌握梯形的面积公式并灵活运用。
8．4.5
【分析】由折叠过程可知，空白三角形是一个等腰直角三角形，阴影三角形是腰长为8厘米的等腰直角三角形，求出空白三角形的腰长即可求解面积，据此解答即可。
【详解】8－（8＋8－11）
＝8－（16－11）
＝8－5
＝3（厘米）
3×3÷2
＝9÷2
＝4.5（平方厘米）
即③中空白三角形的面积是4.5平方厘米。
【点睛】本题是考查简单图形的折叠问题，关键找出等腰三角形，并根据三角形的面积公式求解。
9．8
【分析】用两个完全一样的正方形拼成一个长方形，拼成长方形的长是原来正方形边长的2倍，宽是原来正方形的边长，根据长方形的周长是24厘米可以求出原来每个正方形的边长，进而求出阴影部分的面积。
【详解】24÷6＝4（厘米）
4×4÷2＝8（平方厘米）
故答案为：8
【点睛】解答本题关键是明确：把两个完全一样的正方形拼成一个长方形，长方形的长是原来正方形边长的2倍，宽是原来正方形的边长。
10．42平方厘米
【分析】根据直角三角形的特征，在直角三角形中斜边最长，由此可知，高7厘米对应的底是6厘米，根据平行四边形的面积公式求解即可。
【详解】6×7＝42（平方厘米）
【点睛】本题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是确定高对应的底是多少厘米。
11．220
【分析】折叠后图形减少的面积等于三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽；据此解答即可。
【详解】20×22÷2
＝440÷2
＝220（平方厘米）
【点睛】本题考查了图形的折叠问题，动手折一折能更直观的看出减少部分面积就是三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽。
12．117
【分析】观察图形可知，四边形ABCD包括两个三角形：三角形ABD和三角形BCD，AO和CO分别是这两个三角形的高。三角形的面积＝底×高÷2，则三角形ABD的面积＝13×AO÷2，三角形BCD＝13×CO÷2，那么四边形ABCD的面积＝13×AO÷2＋13×CO÷2＝13×（AO＋CO）÷2。已知AO＋CO＝18厘米，据此求出四边形的面积。
【详解】13×AO÷2＋13×CO÷2
＝13×（AO＋CO）÷2
＝13×18÷2
＝117（平方厘米）
【点睛】把四边形的面积看作两个等底的三角形面积之和，再运用乘法分配律把两个三角形的面积之和进行转化是解题的关键。
13．9
【分析】假设正方形ABCD的边长为a厘米，正方形DEFG的边长为b厘米，则梯形EFAD的面积＝（a＋b）×b÷2平方厘米；三角形FEC的面积＝（a＋b）×b÷2平方厘米；因为梯形EFAD的面积＝三角形AFH的面积＋梯形EFHD的面积；三角形FEC的面积＝三角形CDH的面积＋梯形EFHD的面积；所以三角形CDH的面积等于三角形AFH的面积。
【详解】设正方形ABCD的边长为a厘米，正方形DEFG的边长为b厘米，则
梯形EFAD的面积＝（a＋b）×b÷2（平方厘米）
三角形FEC的面积＝（a＋b）×b÷2（平方厘米）
即梯形EFAD的面积＝三角形FEC的面积
又因为梯形EFAD的面积＝三角形AFH的面积＋梯形EFHD的面积，三角形FEC的面积＝三角形CDH的面积＋梯形EFHD的面积
所以三角形CDH的面积等于三角形AFH的面积，即9平方厘米。
【点睛】本题的关键是找出梯形EFAD的面积与三角形FEC的面积的关系。
14．1，7，9，15
【分析】如图：
点P在AB或AD边上时，三角形AP边对应的高是4厘米；点P在CB或CD边上时，三角形CP边对应的高是4厘米；根据三角形的面积公式可得：AP（CP）边长为1时三角形APC的面积为2平方厘米；由此得出P点的位置，进而得出从A到P要走的长度，再根据路程÷速度＝时间求出到个点的时间；据此解答。
【详解】当点P在AB边上时：
AP＝2×2÷4＝1（厘米），从A到P需要1÷1＝1秒，即当t＝1时以A，P，C为顶点的三角形面积等于2平方厘米；
当点P在BC边上时：
CP＝2×2÷4＝1（厘米），从A到P需要走4＋4－1＝7厘米，要7÷1＝7秒；即当t＝7时以A，P，C为顶点的三角形面积等于2平方厘米；
当点P在CD边上时：
CP＝2×2÷4＝1（厘米），从A到P需要走4＋4＋1＝9厘米，要9÷1＝9秒；即当t＝9时以A，P，C为顶点的三角形面积等于2平方厘米；
当点P在AD边上时：
AP＝2×2÷4＝1（厘米），从A到P需要走4＋4＋4＋4－1＝15厘米，要15÷1＝15秒；即当t＝15时以A，P，C为顶点的三角形面积等于2平方厘米；
综上可知：当t＝1，7，9，15时，以A，P，C为顶点的三角形面积等于2平方厘米。
【点睛】本题主要考查三角形的一个顶点沿正方形四周运动过程中三角形面积的变化。
15．50平方分米
【分析】如图，过P点作AD的平行线，并分别与BA、CD的延长线相交于F、E两点，这样就得到了一个大平行四边形BCEF。观察可知，三角形PBC与平行四边形BCEF同底等高，则平行四边形BCEF的面积为45×2＝90（平方分米）；同理，平行四边形ADEF的面积为20×2＝40（平方分米）。要求平行四边形ABCD的面积，只需用平行四边形BCEF的面积减去平行四边形ADEF的面积。
【详解】45×2－20×2
＝90－40
＝50（平方分米）
答：平行四边形ABCD的面积是50平方分米。
【点睛】此题的解题关键是通过作辅助线，利用三角形面积和平行四边形面积之间的关系求解。
16．12平方厘米
【分析】根据题意，三角形ABC与三角形ADE都是等腰直角三角形，可以把原图补充如下图，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，用边长是8厘米的大正方形面积－边长是4厘米的小正方形面积，求出4个阴影部分面积，再除以4，即可解答。
【详解】由分析可知：补充图形如下图所示：
（8×8）－（4×4）
64－16
＝48（平方厘米）
48÷4＝12（平方厘米）
答：阴影部分面积是12平方厘米。
【点睛】解答本题的关键是明确两个三角形都是等腰直角三角形的特征，再把它补成两个正方形，进而解答。
17．190平方米
【分析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，用48－10求出上底与下底的和，然后根据公式计算即可。
【详解】（48－10）×10÷2
＝38×10÷2
＝190（平方米）
答：这块菜地的面积是190平方米。
【点睛】此题主要考查学生对梯形面积公式的实际应用。
18．18平方厘米
【分析】阴影部分面积＝边长是8厘米正方形面积＋边长是6厘米正方形的面积－底是大正方形边长，高是（大正方形边长＋小正方形边长）三角形面积－底是小正方形边长，高是小正方形边长的三角形面积－底是大正方形边长减去小正方形边长，高是大正方形边长的三角形面积，根据正方形面积公式：边长×边长，三角形面积公式：底×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】8×8＋6×6－8×（8＋6）÷2－6×6÷2－（8－6）×8÷2
＝64＋36－8×14÷2－36÷2－2×8÷2
＝64＋36－112÷2－18－16÷2
＝64＋36－56－18－8
＝100－56－18－8
＝44－18－8
＝26－8
＝18（平方厘米）
答：阴影部分面积是18平方厘米。
【点睛】本题考查正方形面积公式，三角形面积公式的应用，关键是仔细观察图形，找出三角形各个边的长度，再进行解答。
19．（1）画图见详解；
（2）50平方厘米
【分析】（1）根据正方形的特征：正方形的中心到各边的距离相等。在正方形内过中心点的任意一条线段（与一组对边相交），都能把正方形分成两个完全一样的图形。据此可以有画法一：分别找到对边的中点，沿着中点过正方形的中心，分别画两条线段。画法二：分别把正方形对边中一条边的处与另一条边的处连接，过正方形的中心，分别画两条线段。
（2）把正方形分成了两个相等的三角形，即三角形ABC与三角形ADC，所以要求正方形的面积，只要求出三角形ABC的面积再乘2即可。根据正方形的性质知道BD与AC互相垂直且平分，所以AC×BO÷2就是三角形ABC的面积。据此解答即可。
【详解】（1）画法如下：
（2）
三角形ABC的面积：
10×（10÷2）÷2
＝10×5÷2
＝25（平方厘米）
正方形的面积：25×2＝50（平方厘米）
这个正方形的面积是50平方厘米。
【点睛】本题是考查图形的切拼问题，掌握正方形的特征是解题的关键；并且利用了正方形的性质与三角形的面积计算公式解决问题。
20．2平方厘米
【分析】根据题意，求出正方形移动的距离，即2×6＝12厘米，如图所示：，正方形ABCD与三角形EFG相交于一个小三角形，且小三角形的一个直角边是12－10＝2厘米，由于三角形EFG是等腰直角三角形，角EFG是45°，所以小三角形也是等腰直角三角形，它的高也是2厘米，再根据三角形面积公式：底×高÷2，即可求出重叠部分的面积。
【详解】正方形6秒钟移动的距离：6×2＝12（厘米）
正方形与三角形EFG重叠的边长是12－10＝2（厘米）
三角形EFG是等腰直角三角形，角EFG是45°；
重叠的小三角形也是等腰直角三角形，即它的高是2厘米
重叠面积：2×2÷2
＝4÷2
＝2（平方厘米）
答：正方形与三角形EFG重叠部分的面积是2平方厘米。
【点睛】解答本题的关键是判断出重叠部分的三角形的形状，以及求出重叠部分的长度，再利用三角形面积公式，求出重叠部分的面积。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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