奥数拓展第三讲：长方体和正方体-数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．将三盒这样的饼干包装成一包，选择下面哪种尺寸包装纸比较合适？（ ）
A．
B．
2．一个长方体的上面、右面和后面的面积分别是12厘米2、8厘米2、6厘米2，这个长方体的体积是（ ）厘米。
A．57 B．52 C．24
3．张叔叔找来一些铁棒准备焊长方体框架，长度是5分米的铁棒有5根，长度是6分米的铁棒有8根，长度是7分米的铁棒有3根，长度是8分米的铁棒有7根，他可以焊（ ）种不同形状的长方体框架。（每条三棱上只用一根铁棒）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是（ ）平方厘米。
A．96 B．116 C．128 D．132
5．如图是A、B、C、D四个正方体中（ ）的平面展开图。
A． B． C． D．
6．关于下图中的两个立体图形，下列说法正确的是（ ）。
A．表面积，体积都相等 B．表面积相等，体积不等
C．表面积不等，体积相等 D．表面积，体积都不等
二、填空题
7．有一个长方体玻璃鱼缸（如图所示）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面积会不断发生变化。第一次有一组相对的面出现正方形时，鱼缸内有( )立方厘米的水，水与玻璃接触的面积是( )平方厘米。
8．至少用( )个棱长2厘米的小正方体可以拼成一个大正方体，拼成正方体的棱长和是( )厘米；如果用若干个棱长2厘米的小正方体拼成一个大正方体，用表示每条棱上小正方体的个数，那么拼成大正方体的体积是( )立方厘米。
9．如图，将若干个棱长1厘米的小正方体排成一排，拼成一个大长方体。
(1)3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是( )平方厘米。
(2)n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。
(3)如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。
10．一个长方体，如果高减少2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来减少56平方厘米。原来长方体的体积是( )立方厘米。
11．长方体不同的三个面的面积分别为15平方厘米、10平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是( )立方厘米。
12．下图中每个正方体的棱长都是a厘米。下面各图的表面积分别是多少平方厘米？
（6a2）（10a2）( )( )
13．有一个上、下两个面是正方形的长方体饼干盒，量出它的两条棱长分别是6厘米和20厘米，这个饼干盒的表面积最小是( )平方厘米，体积最大是( )立方厘米。
14．小明用一张长方形纸可以剪出一个完整的棱长为2厘米的无盖正方体表面展开图，这张长方形纸的面积最小是( )平方厘米。
三、解答题
15．一张长40厘米，宽20厘米的长方形铁皮，张师傅想把它加工成一个高5厘米的长方体无盖容器，并且使它的容积大于1500立方厘米，你想怎么设计？画出剪裁图，并算出容积（损耗略不计）。
16．数学实践活动课上，王老师拿出一张边长20厘米的正方形纸片。
王老师：“同学们，你们能通过裁剪等方法做成一个无盖的长方体纸盒吗？”
小军：“这太简单了！我们已经学习过长方体的展开图了！”
王老师：“想一想，要使做成的无盖长方体纸盒容积最大，该怎样剪贴呢？动手试试吧！
如果有困难，可以在图中画一画，标注主要数据，并算出它的最大容积。
（不考虑损耗与接缝，剪切数据取整厘米数）
17．一个长方体木块，从它的上部和下部分别截去高4厘米和5厘米的长方体后，成为一个正方体，这样表面积比原来减少了216平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？（提示：可以先画出示意图帮助理解）
18．一个长方体，如果长增加5厘米，体积增加100立方厘米；如果宽增加6厘米，体积就增加144立方厘米；如果高增加7厘米，体积增加210立方厘米。求原来长方体的表面积。
19．一个长方体容器，从里面量，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米的长方体铁棒，底面是边长为15厘米正方形，这时容器里的水深50厘米（如图①）。现在把铁棒轻轻地向上提起24厘米（如图②），伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长多少厘米？
20．为了引水灌溉，张圩村修建了一个长80米的水槽，水槽的横截面是一个边长8分米的正方形。
（1）如果要在水槽内壁的底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）引水灌溉时，如果水槽内的水深6分米，水流速度是25米/分，这个水槽1小时可以引水多少立方米？
参考答案：
1．A
【详解】将三盒这样的饼干包装成一包，把三盒饼干的最大面重合摞起来包装最节省包装纸，三盒饼干拼成一个长是18厘米，宽是15厘米，高是（3×3）厘米的长方体，根据长方体的侧面展开图的特征，把这个长方体的展开，然后与两种不同尺寸的纸进行比较即可。
【解答】解：长方体展开图的长：
（18＋3）×2
＝21×2
＝42（厘米）
长方体展开图的宽：
（15＋3）×2
＝18×2
＝36（厘米）
所以选择55×35的包装纸比较合适。
故选：A。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的展开图的特点。
2．C
【分析】设长、宽、高分别为a厘米、b厘米、h厘米，根据题意可表示出长方体上面、右面和后面的面积的算式，将这些算式相乘，可得到长、宽、高三数平方的积，进而得出长、宽、高三数乘积（长方体的体积）。
【详解】设长、宽、高分别为a厘米、b厘米、h厘米。
则ab＝12，bh＝8，ah＝6
将上面三式相乘为：
a2b2h2＝576
因为24×24＝576，所以abh＝24即长方体的体积是24。
故答案为：C
【点睛】解答本题的关键是用字母表示出长方体上面、右面和后面的面积算式。
3．B
【分析】根据题意，组成长方体的长、宽、高各需要4根，则每4根长度相同的铁棒为一组，要求有3组，其中5分米的铁棒有一组，6分米的铁棒有两组，8分米的铁棒有一组，7分米的铁棒不够4根故舍弃，从满足条件的四组中任意选择三组组成长方体。
【详解】由分析可知，从满足条件长方体有三组即：
（1）5分米、6分米和8分米；
（2）5分米、6分米和6分米；
（3）8分米、6分米和6分米。
故答案为：B
【点睛】本题关键是利用长方体的特征对铁棒进行合理的分配。
4．B
【分析】观察图可知：最后得到的立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋两个小正方体4个侧面面积的和，将数值代入正方体表面积公式中计算即可。
【详解】最后得到的立方体图形的表面积：
42×6＋22×4＋12×4
＝96＋16＋4
＝116（平方厘米）
故答案为：B
【点睛】本题考查正方体表面积公式的应用，关键要理解求得是哪几个面的面积和。
5．C
【分析】根据三个符号的位置，逐项分析。
【详解】A．根据展开图中符号的位置，□应该在这个正方体的上面，则不是这个正方体的展开图；
B．根据展开图中符号的位置，○应该在这个正方体的下面，则不是这个正方体的展开图；
C．根据展开图中符号的位置，□应该在这个正方体的左侧面，●应该在这个正方体的下面，则是这个正方体的展开图；
D．根据展开图中符号的位置，○应该在这个正方体的上面，则不是这个正方体的展开图。
故答案为：C
【点睛】本题考查正方体的展开图。要根据展开图中三个符号的位置关系，运用空间想象力解答此类问题。
6．C
【解析】设最小的正方体的棱长是1，两幅图都是从长、宽、高分别是3、2、2的长方体上挖去一个小正方体，只是挖去的位置不同。
【详解】设最小的正方体的棱长是1；
从顶点处挖去一个小正方体，表面积等于原来的长方体的表面积；
从棱中间挖去一个小正方体，表面积等于原来的长方体的表面积加上两个小正方形的面积；
所以二者表面积是不相等的，后者比前者大；
由于都是从长方体上挖去一个小正方体，体积都是长方体的体积减去一个小正方体的体积；
所以体积相等；
故答案选：C。
【点睛】在长方体的“挖坑”问题中，如果从顶点处挖，表面积不变，如果从棱中间挖，表面积增加两个面，如果从面中间挖，表面积增加4个面。
7． 1500 650
【分析】第一空，由题可知长方体的长、宽、高分别为15厘米、10厘米、20厘米，一组相对的面出现正方形的面为侧面，因为宽的长度最小，水面涨到10厘米的时候刚好出现一个正方形，这时候水占用长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高可得水的体积为15×10×10＝1500立方厘米；第二空，水与玻璃接触的面：前面和后面面积共为15×10×2＝300平方厘米；左面和右面面积共为10×10×2＝200平方厘米；底面面积为15×10＝150平方厘米，最后几个面相加可得面积为300＋200＋150＝650平方厘米。
【详解】水的体积：
15×10×10＝1500（立方厘米）
表面积：
15×10×2＋10×10×2＋15×10
＝300＋200＋150
＝650（立方厘米）
【点睛】此题为长方体表面积与体积的变型应用，要思考什么时候才能形成正方形为解题的关键点，这里要抓住最短边来解题，因为水在上升过程中，高度最先达到最短边的长度，这时候正方形就出来了；其次在算水与玻璃表面积的时候，需要注意水并没有接触到顶面，所以最顶面的面积是不算的。
8． 8 48
【分析】根据正方体棱长相等的性质，则至少8个小正方体才能拼成较大的正方体；拼成的正方体棱长是2×2＝4厘米，根据棱长和公式即可求解；每条棱是2厘米，根据正方体体积公式即可求解。
【详解】2×2×2＝8（个）
2×2×12
＝4×12
＝48（厘米）
＝
【点睛】本题主要考查正方体的棱长和公式和体积公式的灵活运用。
9．(1)14
(2)4n＋2
(3)25
【分析】每个小正方体有6个完全相同的正方形，根据“正方形的面积＝边长×边长”，求出一个正方形的面积，再乘正方形的个数，就是拼成长方体的表面积。
（1）1个正方体有6个面，6＝4×1＋2；
2个正方体拼成的长方体有10个面，10＝4×2＋2；
3个正方体拼成的长方体有14个面，14＝4×3＋2；
据此得出3个这样的小正方体拼成的长方体表面积。
（2）由上一题可得出，n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积为（4n＋2）平方厘米。
（3）已知拼成的长方体的表面积是102平方厘米，即4n＋2＝102，求出n的值，即是拼成长方体所用的小正方体的个数；根据正方体的体积公式V＝a3，求出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，就是拼成的这个长方体的体积。
【详解】（1）1×1＝1（平方厘米）
4×3＋2
＝12＋2
＝14（个）
1×14＝14（平方厘米）
3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是14平方厘米。
（2）n个这样的小正方体拼成的长方体的正方形的个数：（4n＋2）个；
1个正方形的面积：1×1＝1（平方厘米）
拼成的长方体的表面积：（4n＋2）×1＝（4n＋2）（平方厘米）
所以，n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是（4n＋2）平方厘米。
（3）4n＋2＝102
解：4n＋2－2＝102－2
4n＝100
4n÷4＝100÷4
n＝25
1×1×1＝1（立方厘米）
1×25＝25（立方厘米）
如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是25立方厘米。
【点睛】找出若干个小正方体并排拼成一个大长方体时，表面积变化的规律，按规律解题。
10．441
【分析】减少的表面积是一个长为底面周长，宽为2厘米的长方形，据此求出底面周长，除以4，求出长方体的长、宽，长方体的高＝长＋2厘米，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。
【详解】56÷2÷4
＝28÷4
＝7（厘米）
7×7×（7＋2）
＝7×7×9
＝441（立方厘米）
原来长方体的体积是441立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体体积和表面积的综合应用，明确表面积减少的部分包含哪些面是解题关键。
11．30
【分析】由题意可得：长×宽＝15平方厘米，长×高＝10平方厘米，宽×高＝6平方厘米，所以（长×宽×高）2＝15×10×6＝900，900＝30×30，所以长方体的体积＝长×宽×高＝30立方厘米；据此解答。
【详解】设长方体的长、宽、高分别为：a、b、c
由分析得：a×b×a×c×b×c＝15×10×6
即（a×b×c）2＝900
由于900＝30×30
所以长方体的体积是30立方厘米。
【点睛】本题考查了长方体的体积，关键是要掌握长方体的特征以及长方体的体积公式。
12． 14a2 42a2
【分析】每个正方体的棱长都是a厘米，则每个小正方形面的面积都是a2平方厘米；所以1个正方体的表面积是6a2平方厘米，可以写成（2＋4）a2平方厘米；
2个正方体拼组后减少了两个面，所以表面积是10a2平方厘米；可以写成（2＋2×4）a2平方厘米；
3个正方体拼组在一起减少了4个面，表面积是14a2平方厘米，可以写成（2＋3×4）a2平方厘米；
所以每增加一个小正方体就增加了4个面……由此若是n个正方体拼组一起表面积就可以写成（2＋n×4）a2平方厘米，由此即可解决问题。
【详解】第1个图形的表面积是6a2平方厘米
第2个图形的表面积是（2＋2×4）a2＝10a2
第3个图形的表面积是（2＋3×4）a2＝14a2
第10个图形的表面积是（2＋10×4）a2＝42a2
【点睛】此类题目要根据1个、2个、3个小正方体的拼组方法，推理得出一般规律进行解答。
13． 552 2400
【分析】要使饼干盒的表面积最小，那么它的长宽高要最小，即为6厘米，20厘米，6厘米，又因为上、下两个面是正方形所以长和宽相等为6厘米，根据长方体的表面积计算公式代入数值即可解答；体积最大，因为长方体体积＝长×宽×高，所以上、下两个面是正方形所以长和宽相等为20厘米，高为6厘米，代入公式即可解答。
【详解】（6×6＋20×6＋20×6）×2
＝276×2
＝552（平方厘米）
20×20×6＝2400（立方厘米）
【点睛】考查了长方体表面积及体积公式的实际应用。
14．32
【分析】根据正方形的展开图特征，在长方形中画出可能出现的情况，找出面积最小的一种即可。
【详解】
面积：（2×4）×（2×2）
＝8×4
＝32（平方厘米）；
面积：（2×3）×（2×3）
＝6×6
＝36（平方厘米）
32＜36
所以这张长方形纸的面积最小是32平方厘米。
【点睛】此题主要考查了正方体的展开图，需要牢记并能灵活运用。
15．图见详解；容积是1750立方厘米；2000立方厘米
【分析】根据题意，要做这个铁皮容器，有三种方法：
方法（1）4个角分别剪去一个边长5厘米的正方形，如图所示，，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这个铁皮的容积，再和1500立方厘米比较；
方法（2）将长方形的两个角分别剪去1个边长5厘米的正方形，再将剪下的正方形焊接在右边，如图，，计算出体积，再和1500立方厘米比较；
方法（3）从长方形的宽的两端分别剪去宽为5厘米，长为20厘米的长方形，再分别含在另外两边，如图，，计算出体积，再和1500立方厘米比较，即可解答。
【详解】方法（1）
（40－5－5）×（20－5－5）×5
＝（35－5）×（15－5）×5
＝30×10×5
＝300×5
＝1500（立方厘米）
1500立方厘米＝1500立方厘米。
方法（2）
（40－5）×（20－5×2）×5
＝35×（20－10）×5
＝35×10×5
＝350×5
＝1750（立方厘米）
1750立方厘米＞1500立方厘米；可以这样设计。
答：容积是1750立方厘米。
方法（3）
（40－5×2－5×2）×20×5
＝（40－10－10）×20×5
＝（30－20）×20×5
＝20×20×5
＝400×5
＝2000（立方厘米）
2000立方厘米＞1500立方厘米；可以这样设计。
容积是2000立方厘米。
【点睛】解答本题的关键是：利用画图，分别计算出容积，选择出最大的做法即可。
16．588立方厘米；见详解
【分析】根据题意，在一张边长20厘米的正方形纸片的四个角上剪去大小相等的四个小正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒；那么这个长方体的长、宽都等于正方形纸片的边长减去2个小正方形的边长，长方体的高等于小正方形的边长；
根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，分别求出当剪下的小正方形的边长是1厘米、2厘米、3厘米……这个无盖长方体的容积，比较大小，得出它的最大容积。
【详解】情况一：剪下的小正方形的边长是1厘米，即长方体的高是1厘米；
长方体的长、宽分别是：
20－1×2
＝20－2
＝18（厘米）
长方体的容积：
18×18×1＝324（立方厘米）
情况二：剪下的小正方形的边长是2厘米，即长方体的高是2厘米；
长方体的长、宽分别是：
20－2×2
＝20－4
＝16（厘米）
长方体的容积：
16×16×2
＝256×2
＝512（立方厘米）
情况三：剪下的小正方形的边长是3厘米，即长方体的高是3厘米；
长方体的长、宽分别是：
20－3×2
＝20－6
＝14（厘米）
长方体的容积：
14×14×3
＝196×3
＝588（立方厘米）
情况四：剪下的小正方形的边长是4厘米，即长方体的高是4厘米；
长方体的长、宽分别是：
20－4×2
＝20－8
＝12（厘米）
长方体的容积：
12×12×3
＝144×4
＝576（立方厘米）
588＞576＞512＞324
所以，当剪下的小正方形的边长是3厘米时，长方体的长、宽都是14厘米，高是3厘米，做成的无盖长方体纸盒容积最大。
如图：
答：在正方形纸片的四个角剪下四个边长3厘米的小正方形时，做成的无盖长方体纸盒容积最大为588立方厘米。
【点睛】明确在正方形纸的四个角剪下四个大小相等的小正方形，可以折成一个无盖的长方体，要求长方体的最大的容积，分情况讨论，找出长方体的长、宽、高，然后运用长方体的体积（容积）公式列式计算。
17．540立方厘米
【分析】如图，由题意可知，这是一个上、下面为正方形的长方体，从上部和下部分别截去高为4厘米和5厘米的长方体后，把截去的部分拼在一起，新增加的部分是一个展开后长为上、下底边长4倍，宽为（4＋5）厘米的长方形；根据长方形的面积计算公式“S＝ab”，即可求出这个长方形的长，长方形的长除以4就是中间剩下的正方体的棱长，即原长方体的长、宽，高是长加上（4＋5）厘米；根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出原长方体的体积
【详解】如图：
根据分析得：
216÷（4＋5）÷4
＝216÷9÷4
＝6（厘米）
6×6×（6＋4＋5）
＝36×15
＝540（立方厘米）
答：原来长方体的体积是540立方厘米。
【点睛】解答此题的关键，也是难点是求出中间所剩正方体的棱长，也就是原长方体的长、宽。
18．148平方厘米
【分析】当长增加5厘米，则宽和高不变，此时增加部分的体积：5×宽×高＝100，由此即可求出宽×高＝20平方厘米；宽增加6厘米，则长和高不变，增加部分的体积：长×高×6＝144，则长×高＝24平方厘米；高增加7厘米，则长和宽不变，增加部分的体积：长×宽×7＝210，则长×宽＝30平方厘米，之后根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。
【详解】宽×高：100÷5＝20（平方厘米）
长×高：144÷6＝24（平方厘米）
长×宽：210÷7＝30（平方厘米）
表面积：（20＋24＋30）×2
＝74×2
＝148（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是148平方厘米。
【点睛】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变。根据长方体的表面积公式解答即可。
19．25.6厘米
【分析】物体部分浸入水中，当轻轻提起物体时，水的体积不变，提起的那部分铁棒的体积＝容器中下降那部分水的体积，下降那部分水的底面积＝容器的底面积一铁棒的底面积。用“提起的那部分铁棒的体积÷（容器的底面积一铁块的底面积）”求出水面下降的高度，再加上提起的24厘米就是露出水面的铁棒上被水浸湿的部分的长度。
【详解】15×15×24÷（60×60－15×15）＋24
＝5400÷3375＋24
＝1.6＋24
＝25.6（厘米）
答：伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长25.6厘米。
【点睛】解决此类物体部分浸入水中的问题，要注意当轻轻提起物体时，提起的那部分物体的体积＝容器中下降那部分水的体积。
20．（1）192平方米
（2）720立方米
【分析】（1）通过题目可知，这个水槽的长是80米，宽是8分米，高是8分米，这个水槽的前面和后面不需要水泥的，由于要往水槽里引水，在底面和侧面抹上水泥，则求这个水槽的3个面的面积，即长×高×2＋长×宽，把数代入公式即可求解。
（2）由于6分米＝0.6米，1分钟能引水：0.6×0.8×25，则1小时的引水量，把1分钟引水量乘60即可。
【详解】（1）8分米＝0.8米
80×0.8×2＋80×0.8
＝128＋64
＝192（平方米）
答：抹水泥的面积是192平方米。
（2）1小时＝60分
0.6×0.8×25×60
＝0.48×25×60
＝12×60
＝720（立方米）
答：这个水槽1小时可以引水720立方米
【点睛】本题主要考查长方体的表面积和体积的公式，要注意这个水槽只有3个面是解题的关键。
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