江苏省沭阳县修远中学2018-2019学年高一下学期数学第二次月考数学试卷（实验班)
一、单选题
1．（2019高二下·沭阳月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】由 ，得 ，得
故答案为：A
【分析】由已知利用诱导公式与二倍角公式化简，即可求值.
2．（2016高一下·天津期末）甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有 =6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．
因此甲站在中间的概率P= ．
故选C．
【分析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算公式即可得出．
3．（2019高二下·沭阳月考）已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，半径为2，D，E分别为（ ）
A．4，－6 B．－4，－6 C．－4，6 D．4，6
【答案】A
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心 ，
又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)，所以 .
所以D＝4，E＝－6．
故答案为：A
【分析】由已知利用圆的一般方程列式，即可得到D，E的值.
4．（2019高二下·沭阳月考）在等差数列 中，若 ,则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由题意，根据等差数列的性质，可得 ，即
又由 ，所以 ，
故答案为：C.
【分析】由题意，根据等差数列的性质得到，由 即可得结果.
5．（2017·宝山模拟）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）
A．80 B．96 C．108 D．110
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，
所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400
因为 = ，所以，高二学生抽取人数为： =108，
故选C．
【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．
6．（2019高二下·沭阳月考）设等差数列 的前 项和为 若 ， ，则 （ ）
A．45 B．54 C．72 D．81
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】因为 为等差数列，所以 为等差数列，
所以 即 ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】由已知根据等差数列的性质，得到 为等差数列并列式，即可求出的值.
7．（2019高二下·沭阳月考）已知α为第二象限角，且sin2α＝－ ，则cosα－sinα的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】因为sin2α＝2sinαcosα＝－ ，即1－2sinαcosα＝ ，所以(sinα－cosα)2＝ ，又α为第二象限角，所以cosα
【分析】由已知利用二倍角公式，得到2sinαcosα＝－ ，再由α为第二象限角，得到cosα
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆心到直线的距离为： ，当 时，有且只有一点到直线 的距离等于 ，随着 的增大，当 时，有三个点到直线 的距离等于 ，所以 ，
故答案为：B．
【分析】先利用点到直线的距离公式得到d=5，再分析已知直线与圆的位置关系，即可求出 的范围.
9．（2019高二下·沭阳月考）若点 都在 函数图象上，则数列 的前n项和最小时的n等于（ ）
A．7或8 B．7 C．8 D．8或9
【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】由题得 ,则 的前n项 = ,对称轴为x= ,故 的前n项和最小时的n等于7或8
故答案为：A
【分析】由已知得到，利用 的前n项和的函数对称性，即可得结果.
10．（2019高二下·沭阳月考）如果数据x1，x2，…，xn的平均数是 ，方差是s2，则3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是 （ ）
A． 和s2 B．3 和9s2
C．3 ＋2和9s2 D．3 ＋2和12s2＋4
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3 ＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2，
故答案为：C．
【分析】利用平均数与方差的求解公式，分别求出新数据的平均数与方差即可.
11．（2019高二下·沭阳月考）动圆M与定圆C：x2＋y2＋4x＝0相外切，且与直线l：x－2＝0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（ ）
A．y2－12x＋12＝0 B．y2＋12x－12＝0
C．y2＋8x＝0 D．y2－8x＝0
【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆得半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，MC=2+r，d=r
∴|MC|﹣d=2，即： ﹣（2﹣x）=2，
化简得： y2＋12x－12＝0．
∴动圆圆心轨迹方程为y2＋12x－12＝0．
故答案为：B．
【分析】根据两圆相外切及直线与圆相切的性质，得到MC=2+r，d=r并列式，整理化简即可求出动圆圆心轨迹方程.
12．（2019高二下·沭阳月考）已知圆 ，圆 ， 分别是圆 ， 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】如图所示，两圆为内含关系，
将 关于 轴对称为 ，
连结 交圆于 ， ，
交 轴于 ，连 交圆 于 ，
此时 最小，
最小值为 ．
．
故答案为：A．
【分析】由已知得到两圆内含，利用对称性得到 的最小值为 ，由即可得结果.
13．（2019高二下·沭阳月考）圆 和圆 的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】由题意，圆 ，可得圆心坐标 ，半径为
圆 ，可得圆心坐标 ，半径为 ，
则 ，所以 ，
所以圆 与圆 相外切，所以两圆有且仅有三条公切线，
故答案为：C.
【分析】由已知分别求出两圆的圆心坐标与半径，得到 ，即可判断两圆公切线的条数.
二、填空题
14．（2019高二下·沭阳月考）若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ．
① n⊥α；② m∥n；③ m⊥n；④ n⊥α.
【答案】3
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】① ，则 垂直于 内的两条相交直线，因为 ，所以 也垂直于这两条直线，故 ，故①正确；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③ ，所以存在直线 ，且 ，因为 ，所以 ，所以 ，③正确；④不正确，例如 和 确定的平面平行于 ，则 ．
【分析】利用直线与平面的位置关系，分别判断各选项，即可得到 正确命题的个数 .
15．（2019高二下·沭阳月考）直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为 ，只要 >1或者 <0即可，解得－1
【分析】由已知利用倾斜角与直线斜率的关系列式，即可求出实数a的取值范围.
16．（2019高二下·沭阳月考）在 中，若 ， ， 成等差数列，且三个内角 ， ， 也成等差数列，则 的形状为 ．
【答案】等边三角形
【知识点】数列与三角函数的综合
【解析】【解答】因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，得
lgsinA+lgsinC=2lgsinB，
即sin2B=sinAsinB①
又三内角A，B，C也成等差数列，所以B=60°．
代入①得sinAsinB= ②
假设A=60°-α，B=60°+α．
代入②得sin（60°+α）sin（60°-α）= ．
展开得， cos2α sin2α＝ ．
即cos2α=1．
所以α=0°．
所以A=B=C=60°．
故答案为等边三角形．
【分析】先由已知利用等差数列的性质列式，得到B=60°和sinAsinB= ，再假设A=60°-α，B=60°+α，代入整理化简得到A=B=C=60°，即可判断三角形的形状.
三、解答题
17．（2019高二下·沭阳月考）
（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；
（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．
【答案】（1）解：由题意知直线l的斜率为 ，设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，
则x-2y+4=0，
令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，2）， 则|AB|= =2
（2）解：当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，
当直线过原点时，此时方程为x+4y=0
【知识点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）由已知得到直线l的方程，分别求出 A、B两点的坐标，代入两点间的距离公式，即可求出 |AB|；
（2）由已知直线在x轴和y轴上的截距相等，分两种情况分别求出方程即可.
18．（2019·河北模拟）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， , ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求边长 .
【答案】（1）解：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解：
.
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，解得
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，采用换元法，解一元二次方程，求出cosA，即可得到角A；
（2）根据两角和的正弦公式，结合余弦定理，即可求出边c.
19．（2019高二下·沭阳月考）已知等差数列 中， ， ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和为 .
【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则 ， ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
化简的 ，则 或
当 时， .
当 时， ，
（2）解：由(1)知当 时， .
当 时， 则
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由已知 ， ， 成等比数列，得到 或 ，即可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）分两种情况分析，利用等差数列的求和公式，即可求出 的表达式.
20．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.
（1）求证：OE∥平面BCC1B1.
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
【答案】（1）解:连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.
（2）解:因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C 平面A1BC，A1B 平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC 平面A1BC，所以AC1⊥BC.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）利用不在平面内的直线平行于平面内的一条直线，则这条只直线平行于这个平面；（2）证明两直线平行，可以通过证明一直线平行于另一直线所在平面来证明.
21．（2019高二下·沭阳月考）已知圆C1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆C2的圆心坐标为(2,1)．
（1）若圆C1与圆C2相交于A，B两点，且|AB|＝ ，求点C1到直线AB的距离；
（2）若圆C1与圆C2相内切，求圆C2的方程．
【答案】（1）解：由题设，易知直线C1C2垂直平分公共弦AB．设直线AB与C1C2的交点为P， 则在Rt△APC1中，
∵|AC1|＝2，|AP|＝ |AB|＝ ，
∴点C1到直线AB的距离为|C1P|＝ .
（2）解：由题设得，圆C1的圆心为C1(0，－1)，半径为r1＝2．
设圆C2的半径为r2，则由两圆相内切得|C1C2|＝|r1－r2| ＝|2－r2|，
解得r2＝2＋2 或r2＝2－2 (舍去)．
故所求圆C2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12＋8 ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）由已知得到直线C1C2垂直平分公共弦AB ，利用点到直线的距离公式，即可求出点C1到直线AB的距离；
（2）由已知得到圆C1的圆心坐标与半径，由两圆相内切的位置关系列式，解出圆C2的半径r2，即可求出圆C2的方程.
22．（2019高二下·沭阳月考）已知函数 （其中 ），且 .
（1）求 的值，并求 在 上的值域；
（2）若 在 上有且只有一个零点， ，求 的取值范围.
【答案】（1）解： ，
所以
，
当 时， ， ，
所以 的值域为 .
（2）解： ，
当 时， ，
要使函数有且只有一个零点，则 ，
解得 .
【知识点】正弦函数的定义域和值域；函数的零点
【解析】【分析】（1）由已知 求出a值，利用二倍角公式与辅助角公式化简，得到 ，即可求出函数在 上的值域；
（2）由已知 在 上有且只有一个零点，得到 ，即可求出 的取值范围.
江苏省沭阳县修远中学2018-2019学年高一下学期数学第二次月考数学试卷（实验班)
一、单选题
1．（2019高二下·沭阳月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2016高一下·天津期末）甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高二下·沭阳月考）已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，半径为2，D，E分别为（ ）
A．4，－6 B．－4，－6 C．－4，6 D．4，6
4．（2019高二下·沭阳月考）在等差数列 中，若 ,则 =（ ）
A． B． C． D．
5．（2017·宝山模拟）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）
A．80 B．96 C．108 D．110
6．（2019高二下·沭阳月考）设等差数列 的前 项和为 若 ， ，则 （ ）
A．45 B．54 C．72 D．81
7．（2019高二下·沭阳月考）已知α为第二象限角，且sin2α＝－ ，则cosα－sinα的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
8．（2019高二下·沭阳月考）若圆 上有且仅有两点到直线 的距离等于 ,则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019高二下·沭阳月考）若点 都在 函数图象上，则数列 的前n项和最小时的n等于（ ）
A．7或8 B．7 C．8 D．8或9
10．（2019高二下·沭阳月考）如果数据x1，x2，…，xn的平均数是 ，方差是s2，则3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是 （ ）
A． 和s2 B．3 和9s2
C．3 ＋2和9s2 D．3 ＋2和12s2＋4
11．（2019高二下·沭阳月考）动圆M与定圆C：x2＋y2＋4x＝0相外切，且与直线l：x－2＝0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（ ）
A．y2－12x＋12＝0 B．y2＋12x－12＝0
C．y2＋8x＝0 D．y2－8x＝0
12．（2019高二下·沭阳月考）已知圆 ，圆 ， 分别是圆 ， 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2019高二下·沭阳月考）圆 和圆 的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
14．（2019高二下·沭阳月考）若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ．
① n⊥α；② m∥n；③ m⊥n；④ n⊥α.
15．（2019高二下·沭阳月考）直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是 ．
16．（2019高二下·沭阳月考）在 中，若 ， ， 成等差数列，且三个内角 ， ， 也成等差数列，则 的形状为 ．
三、解答题
17．（2019高二下·沭阳月考）
（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；
（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．
18．（2019·河北模拟）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， , ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求边长 .
19．（2019高二下·沭阳月考）已知等差数列 中， ， ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和为 .
20．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.
（1）求证：OE∥平面BCC1B1.
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
21．（2019高二下·沭阳月考）已知圆C1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆C2的圆心坐标为(2,1)．
（1）若圆C1与圆C2相交于A，B两点，且|AB|＝ ，求点C1到直线AB的距离；
（2）若圆C1与圆C2相内切，求圆C2的方程．
22．（2019高二下·沭阳月考）已知函数 （其中 ），且 .
（1）求 的值，并求 在 上的值域；
（2）若 在 上有且只有一个零点， ，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】由 ，得 ，得
故答案为：A
【分析】由已知利用诱导公式与二倍角公式化简，即可求值.
2．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有 =6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．
因此甲站在中间的概率P= ．
故选C．
【分析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算公式即可得出．
3．【答案】A
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心 ，
又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)，所以 .
所以D＝4，E＝－6．
故答案为：A
【分析】由已知利用圆的一般方程列式，即可得到D，E的值.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由题意，根据等差数列的性质，可得 ，即
又由 ，所以 ，
故答案为：C.
【分析】由题意，根据等差数列的性质得到，由 即可得结果.
5．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，
所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400
因为 = ，所以，高二学生抽取人数为： =108，
故选C．
【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．
6．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】因为 为等差数列，所以 为等差数列，
所以 即 ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】由已知根据等差数列的性质，得到 为等差数列并列式，即可求出的值.
7．【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】因为sin2α＝2sinαcosα＝－ ，即1－2sinαcosα＝ ，所以(sinα－cosα)2＝ ，又α为第二象限角，所以cosα
【分析】由已知利用二倍角公式，得到2sinαcosα＝－ ，再由α为第二象限角，得到cosα
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆心到直线的距离为： ，当 时，有且只有一点到直线 的距离等于 ，随着 的增大，当 时，有三个点到直线 的距离等于 ，所以 ，
故答案为：B．
【分析】先利用点到直线的距离公式得到d=5，再分析已知直线与圆的位置关系，即可求出 的范围.
9．【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】由题得 ,则 的前n项 = ,对称轴为x= ,故 的前n项和最小时的n等于7或8
故答案为：A
【分析】由已知得到，利用 的前n项和的函数对称性，即可得结果.
10．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3 ＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2，
故答案为：C．
【分析】利用平均数与方差的求解公式，分别求出新数据的平均数与方差即可.
11．【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆得半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，MC=2+r，d=r
∴|MC|﹣d=2，即： ﹣（2﹣x）=2，
化简得： y2＋12x－12＝0．
∴动圆圆心轨迹方程为y2＋12x－12＝0．
故答案为：B．
【分析】根据两圆相外切及直线与圆相切的性质，得到MC=2+r，d=r并列式，整理化简即可求出动圆圆心轨迹方程.
12．【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】如图所示，两圆为内含关系，
将 关于 轴对称为 ，
连结 交圆于 ， ，
交 轴于 ，连 交圆 于 ，
此时 最小，
最小值为 ．
．
故答案为：A．
【分析】由已知得到两圆内含，利用对称性得到 的最小值为 ，由即可得结果.
13．【答案】C
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】由题意，圆 ，可得圆心坐标 ，半径为
圆 ，可得圆心坐标 ，半径为 ，
则 ，所以 ，
所以圆 与圆 相外切，所以两圆有且仅有三条公切线，
故答案为：C.
【分析】由已知分别求出两圆的圆心坐标与半径，得到 ，即可判断两圆公切线的条数.
14．【答案】3
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】① ，则 垂直于 内的两条相交直线，因为 ，所以 也垂直于这两条直线，故 ，故①正确；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③ ，所以存在直线 ，且 ，因为 ，所以 ，所以 ，③正确；④不正确，例如 和 确定的平面平行于 ，则 ．
【分析】利用直线与平面的位置关系，分别判断各选项，即可得到 正确命题的个数 .
15．【答案】
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为 ，只要 >1或者 <0即可，解得－1
【分析】由已知利用倾斜角与直线斜率的关系列式，即可求出实数a的取值范围.
16．【答案】等边三角形
【知识点】数列与三角函数的综合
【解析】【解答】因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，得
lgsinA+lgsinC=2lgsinB，
即sin2B=sinAsinB①
又三内角A，B，C也成等差数列，所以B=60°．
代入①得sinAsinB= ②
假设A=60°-α，B=60°+α．
代入②得sin（60°+α）sin（60°-α）= ．
展开得， cos2α sin2α＝ ．
即cos2α=1．
所以α=0°．
所以A=B=C=60°．
故答案为等边三角形．
【分析】先由已知利用等差数列的性质列式，得到B=60°和sinAsinB= ，再假设A=60°-α，B=60°+α，代入整理化简得到A=B=C=60°，即可判断三角形的形状.
17．【答案】（1）解：由题意知直线l的斜率为 ，设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，
则x-2y+4=0，
令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，2）， 则|AB|= =2
（2）解：当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，
当直线过原点时，此时方程为x+4y=0
【知识点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）由已知得到直线l的方程，分别求出 A、B两点的坐标，代入两点间的距离公式，即可求出 |AB|；
（2）由已知直线在x轴和y轴上的截距相等，分两种情况分别求出方程即可.
18．【答案】（1）解：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解：
.
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，解得
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，采用换元法，解一元二次方程，求出cosA，即可得到角A；
（2）根据两角和的正弦公式，结合余弦定理，即可求出边c.
19．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则 ， ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
化简的 ，则 或
当 时， .
当 时， ，
（2）解：由(1)知当 时， .
当 时， 则
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由已知 ， ， 成等比数列，得到 或 ，即可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）分两种情况分析，利用等差数列的求和公式，即可求出 的表达式.
20．【答案】（1）解:连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.
（2）解:因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C 平面A1BC，A1B 平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC 平面A1BC，所以AC1⊥BC.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）利用不在平面内的直线平行于平面内的一条直线，则这条只直线平行于这个平面；（2）证明两直线平行，可以通过证明一直线平行于另一直线所在平面来证明.
21．【答案】（1）解：由题设，易知直线C1C2垂直平分公共弦AB．设直线AB与C1C2的交点为P， 则在Rt△APC1中，
∵|AC1|＝2，|AP|＝ |AB|＝ ，
∴点C1到直线AB的距离为|C1P|＝ .
（2）解：由题设得，圆C1的圆心为C1(0，－1)，半径为r1＝2．
设圆C2的半径为r2，则由两圆相内切得|C1C2|＝|r1－r2| ＝|2－r2|，
解得r2＝2＋2 或r2＝2－2 (舍去)．
故所求圆C2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12＋8 ．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）由已知得到直线C1C2垂直平分公共弦AB ，利用点到直线的距离公式，即可求出点C1到直线AB的距离；
（2）由已知得到圆C1的圆心坐标与半径，由两圆相内切的位置关系列式，解出圆C2的半径r2，即可求出圆C2的方程.
22．【答案】（1）解： ，
所以
，
当 时， ， ，
所以 的值域为 .
（2）解： ，
当 时， ，
要使函数有且只有一个零点，则 ，
解得 .
【知识点】正弦函数的定义域和值域；函数的零点
【解析】【分析】（1）由已知 求出a值，利用二倍角公式与辅助角公式化简，得到 ，即可求出函数在 上的值域；
（2）由已知 在 上有且只有一个零点，得到 ，即可求出 的取值范围.
