高中数学人教新课标A版必修二3.3.3点到直线的距离同步训练2
一、单选题
1．点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点(3，m)到直线x＋ y－4＝0的距离等于1，则m等于 （ ）
A． B．－ C．－ D． 或－
3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为 （ ）
A．－6或 B．－ 或1
C．－ 或 D．0或
4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是 （ ）
A．3x－4y＋4＝0 B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0 D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
5．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是 （ ）
A．y＝1 B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
6．若实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是 （ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
二、填空题
7．直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是 ．
8．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为 ．
9．与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为 ，
10．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为 ．
三、解答题
11．已知直线 经过点 ，且斜率为 .
（1）求直线 的方程；
（2）若直线 与 平行，且点 到直线 的距离为3，求直线 的方程.
12．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 ，求直线l1的方程．
13．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
（1）求BC边上的高所在直线的一般式方程；
（2）求△ABC的面积．
14．已知点P(2，－1)．
（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题已知：点 ，直线方程为： ，则：
.
故答案为：A.
【分析】点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为.
2．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】根据点到直线的距离公式得： ，解得m＝ 或－ .
故答案为：D.
【分析】根据点到直线的距离公式；列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.
3．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】∵两点 和 到直线 距离相等，∴ ，解得 ，或 ．
故答案为：A．
【分析】先根据点到直线的距离公式列出点A，B到所给直线的距离，由两距离相等可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.
4．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】在直线3x－4y＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则 ，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
故答案为：D.
【分析】先根据两直线平行时直线一般方程的特点设出所求直线方程，那么直线3x－4y＋1＝0上的任意一点到所求直线的距离都为3，据此可列出方程，解方程即可求得m的值，进而求得直线的方程.
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】∵kAB＝ ，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即：2x＋y－1＝0；又AB的中点C(4，1)，∴PC的方程为y＝1.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知所求直线可能是与直线AB平行且过点P的直线，也可能是线段AB的中垂线.
6．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】 表示直线 上一点 到原点的距离的平方，实际上就是求原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方， .
故答案为：B.
【分析】根据题意可知实际上就是求原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方.
7．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】由于两直线平行，所以由平行线间的距离公式可得 .
故答案为：.
【分析】题中在直线10x＋24y＋5＝0上取点（，），求该点到直线5x＋12y＋3＝0的距离即可.
8．【答案】(－12,0)或(8,0)
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】设P(a,0)，根据点到直线距离公式得： ，解得a＝－12或8，
∴点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．
故答案为：(－12,0)或(8,0)．
【分析】先根据题意设出点P的坐标，再根据点到直线的距离列出方程，解方程即可求得点P的坐标.
9．【答案】7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：设所求的直线方程为 7x+24y+c=0，d= =3，c=70，或﹣80，
故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0，
故答案为： 7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0．
【分析】根据两直线平行设出所求直线的方程，然后根据两直线间的距离公式列出方程，解方程即可求得c的值，进而求得满足条件的直线方程.
10．【答案】3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝ ，
∴c＝3或c＝－7，即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
故答案为：3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
【分析】两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离公式为：.
11．【答案】（1）解:由点斜式方程得， ，∴ .
（2）解:设 的方程为 ，则由平等线间的距离公式得， ，解得： 或 .
∴ 或
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据直线的点斜式求直线的方程；（2）先根据两直线平行设出所求直线的方程，再根据平行线间的距离公式列出方程，解方程即可求得所设位置数的值，进而可求得直线的方程.
12．【答案】解:∵l1∥l2，∴ ，∴ 或 ，①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴ ，解得n＝－22或n＝18.故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴ ，解得n＝－18或n＝22.故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】先根据两条直线平行的性质列方程求得m的值，再根据平行直线间的距离公式列方程求得n的值，即可求得直线l1的方程了.
13．【答案】（1）解:由斜率公式，得kBC＝5，
所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－ (x－2)，即x＋5y＋3＝0.
（2）解:由两点间的距离公式，得|BC|＝ ，BC边所在高的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，
所以点A到直线BC的距离d＝ ，
故S△ABC＝ .
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）先求得直线BC的斜率，再由两直线垂直求得BC高所在直线的斜率，且这一直线过点A，利用点斜式即可求得直线的方程；（2）由两点间的距离公式可求得BC边的长，再由点到直线的距离公式求得点A到BC边所在高的直线的距离，即可根据三角形的面积公式求得三角形的面积.
14．【答案】（1）解:①当l的斜率k不存在时显然满足要求，
∴l的方程为x＝2；
②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由点到直线距离公式得 ，
∴k＝ ，∴l的方程为3x－4y－10＝0.
故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
（2）解:易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以 ＝－ ＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，
最大距离为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）先对直线l的斜率的存在性进行讨论，当直线的斜率存在时利用斜截式设出直线l的方程，再由嗲到直线的距离公式列出方程，解方程即可求得斜率k的值，从而求得所需直线的方程；（2）先分析出满足距离最大直线的条件是：过P点且与PO垂直的直线，从而利用两直线垂直求得直线l的斜率，从而利用点斜式求得直线l的方程，也易求得最大距离.
高中数学人教新课标A版必修二3.3.3点到直线的距离同步训练2
一、单选题
1．点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题已知：点 ，直线方程为： ，则：
.
故答案为：A.
【分析】点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为.
2．已知点(3，m)到直线x＋ y－4＝0的距离等于1，则m等于 （ ）
A． B．－ C．－ D． 或－
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】根据点到直线的距离公式得： ，解得m＝ 或－ .
故答案为：D.
【分析】根据点到直线的距离公式；列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.
3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为 （ ）
A．－6或 B．－ 或1
C．－ 或 D．0或
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】∵两点 和 到直线 距离相等，∴ ，解得 ，或 ．
故答案为：A．
【分析】先根据点到直线的距离公式列出点A，B到所给直线的距离，由两距离相等可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.
4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是 （ ）
A．3x－4y＋4＝0 B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0 D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】在直线3x－4y＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则 ，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
故答案为：D.
【分析】先根据两直线平行时直线一般方程的特点设出所求直线方程，那么直线3x－4y＋1＝0上的任意一点到所求直线的距离都为3，据此可列出方程，解方程即可求得m的值，进而求得直线的方程.
5．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是 （ ）
A．y＝1 B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】∵kAB＝ ，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即：2x＋y－1＝0；又AB的中点C(4，1)，∴PC的方程为y＝1.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知所求直线可能是与直线AB平行且过点P的直线，也可能是线段AB的中垂线.
6．若实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是 （ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】 表示直线 上一点 到原点的距离的平方，实际上就是求原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方， .
故答案为：B.
【分析】根据题意可知实际上就是求原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方.
二、填空题
7．直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是 ．
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】由于两直线平行，所以由平行线间的距离公式可得 .
故答案为：.
【分析】题中在直线10x＋24y＋5＝0上取点（，），求该点到直线5x＋12y＋3＝0的距离即可.
8．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为 ．
【答案】(－12,0)或(8,0)
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】设P(a,0)，根据点到直线距离公式得： ，解得a＝－12或8，
∴点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．
故答案为：(－12,0)或(8,0)．
【分析】先根据题意设出点P的坐标，再根据点到直线的距离列出方程，解方程即可求得点P的坐标.
9．与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为 ，
【答案】7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：设所求的直线方程为 7x+24y+c=0，d= =3，c=70，或﹣80，
故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0，
故答案为： 7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0．
【分析】根据两直线平行设出所求直线的方程，然后根据两直线间的距离公式列出方程，解方程即可求得c的值，进而求得满足条件的直线方程.
10．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为 ．
【答案】3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝ ，
∴c＝3或c＝－7，即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
故答案为：3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
【分析】两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离公式为：.
三、解答题
11．已知直线 经过点 ，且斜率为 .
（1）求直线 的方程；
（2）若直线 与 平行，且点 到直线 的距离为3，求直线 的方程.
【答案】（1）解:由点斜式方程得， ，∴ .
（2）解:设 的方程为 ，则由平等线间的距离公式得， ，解得： 或 .
∴ 或
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据直线的点斜式求直线的方程；（2）先根据两直线平行设出所求直线的方程，再根据平行线间的距离公式列出方程，解方程即可求得所设位置数的值，进而可求得直线的方程.
12．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 ，求直线l1的方程．
【答案】解:∵l1∥l2，∴ ，∴ 或 ，①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴ ，解得n＝－22或n＝18.故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴ ，解得n＝－18或n＝22.故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】先根据两条直线平行的性质列方程求得m的值，再根据平行直线间的距离公式列方程求得n的值，即可求得直线l1的方程了.
13．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
（1）求BC边上的高所在直线的一般式方程；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解:由斜率公式，得kBC＝5，
所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－ (x－2)，即x＋5y＋3＝0.
（2）解:由两点间的距离公式，得|BC|＝ ，BC边所在高的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，
所以点A到直线BC的距离d＝ ，
故S△ABC＝ .
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）先求得直线BC的斜率，再由两直线垂直求得BC高所在直线的斜率，且这一直线过点A，利用点斜式即可求得直线的方程；（2）由两点间的距离公式可求得BC边的长，再由点到直线的距离公式求得点A到BC边所在高的直线的距离，即可根据三角形的面积公式求得三角形的面积.
14．已知点P(2，－1)．
（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
【答案】（1）解:①当l的斜率k不存在时显然满足要求，
∴l的方程为x＝2；
②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由点到直线距离公式得 ，
∴k＝ ，∴l的方程为3x－4y－10＝0.
故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
（2）解:易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以 ＝－ ＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，
最大距离为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）先对直线l的斜率的存在性进行讨论，当直线的斜率存在时利用斜截式设出直线l的方程，再由嗲到直线的距离公式列出方程，解方程即可求得斜率k的值，从而求得所需直线的方程；（2）先分析出满足距离最大直线的条件是：过P点且与PO垂直的直线，从而利用两直线垂直求得直线l的斜率，从而利用点斜式求得直线l的方程，也易求得最大距离.
