河南省名校2023-2024学年高二上学期第一次联考
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册至选择性必修第一册第一章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点B，则B的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为200件、300件、400件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取了45件进行检验，则抽取的甲、乙种型号产品的数量之和为（ ）．
A．30 B．15 C．20 D．25
3．若，则（ ）．
A． B． C．2 D．
4．抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A表示“掷出的点数大于2”，则与A互斥且不对立的事件是（ ）．
A．掷出的点数为偶数 B．掷出的点数为奇数
C．掷出的点数小于2 D．掷出的点数小于3
5．已知一圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则（ ）．
A． B． C． D．
7．在正三棱柱中，，点D在棱上运动，若的最小值为，则三棱柱的外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（ ）．
A． B． C． D．7
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．河南省地理条件优越，是我国的粮食主要产区之g ，素有“中原粮仓”之称．2018～2022年河南省粮食产量如图所示，则（ ）．
2018～2022年河南省粮食产量图
A．2018～2022年河南省粮食产量的极差为282万吨
B．在2019～2022年这4年中，2022年河南省粮食产量的增长速度最大
C．2018～2022年河南省粮食产量的30％分位数为6695万吨
D．2018～2022年河南省粮食产量的60％分位数为6742万吨
11．如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则（ ）．
图1 图2
A．
B．点D到直线的距离为
C．点D到平面的距离为
D．平面与平面夹角的余弦值为
12．如图，在棱长为2的正方体中，点P满足，，E，F分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）．
A．当时，过E，F且与直线平行的平面截该正方体所得的截面为五边形
B．当时，过E，F且与直线平行的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当时，的最小值为
D．当时，的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，，若，则__________．
14．现有3张分别标有1，3，5的卡片，采取有放回的方式从中依次随机取出2张卡片，则抽到的2张卡片的数字之和不小于8的概率是__________．
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________．
16．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，G为的外心，D为直线上的一动点，设异面直线与所成的角为，则的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．
18．（12分）小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值；
（2）求通话时间在区间内的通话次数；
（3）试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
19．（12分）如图，在中，，，．
（1）求的值；
（2）过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值．
20．（12分）如图，在多面体中，平面，平面平面，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰直角三角形，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
21．（12分）A，B，C，D四人参加双淘汰赛制比赛．在第一轮的两场比赛中，A对B，C对D，这两场比赛的胜者进入优胜组，负者进入奋斗组．第二轮的两场比赛分别为优胜组和奋斗组的组内比赛，奋斗组中的胜者与优胜组中的负者均进入超越组，奋斗组中的负者直接被淘汰，优胜组中的胜者进入卓越组，第三轮比赛为超越组组内比赛，胜者进入卓越组，负者为季军．第四轮比赛为卓越组组内比赛，胜者为冠军，负者为亚军，每轮比赛都相互独立．
（1）设A，B，C，D四人每轮比赛的获胜率均为．
①求A和B都进入卓越组的概率；
②求D参加了四轮比赛并获得冠军的概率．
（2）若B每轮比赛的获胜率为，A，C，D三人水平相当，求A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的概率．
22．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，点M，N分别在线段，上．
（1）当M，N分别是，的中点时，证明：．
（2）当的长度最小时，求直线与平面所成角的大小．
河南省名校2023-2024学年高二上学期第一次联考
数学参考答案
1．B 由题意得B的坐标为．
2．D
由题意得，抽取的甲、乙种型号产品的数量之和为．
3．C
由题意得，得，所以．
4．C
“掷出的点数为偶数”与A不互斥，“掷出的点数为奇数”与A不互斥，“掷出的点数小于2”与A互斥且不对立，“掷出的点数小于3”与A对立．
5．C
设该圆锥的母线长为l，高为h，由，得，则，
所以该圆锥的体积为．
6．C
由题意得
，
所以
．
7．A
如图，将与矩形展开至同一平面，易知．
设，由题意知的最小值为，即．
由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）．
设的外接圆的半径为r，则，即．
设三棱柱的外接球的半径为R，则，
故三棱柱的外接球的表面积为．
8．C
设数据，，，，，的平均数为，方差为，
由，，得，，
则数据，，，，，的平均数为，
方差为
．
9．AD
若，则，得，得，A正确，B错误．
若，则，得，得，C错误，D正确．
10．ABD
由图可知2018～2022年河南省粮食产量的极差为万吨，2022年河南省粮食产量的增长速度最大．
2018～2022年河南省粮食产量从小到大依次为6544万吨，6649万吨，6695万吨，6789万吨，6826万吨，
因为，，所以2018～2022年河南省粮食产量的30％分位数为6649万吨，60％分位数为万吨．
11．ACD
在图1中，易得，，，，
在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，得，A正确．
取，，
则，，所以点D到直线的距离为，B错误．
设平面的法向量为，，
则，即，取，则，，
所以平面的一个法向量，
所以点D到平面的距离为，C正确．
平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为，D正确．
12．BCD
如图，连接，，
当时，，分别取，，，的中点G，J，I，H，连接，，，，，，
设与的交点为M，设与的交点为N，连接，．
易得，，，，
所以六边形为正六边形．
易证，，则四边形为平行四边形，
所以．
又平面，平面，所以平面．
当时，过E，F且与直线平行的截面为六边形，
该截面面积为，A错误；B正确．
如图，当时，得，
则P在平面上的轨迹是以A为圆心、圆心角为、半径为1的圆弧，当A，P，C三点共线时，的最小值为，的最大值为，C与D均正确．
13．2
由题意得，所以，得．
14．
设事件A为“抽到的2张卡片的数字之和不小于8”，
则这个试验的样本空间可记为，
共包含9个样本点，，包含3个样本点，
所以．
15．
由正弦定理得，则，
得，
所以，即．
因为，所以．
又，所以．
16．
不妨设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由题意得G为的中点，所以．
设，，得，
则，
因为，
所以．
当时，．
当时，，
得．
综上，，得．
17．解：设，（2分）
则，（4分）
所以，（6分）得．（8分）
故．（10分）
18．解：由，（2分）
得．（4分）
（2）因为通话时间在区间内的频率为，（6分）
所以通话时间在区间内的通话次数为．（8分）
（3）这100次通话的平均时间的估计值为分钟．（12分）
19．解：（1）在中，由余弦定理可得，
则，故．（3分）
由正弦定理可得，则．（6分）
（2）因为，所以，所以．（7分）
因为，所以，所以，（9分）
则．（10分）
设点A到直线的距离为d，
因为，，所以．（12分）
20．（1）证明：取的中点F，连接，．
因为是边长为2的正三角形，所以，且．（1分）
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．（2分）
因为平面，所以．（3分）
因为，所以四边形为平行四边形，所以．（4分）
因为平面，平面，所以平面．（5分）
（2）解：过点B作，以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，．（6分）
设平面的法向量为，
则，令，得．（8分）
设平面的法向量为，
则，令，得．（10分）
设平面与平面的夹角为，
则．（12分）
21．解：（1）①若A和B都进入卓越组，则胜者需要赢得优胜组组内比赛的胜利，负者需要赢得奋斗组组内比赛和超越组组内比赛的胜利，（1分）
则A和B都进入卓越组的概率为．（4分）
②D参加了四轮比赛并获得冠军的情况有两种．
第一种情况：D在C，D组内比赛获胜，D进入优胜组后进入超越组并获胜，再进入卓越组并获胜，其概率为．（5分）
第二种情况：D在C，D组内比赛后进入奋斗组并获胜，再进入超越组并获胜，最后进入卓越组并获胜，其概率为．（6分）
故D参加了四轮比赛并获得冠军的概率为．（7分）
（2）A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的情况有两种．
第一种情况：A，C在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与D比赛并获胜，其概率为．（9分）
第二种情况：A，C在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与B比赛并获胜，其概率为．（11分）
故A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的概率为．（12分）
22．（1）证明：如图，取的中点E，连接，．
∵M，N分别是，的中点，∴，．（1分）
∵，，∴，．（2分）
∵，∴平面．（3分）
∵平面，∴．（4分）
（2）解：∵平面平面，平面平面，，
∴平面．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设，，，
．（6分）
当的长度最小时，是直线，的公垂线，
则，得．（8分）
此时，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
可得平面的一个法向量．（10分）
∴直线与平面所成角的正弦值为，（11分）
∴直线与平面所成的角为．（12分）
