陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2018高二上·长安期末）设复数 满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】 复数 满足
=
故答案为：
【分析】本题考查的是复数的模的求法，先根据复数的运算把z化简成a+bi的形式，然后代入求模公式进行求解即可。
2．（2018高二上·长安期末）已知命题“ x∈R，使2x2＋（a－1）x＋ ≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1） B．（－1，3 ）
C．（－3，＋∞） D．（－3，1）
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】原命题是假命题，所以其否定 是真命题 。
∴=（-1）2-4×2×＜0
∴-1＜＜3
故答案为：B。
【分析】本题考查的是特称命题的否定，要求解实数a的取值范围，首先要把前面的假命题转化为真命题，根据真命题的特征进行求解，所以特称命题的否定就是全称命题，就应该是真命题。不等式对任意的实数都成立，根据二次函数和不等式、方程之间的关系，可知判别式＜0即可求解。
3．（2018高二上·长安期末）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）
A．30辆 B．1700辆 C．170辆 D．300辆
【答案】B
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为
估计 辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 （辆）
故答案为：
【分析】本题考查频率分布直方图以及用样本去估计整体，首先要根据频率分布直方图求解出该处汽车的频率，即90~110三个长方形的面积和即为所求频率，然后用总数×频率就是所要求的的答案。
4．（2018高二上·长安期末）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（ ）
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
【答案】D
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当n=k时，等式左端= ，当n=k+1时，等式左端= ，增加了2k+1项．故答案为：D．
【分析】本题主要考查数学归纳法的理解，在证明过程中n=k+1时应在原来的基础上增加了多少项，此题的关键要弄清楚从哪一项开始的，到哪一项结束的，此题原来的最后一项是，根据规律可知，下一项应该是，而题目要求的是加到，因此应该选D.
5．（2018高二上·长安期末）已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】根据正四面体的的棱长为 ，画出图形如下：
故答案为：
【分析】本题主要考查向量的数量积的应用，根据题目中所要求解的向量转化为已知的向量的运算，再根据正四面体的特征夹角为60度即可求解。
6．（2018高二上·长安期末）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）．
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】先根据题意画出图形：
得到积分上限为 ，积分下限为
曲线 与直线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
而
故曲边梯形的面积为
故答案为：
【分析】本题考查的是定积分求封闭图形面积的问题，找到积分上限和下限，然后代入定积分的公式上面直线减曲线求解即可。
7．（2018高二上·长安期末）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩
乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）
乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩
丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩
故答案为：
【分析】本题主要考查合情推理的应用，解题的关键在于四人所知只有自己看到，老师所说及甲最后所说的，慢慢的推导出答案。甲不知道自己的成绩
乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）
乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩
丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩。
8．（2017高二下·成都开学考）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【答案】C
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；
∴y=8；
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，
∴x=5．
故选：C．
【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
9．（2018高二上·长安期末）已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且 的一个充分不必要条件是 ，则a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，－3]
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】 的一个充分不必要条件是 ，所以p是q的必要不充分条件，即 ，所以
故答案为：A
【分析】本题主要考查充分必要条件及命题的否定的应用，要求a的取值范围，要先找到已知条件的等价命题， q 的一个充分不必要条件是 p ，即是的充分不必要条件，也就是，等价命题为，所以p是q的必要不充分条件，也就是集合 { x | x a } { x | x 2 ＋ 2 x － 3 0 }，进而可以得到a的取值范围。
10．（2018高二上·长安期末）已知正四棱柱 中， ， 为 的中点，则直线 与平面 的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】
如图，连接 交 于 ，在三角形 中，易证 ，
平面
直线 与平面 的距离即为点 到平面 的距离，设为
在三棱锥 中，
在三棱锥 中，
故答案为：
【分析】本题主要考查立体几何中线到面的距离问题，线到面的距离可以转化为点到面的距离问题，进而转化为求几何体的高的问题，本题中的点到面BED的距离问题转化为点A到面BED的距离问题，根据三棱锥的特点，可以利用等积关系求解，因为三棱锥 E A B D和三棱锥 A B D E的体积是相等的，进而可以求解A点到面BDE的距离。
11．（2018高二上·长安期末）已知双曲线C： (a>0，b>0)与直线 交于 其中 ，若 ,且 ,则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ，
，
联立方程 ，解得
即
，
则渐近线方程为
故答案为：
【分析】本题主要考查双曲线的渐近线方程的应用，要求双曲线的渐近线方程，必须找到a和b之间的关系，根据已知条件代入坐标，需要求解和，因此要联立两个方程求解方程组，化简计算根据韦达定理可以求得，结合前面的向量即可求出a和b的关系。
12．（2018高二上·长安期末）设函数 = ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A．[- ，1） B．[- ， ）
C．[ ， ） D．[ ，1）
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】
函数 ，其中 ，
设 ，
存在唯一的整数 使得
存在唯一的整数 使得 在直线 的下方
当 时，
当 时，
当 时， ，
直线 恒过 ，斜率为
故
，
解出
故选
【分析】本题主要考查导数的应用以及利用导数求解函数的极值问题，要注意结合图像进行求解。设 g ( x ) = e x ( 2 x 1 ) ， y = a x a，由存在唯一的整数 x 0 使得 f ( x 0 ) < 0 存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，根据数形结合可得， a > g ( 0 ) = 1即g ( 1 ) = 3 e 1 ≥ a a ，然后解不等式即可。
二、填空题
13．（2018高二上·长安期末）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．
【答案】60
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【解答】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的，
∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，
∴应从一年级本科生中抽取学生人数为： .
故答案为：60
【分析】本题主要考查分层抽样和样本估计总体的应用，先根据已知条件中所给的比例求出一年级本科生占总数的比例，然后根据总人数求解即可。
14．（2018高二上·长安期末）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 ，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ．
【答案】3
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即 ，要使用料最省即求全面积的最小值，而S全面积=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径
（法二）：S全面积=πr2+2πrh= = ，利用基本不等式可求用料最小时的r
解：设圆柱的高为h，半径为r
则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π
S全面积=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），（r＞0）
=
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值
（法二）：S全面积=πr2+2πrh= =
= =27π
当且仅当 即r=3时取等号
当半径为3时，S最小即用料最省
故答案为：3
【分析】本题主要考查圆柱的体积及表面积的最值问题。要求用料最省，要根据实际问题转化为数学问题，即先设圆柱的高为h，半径为r，根据圆柱的体积公式可得到h，要使用料最省，即求圆柱全面积的最小值，根据公式代入全面积公式，利用不等式即可求解最小值。也可根据导数的单调性求解最小值问题。
15．（2018高二上·长安期末）设函数 是奇函数 的导函数, ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，所以 在 上是减函数，又 ，所以 是偶函数，因此 ，当 时， ，所以 ，同理，当 时， ，所以 ，综上应填 .
【分析】本题主要考查利用导数求函数的单调性的问题。再根据函数的单调性和奇偶行求解不等式即可。由已知当 x > 0 时， x f ′ ( x ) f ( x ) < 0 ，则可判断g(x)为减函数，又根据f(x)是奇函数，可以证明g(x)是偶函数，再根据函数的单调性和奇偶性，解不等式即可。
16．（2018高二上·长安期末）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： (a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O、A、B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ： 的渐近线方程为
与抛物线 ： 联立，
可得 或
取 ，则
的垂心为 的焦点
综上所述，故答案为：
【分析】本题主要考查双曲线的性质，联立方程组分别求出点A、B的坐标，再根据三角形垂心的性质可得到，即，进而可以得到a和b的关系，根据双曲线中a，b，c的关系可以得到离心率。
三、解答题
17．（2018高二上·长安期末）已知 “直线 与圆 相交”； ：“方程 有一正根和一负根”.若 或 为真， 非p为真，求实数 的取值范围.
【答案】解：对p：∵直线与圆相交，∴d＝ ＜1. ∴－ ＋1＜m＜ ＋1.对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，∴令f(x)＝mx2－x＋m－4，∴ 或 解得0＜m＜4.又∵ p为真，∴p假. 又∵p或q为真，∴q为真.由数轴可得 ＋1≤m＜4.故m的取值范围是 ＋1≤m＜4
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】本题主要考查复合命题的真假判断的应用。要根据已知条件先求出p或q为真命题，非p为真命题的等价条件，根据分析可得p为假命题，q为真命题，命题p和q的解题即可求出m的取值范围。
18．（2018高二上·长安期末）设函数 ，若函数 在 处与直线 相切．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）求函数 在 上的最大值．
【答案】解：(Ⅰ)f′(x)＝ －2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－ 相切，∴ 解得 (Ⅱ)由(1)知， ， 当 ≤x≤e时，令f′(x)>0，得 ≤x<1，令f′(x)<0，得1
【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求解最值问题。第一小题主要利用导数的几何意义，根据函数与直线相切，可得直线是函数在处的切线，列出方程组即可。第二小题直接根据函数求导，利用导数求出函数的单调区间，根据单调性求出区间上的最大值。
19．（2018高二上·长安期末）已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ， （ ）两点，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值.
【答案】（1）解：设直线AB方程为：y=
联立 得
由韦达定理得：
由抛物线定理知：
|AB|=|AF|+|BF|=
得： 即p=4
∴抛物线方程为：
（2）解：由p=4，方程： 化为
解得x1=1, x2=4.即A（1，-2 ） B（4，4 ）
由 + （4，4 ）
知 代入抛物线方程
.
解得： =0或 =2
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】本题主要考查有关抛物线的标准方程和简单的性质问题。第一小题，主要是根据弦长问题求解抛物线的标准方程，先根据题意求出抛物线的交点坐标，进而写出过焦点的直线方程，然后和抛物线方程进行联立，利用弦长公式即可求得p，求出抛物线的标准方程。第二小题主要是抛物线性质的应用，根据第一小题中求出点A，B的坐标，根据向量的关系式 O C = O A + λ O B 求出点C的坐标，代入抛物线方程即可求解。
20．（2018高二上·长安期末）如图，在四棱锥 中， ，且 .
（1）证明：平面 ⊥平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）解：由已知 ，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）解：在平面 内做 ，垂足为 ，
由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 .
由（1）及已知可得 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则
，即 ，
可取 .
设 是平面 的法向量，则
，即 ，
可取 .
则 ，
所以二面角 的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】本题主要考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角大小的问题。第一小题主要就是面面垂直判定定理的应用，要正面面面垂直，只要证明面内的一条线垂直于另一个平面即可，也就是要利用线面垂直的判定定理证明即可。第二问建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角公式求解二面角的大小。
21．（2018高二上·长安期末）一张坐标纸上涂着圆E： 及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP'交于点M．
（1）求 的轨迹 的方程；
（2）直线 与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若 ，求△ABO的面积的取值范围．
【答案】（1）解：折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2 ，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2 ＞|EP|，
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a= ，c=1，
∴b2=a2﹣c2=1， ∴M的轨迹C的方程为
（2）解：l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，
则O到l即直线AB的距离： =1，即m2=k2+1，
由 ，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，
∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= ，
又 =x1x2+y1y2= ，∴ ，∴ ，
= = ，
设μ=k4+k2，则 ，∴ = ， ，
∵S△AOB关于μ在[ ，2]单调递增，
∴ ，∴△AOB的面积的取值范围是[ ， ]
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线的综合应用和平面向量的数量积的问题。第一小题主要考查圆锥曲线的轨迹方程的问题，根据已知条件中的垂直平分线，根据垂直平分线的特点，可以得到动点到两定点的和为定值，可以得出轨迹为椭圆，根据椭圆的特点确定a,b,c即可。第二小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用的问题，要求三角形的面积，就要先找到底和高，由已知条件可知，高是确定的1，所以求底也就是要求弦长的问题，也就要联立直线和椭圆方程，然后利用韦达定理和向量的数量积进行求解弦长AB即可。
22．（2018高二上·长安期末）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明: 对于任意的 成立.
【答案】（1）解： 的定义域为 ； .
当 ， 时， ， 单调递增； ， 单调递减.当 时， .
① ， ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
②a=2时， ，在 内， ， 单调递增；
③ 时， ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
综上所述，
当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减；
当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递增；
当 ， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增.
（2）解：由（Ⅰ）知，a=1时，
， ，
令 ， .
则 ，
由 可得 ，当且仅当x=1时取得等号.
又 ，
设 ，则 在 单调递减，因为 ，
所以在 上存在 使得 时， 时， ，
所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减，
由于 ，因此 ，当且仅当x=2取得等号，
所以 ，
即 对于任意的 恒成立
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）主要考查利用导数讨论函数的单调性问题，根据已知条件先求符合函数的导数，，再根据导数的性质对参数a进行分类讨论，利用导数的性质判读函数的单调性。（2）主要考查利用导数求解函数的最值问题，所以首先要对函数进行变形，把不等式转化为对于任意的恒成立，也就是不等式左边的新函数的最小值大于即可，所以关键就是求函数的最小值的问题，因此要构造新函数,，分别求函数的最小值和最大值，进而求出函数的最小值即可得到结论。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2018高二上·长安期末）设复数 满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．2
2．（2018高二上·长安期末）已知命题“ x∈R，使2x2＋（a－1）x＋ ≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1） B．（－1，3 ）
C．（－3，＋∞） D．（－3，1）
3．（2018高二上·长安期末）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）
A．30辆 B．1700辆 C．170辆 D．300辆
4．（2018高二上·长安期末）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（ ）
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
5．（2018高二上·长安期末）已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
6．（2018高二上·长安期末）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）．
A．4 B． C．2 D．
7．（2018高二上·长安期末）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．（2017高二下·成都开学考）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
9．（2018高二上·长安期末）已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且 的一个充分不必要条件是 ，则a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，－3]
10．（2018高二上·长安期末）已知正四棱柱 中， ， 为 的中点，则直线 与平面 的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（2018高二上·长安期末）已知双曲线C： (a>0，b>0)与直线 交于 其中 ，若 ,且 ,则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（2018高二上·长安期末）设函数 = ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A．[- ，1） B．[- ， ）
C．[ ， ） D．[ ，1）
二、填空题
13．（2018高二上·长安期末）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．
14．（2018高二上·长安期末）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 ，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ．
15．（2018高二上·长安期末）设函数 是奇函数 的导函数, ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是 ．
16．（2018高二上·长安期末）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： (a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O、A、B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ．
三、解答题
17．（2018高二上·长安期末）已知 “直线 与圆 相交”； ：“方程 有一正根和一负根”.若 或 为真， 非p为真，求实数 的取值范围.
18．（2018高二上·长安期末）设函数 ，若函数 在 处与直线 相切．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）求函数 在 上的最大值．
19．（2018高二上·长安期末）已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ， （ ）两点，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值.
20．（2018高二上·长安期末）如图，在四棱锥 中， ，且 .
（1）证明：平面 ⊥平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.
21．（2018高二上·长安期末）一张坐标纸上涂着圆E： 及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP'交于点M．
（1）求 的轨迹 的方程；
（2）直线 与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若 ，求△ABO的面积的取值范围．
22．（2018高二上·长安期末）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明: 对于任意的 成立.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】 复数 满足
=
故答案为：
【分析】本题考查的是复数的模的求法，先根据复数的运算把z化简成a+bi的形式，然后代入求模公式进行求解即可。
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】原命题是假命题，所以其否定 是真命题 。
∴=（-1）2-4×2×＜0
∴-1＜＜3
故答案为：B。
【分析】本题考查的是特称命题的否定，要求解实数a的取值范围，首先要把前面的假命题转化为真命题，根据真命题的特征进行求解，所以特称命题的否定就是全称命题，就应该是真命题。不等式对任意的实数都成立，根据二次函数和不等式、方程之间的关系，可知判别式＜0即可求解。
3．【答案】B
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为
估计 辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 （辆）
故答案为：
【分析】本题考查频率分布直方图以及用样本去估计整体，首先要根据频率分布直方图求解出该处汽车的频率，即90~110三个长方形的面积和即为所求频率，然后用总数×频率就是所要求的的答案。
4．【答案】D
【知识点】数学归纳法的原理
【解析】【解答】当n=k时，等式左端= ，当n=k+1时，等式左端= ，增加了2k+1项．故答案为：D．
【分析】本题主要考查数学归纳法的理解，在证明过程中n=k+1时应在原来的基础上增加了多少项，此题的关键要弄清楚从哪一项开始的，到哪一项结束的，此题原来的最后一项是，根据规律可知，下一项应该是，而题目要求的是加到，因此应该选D.
5．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】根据正四面体的的棱长为 ，画出图形如下：
故答案为：
【分析】本题主要考查向量的数量积的应用，根据题目中所要求解的向量转化为已知的向量的运算，再根据正四面体的特征夹角为60度即可求解。
6．【答案】A
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】先根据题意画出图形：
得到积分上限为 ，积分下限为
曲线 与直线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
而
故曲边梯形的面积为
故答案为：
【分析】本题考查的是定积分求封闭图形面积的问题，找到积分上限和下限，然后代入定积分的公式上面直线减曲线求解即可。
7．【答案】D
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩
乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）
乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩
丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩
故答案为：
【分析】本题主要考查合情推理的应用，解题的关键在于四人所知只有自己看到，老师所说及甲最后所说的，慢慢的推导出答案。甲不知道自己的成绩
乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）
乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩
丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩。
8．【答案】C
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；
∴y=8；
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，
∴x=5．
故选：C．
【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
9．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】 的一个充分不必要条件是 ，所以p是q的必要不充分条件，即 ，所以
故答案为：A
【分析】本题主要考查充分必要条件及命题的否定的应用，要求a的取值范围，要先找到已知条件的等价命题， q 的一个充分不必要条件是 p ，即是的充分不必要条件，也就是，等价命题为，所以p是q的必要不充分条件，也就是集合 { x | x a } { x | x 2 ＋ 2 x － 3 0 }，进而可以得到a的取值范围。
10．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】
如图，连接 交 于 ，在三角形 中，易证 ，
平面
直线 与平面 的距离即为点 到平面 的距离，设为
在三棱锥 中，
在三棱锥 中，
故答案为：
【分析】本题主要考查立体几何中线到面的距离问题，线到面的距离可以转化为点到面的距离问题，进而转化为求几何体的高的问题，本题中的点到面BED的距离问题转化为点A到面BED的距离问题，根据三棱锥的特点，可以利用等积关系求解，因为三棱锥 E A B D和三棱锥 A B D E的体积是相等的，进而可以求解A点到面BDE的距离。
11．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ，
，
联立方程 ，解得
即
，
则渐近线方程为
故答案为：
【分析】本题主要考查双曲线的渐近线方程的应用，要求双曲线的渐近线方程，必须找到a和b之间的关系，根据已知条件代入坐标，需要求解和，因此要联立两个方程求解方程组，化简计算根据韦达定理可以求得，结合前面的向量即可求出a和b的关系。
12．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】
函数 ，其中 ，
设 ，
存在唯一的整数 使得
存在唯一的整数 使得 在直线 的下方
当 时，
当 时，
当 时， ，
直线 恒过 ，斜率为
故
，
解出
故选
【分析】本题主要考查导数的应用以及利用导数求解函数的极值问题，要注意结合图像进行求解。设 g ( x ) = e x ( 2 x 1 ) ， y = a x a，由存在唯一的整数 x 0 使得 f ( x 0 ) < 0 存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，根据数形结合可得， a > g ( 0 ) = 1即g ( 1 ) = 3 e 1 ≥ a a ，然后解不等式即可。
13．【答案】60
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【解答】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的，
∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，
∴应从一年级本科生中抽取学生人数为： .
故答案为：60
【分析】本题主要考查分层抽样和样本估计总体的应用，先根据已知条件中所给的比例求出一年级本科生占总数的比例，然后根据总人数求解即可。
14．【答案】3
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即 ，要使用料最省即求全面积的最小值，而S全面积=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径
（法二）：S全面积=πr2+2πrh= = ，利用基本不等式可求用料最小时的r
解：设圆柱的高为h，半径为r
则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π
S全面积=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），（r＞0）
=
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值
（法二）：S全面积=πr2+2πrh= =
= =27π
当且仅当 即r=3时取等号
当半径为3时，S最小即用料最省
故答案为：3
【分析】本题主要考查圆柱的体积及表面积的最值问题。要求用料最省，要根据实际问题转化为数学问题，即先设圆柱的高为h，半径为r，根据圆柱的体积公式可得到h，要使用料最省，即求圆柱全面积的最小值，根据公式代入全面积公式，利用不等式即可求解最小值。也可根据导数的单调性求解最小值问题。
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，所以 在 上是减函数，又 ，所以 是偶函数，因此 ，当 时， ，所以 ，同理，当 时， ，所以 ，综上应填 .
【分析】本题主要考查利用导数求函数的单调性的问题。再根据函数的单调性和奇偶行求解不等式即可。由已知当 x > 0 时， x f ′ ( x ) f ( x ) < 0 ，则可判断g(x)为减函数，又根据f(x)是奇函数，可以证明g(x)是偶函数，再根据函数的单调性和奇偶性，解不等式即可。
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ： 的渐近线方程为
与抛物线 ： 联立，
可得 或
取 ，则
的垂心为 的焦点
综上所述，故答案为：
【分析】本题主要考查双曲线的性质，联立方程组分别求出点A、B的坐标，再根据三角形垂心的性质可得到，即，进而可以得到a和b的关系，根据双曲线中a，b，c的关系可以得到离心率。
17．【答案】解：对p：∵直线与圆相交，∴d＝ ＜1. ∴－ ＋1＜m＜ ＋1.对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，∴令f(x)＝mx2－x＋m－4，∴ 或 解得0＜m＜4.又∵ p为真，∴p假. 又∵p或q为真，∴q为真.由数轴可得 ＋1≤m＜4.故m的取值范围是 ＋1≤m＜4
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】本题主要考查复合命题的真假判断的应用。要根据已知条件先求出p或q为真命题，非p为真命题的等价条件，根据分析可得p为假命题，q为真命题，命题p和q的解题即可求出m的取值范围。
18．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)＝ －2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－ 相切，∴ 解得 (Ⅱ)由(1)知， ， 当 ≤x≤e时，令f′(x)>0，得 ≤x<1，令f′(x)<0，得1
【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求解最值问题。第一小题主要利用导数的几何意义，根据函数与直线相切，可得直线是函数在处的切线，列出方程组即可。第二小题直接根据函数求导，利用导数求出函数的单调区间，根据单调性求出区间上的最大值。
19．【答案】（1）解：设直线AB方程为：y=
联立 得
由韦达定理得：
由抛物线定理知：
|AB|=|AF|+|BF|=
得： 即p=4
∴抛物线方程为：
（2）解：由p=4，方程： 化为
解得x1=1, x2=4.即A（1，-2 ） B（4，4 ）
由 + （4，4 ）
知 代入抛物线方程
.
解得： =0或 =2
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】本题主要考查有关抛物线的标准方程和简单的性质问题。第一小题，主要是根据弦长问题求解抛物线的标准方程，先根据题意求出抛物线的交点坐标，进而写出过焦点的直线方程，然后和抛物线方程进行联立，利用弦长公式即可求得p，求出抛物线的标准方程。第二小题主要是抛物线性质的应用，根据第一小题中求出点A，B的坐标，根据向量的关系式 O C = O A + λ O B 求出点C的坐标，代入抛物线方程即可求解。
20．【答案】（1）解：由已知 ，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）解：在平面 内做 ，垂足为 ，
由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 .
由（1）及已知可得 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则
，即 ，
可取 .
设 是平面 的法向量，则
，即 ，
可取 .
则 ，
所以二面角 的余弦值为
【知识点】平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】本题主要考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角大小的问题。第一小题主要就是面面垂直判定定理的应用，要正面面面垂直，只要证明面内的一条线垂直于另一个平面即可，也就是要利用线面垂直的判定定理证明即可。第二问建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角公式求解二面角的大小。
21．【答案】（1）解：折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2 ，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2 ＞|EP|，
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a= ，c=1，
∴b2=a2﹣c2=1， ∴M的轨迹C的方程为
（2）解：l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，
则O到l即直线AB的距离： =1，即m2=k2+1，
由 ，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，
∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= ，
又 =x1x2+y1y2= ，∴ ，∴ ，
= = ，
设μ=k4+k2，则 ，∴ = ， ，
∵S△AOB关于μ在[ ，2]单调递增，
∴ ，∴△AOB的面积的取值范围是[ ， ]
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线的综合应用和平面向量的数量积的问题。第一小题主要考查圆锥曲线的轨迹方程的问题，根据已知条件中的垂直平分线，根据垂直平分线的特点，可以得到动点到两定点的和为定值，可以得出轨迹为椭圆，根据椭圆的特点确定a,b,c即可。第二小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用的问题，要求三角形的面积，就要先找到底和高，由已知条件可知，高是确定的1，所以求底也就是要求弦长的问题，也就要联立直线和椭圆方程，然后利用韦达定理和向量的数量积进行求解弦长AB即可。
22．【答案】（1）解： 的定义域为 ； .
当 ， 时， ， 单调递增； ， 单调递减.当 时， .
① ， ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
②a=2时， ，在 内， ， 单调递增；
③ 时， ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
综上所述，
当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减；
当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递增；
当 ， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增.
（2）解：由（Ⅰ）知，a=1时，
， ，
令 ， .
则 ，
由 可得 ，当且仅当x=1时取得等号.
又 ，
设 ，则 在 单调递减，因为 ，
所以在 上存在 使得 时， 时， ，
所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减，
由于 ，因此 ，当且仅当x=2取得等号，
所以 ，
即 对于任意的 恒成立
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）主要考查利用导数讨论函数的单调性问题，根据已知条件先求符合函数的导数，，再根据导数的性质对参数a进行分类讨论，利用导数的性质判读函数的单调性。（2）主要考查利用导数求解函数的最值问题，所以首先要对函数进行变形，把不等式转化为对于任意的恒成立，也就是不等式左边的新函数的最小值大于即可，所以关键就是求函数的最小值的问题，因此要构造新函数,，分别求函数的最小值和最大值，进而求出函数的最小值即可得到结论。
