2022-2023学年河南省南阳第一完全学校七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 据统计我国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，把这个数精确到十亿位，用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列各式中运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是( )
A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B. 利用圆规可以比较两条线段的大小关系
C. 把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D. 砌墙时先两端立桩拉线，然后沿线砌墙
5. 如图所示，正方体的展开图为( )
A.
B.
C.
D.
6. 点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，若点所表示的数为，则点所表示的数为( )
A. B. C. D.
7. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于( )
A. B. C. D.
8. 定义：对于一个有理数，我们把称为的相伴数，若则，若，则则的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，下列判断：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是同位角．其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知：线段，点是直线上一点，直线上共有条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“中南点”，线段的“中南点”的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若，，，将、、三个数用“”连接起来应为______ ．
12. 若与的和是单项式，则 ______ ．
13. 一个代数式的值为，则代数式的值是______．
14. 如图，是直角，平分，平分，，则的度数为______ ．
15. 如图，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图，若图中，则的度数为______用含的代数式表示．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算下列各题：
；
．
17. 本小题分
已知，．
当，，求的值；
若的值与的取值无关，求的值．
18. 本小题分
如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成保留画图痕迹
画直线；
画射线；
连接并延长到，使得；
在线段上取点，使的值最小，你的依据是______ ．
19. 本小题分
如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：因为，已知
所以______，
所以______，
所以____________
又因为已知，
所以______，
所以____________，
所以______
20. 本小题分
已知线段，在直线上有一点，并且满足：：，是线段的中点，求线段的长要求画图说明并解答
21. 本小题分
南阳万德隆超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠方法
低于元 不予优惠
低于元但不低于元 折优惠
不低于元 其中元部分给予折优惠，超过元部分给予折优惠
你一次性购物元，那么实际付款______ 元；
某顾客在该超市一次性购物元，当小于但不小于时，他实际付款______ 元，当大于或等于时，他实际付款______ 元；用含的代数式表示
班主任为了筹备元旦晚会，如果两次购物合计元，第一次购物元，用含的代数式表示两次购物班主任实际付款多少元？
22. 本小题分
问题解决：如图，已知，是直线，内部一点，连接，，若，，求的度数．
嘉琪想到了如图所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：
解：过点作，
，
，
请你补充完成嘉淇的解答过程：
问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，设，．
当点在，两点之间运动时不与，重合，求，和之间满足的数量关系．
当点在，两点外侧运动时不与点重合，直接写出，和之间满足的数量关系．
23. 本小题分
如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为秒．
分别求当及时，对应的线段的长度；
当时，求所有符合条件的的值，并求出此时点所对应的数；
若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，是否存在合适的值，使得？若存在，求出所有符合条件的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的相反数是，即，
故选：．
根据绝对值、相反数的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，相反数，理解绝对值、相反数的定义是正确解答的前提．
2.【答案】
【解析】解：近似数亿，精确到十亿位，用科学记数法表示为，
故选：．
根据有效数字和科学记数法进行解答即可．
本题考查有效数字和科学记数法，理解有效数字和科学记数法是正确解答的关键．
3.【答案】
【解析】解：无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用整式的加减运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了线段的性质以及直线的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
【解答】
解：、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，是两点确定一条直线，故此选项错误；
B、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是线段大小比较方法，故此选项错误；
C、把弯曲的河道改直，可以缩短航程，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，故此选项正确；
D、砌墙时先两端立桩拉线，然后沿线砌墙，是两点确定一条直线，故此选项错误；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，
“不等号”与“等号”不是相对的面，故选项A不合题意；
“当“圆圈”在前面时，“等号”在右面时，上面的“不等号”的方向与题意不一致，故选项B不合题意；
“等号”方向与“圆圈”与题意不一致，故选项C不合题意；
通过折叠可得，选项D符合题意．
故选：．
根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．
本题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．
6.【答案】
【解析】解：由图可得，
点表示的数为，
，
点表示的数为，
故选：．
根据题意和数轴，可以用含的代数式表示出点，本题得以解决．
本题考查列代数式、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据，即可得，利用三角形内角和和邻补角，即可得到．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据相伴数的定义求得即可．
本题考查了代数式求值，能够根据相伴数的概念化简是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形．
同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【解答】
解：由同位角的概念得出：与是同位角；
由同旁内角的概念得出：与是同旁内角；
由内错角的概念得出：与不是内错角，错误；
由内错角的概念得出：与是内错角，错误．
故正确的有个，是．
故选A．
10.【答案】
【解析】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“中南点”同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“中南点”．
线段的“中南点”的个数是个．
故选：．
根据“中南点”的定义即可求解．
本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
先求出各数的值，再比较大小即可．
本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数与负数比较大小的法则是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：和是同类项，
，，
，，
．
故答案为：．
根据同类项的定义可得出关于的一元一次方程，解之即可得出、的值，将其相加即可得出结论．
本题考查了同类项，牢记“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：因为，
，
，
所以，
故答案为：．
先根据已知条件得：，扩大倍得：，整体代入即可．
此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想；本题就利用了整体代入进行计算．
14.【答案】
【解析】解：平分，，
，
是直角，
．
又平分，
，
．
故答案为：．
由平分及的度数，利用角平分线的性质，可求出的度，结合是直角，可求出的度数，由平分，利用平分线的性质，可求出的度数，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了角平分线的性质以及度分秒的换算，牢记“若是的平分线，则”是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平行线的性质，用到的知识点是翻折变换的性质；注意数形结合思想的应用．根据折叠得到，然后求得的度数，再根据，即可求得的度数，继而求得的度数．
【解答】
解：如图，
，，
，
折叠
，
，
，
，
，
．
故答案为．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可；
先算乘方和括号内的式子，再算乘除法，最后算加减法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：，，
，
当，时，
；
，
若的值与的取值无关，则，
，
．
【解析】将，代入化简所得的式子，计算即可；
将中化简所得的式子中含的部分合并同类项，再根据的值与的取值无关，可得的系数为，从而解得的值，再将的值代入计算即可．
本题考查了整式的加减化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】两点之间，线段最短
【解析】解：如图，直线；
如图，射线；
如图，连接并延长到，使得；
如图，在线段上取点，使的值最小，依据是：两点之间，线段最短．
根据直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短画图即可．
本题考查的是直线、射线、线段的概念和画法，掌握直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短是解题的关键．
19.【答案】解：垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等； 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
【解析】解：因为，已知
所以垂直的定义，
所以 同位角相等，两直线平行，
所以两直线平行，同旁内角互补，
又因为已知，
所以 同角的补角相等，
所以内错角相等，两直线平行，
所以 两直线平行，同位角相等．
答案为：垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等。
20.【答案】解：如图，点在线段的延长线上，
，：：，
，
，
是线段的中点，
，
如图，点在线段上，
，：：，
，
，
是线段的中点，
，
综上所述，线段的长为或．
【解析】分两种情况：如图，点在线段的延长线上，如图，点在线段上，根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确地画出图形是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：，
其中元部分给予折优惠，超过元部分给予折优惠．
王老师一次性购物元，他实际付款：
元．
故答案为：．
当小于但不小于时，他实际付款元；
当大于或等于时，他实际付款：元．
故答案为：；；
第一次购物元，
第二次购物元．
，
．
两次购物王老师实际付款：
元．
利用表格中的第三种优惠方式计算即可得出结论；
分别利用表格中的第二种和第三种优惠方式计算即可得出结论；
用代数式表示出第二次购物的费用，利用已知条件分析第二次费用的取值范围，依据表格中的优惠方式分别计算两次的实际付费再相加即可．
本题主要考查了列代数式，求代数式的值，理解每种优惠方法的收费标准并熟练运用是解题的关键．
22.【答案】解：问题解决：
如图，过点作，
，
，
，，
；
问题迁移：
如图，过作，
，
，
，，
，即；
如图，当点在上时，；
如图，当点在地上时，．
【解析】问题解决：过点作，依据平行线的性质，即可得到的度数；
问题迁移：过作，依据平行线的性质，即可得出，和之间满足的数量关系．
分两种情况讨论：过作，易得当点在上时，；当点在地上时，．
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算．
23.【答案】解：当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，
．
当时，；
当时，．
答：当时，线段的长度为；当时，线段的长度为．
根据题意得：，
解得：或，
当时，点对应的数为；
当时，点对应的数为．
答：当时，的值为或，此时点所对应的数为或．
当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为．
当时，，，
解得：，舍去；
当时，，，
解得：，舍去．
综上所述：在点的整个运动过程中，存在合适的值，使得，此时的值为或．
【解析】找出运动时间为秒时，点、对应的数，由此可用含的代数式表示出的长度，分别代入、即可得出结论；
由的结论结合可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出值，再将值代入点表示的数中即可得出结论；
找出运动时间为秒时，点、对应的数，分和两种情况找出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是：用含的代数式表示出的长度；由的结论结合找出关于的含绝对值符号的一元一次方程；分和两种情况找出关于的含绝对值符号的一元一次方程．
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