上海市徐汇区南洋模范中学2019-2020学年高一下学期数学4月月考试卷
一、填空题
1．（2020高一下·徐汇月考）函数 的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 或 .
故答案为：
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零以及真数大于零即可得到关于x的不等式组，结合余弦函数的单调性求解出x的取值范围即可。
2．（2020高一下·徐汇月考）若 ， ，则 .
【答案】 或
【知识点】反函数
【解析】【解答】由 ，且 ，
得 ，
综上可知， 或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据题意由已知条件结合反正弦函数的定义计算出结果即可。
3．（2020高一下·徐汇月考）函数 的最小正周期是 .
【答案】π
【知识点】函数的周期性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为函数 ，
如图所示：
所以 .
故答案为：π
【分析】首先由两角和的正弦公式整理函数的解析式再由正弦函数图象以及周期即可求出答案。
4．（2020高一下·徐汇月考）已知 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】反三角函数
【解析】【解答】因为 在 上是增函数，
已知 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，所以 的取值范围为 .
故答案为：
【分析】结合反三角函数的单调性即可得到关于x的不等式组求解出x的取值范围即可。
5．（2020高一下·徐汇月考）当 时，函数 的值域是 .
【答案】
【知识点】反函数；余弦函数的单调性
【解析】【解答】令 ， ，所以 ，
因为 在 上递增，
所以 ，
所以函数 的值域是 .
故答案为：
【分析】首先由余弦函数的性质结合已知条件即可得出cosx的取值范围，再由反正弦函数的单调性即可得出，由此得出答案即可。
6．（2020高一下·徐汇月考）函数 （ ）的单调减区间为 .
【答案】 和
【知识点】正弦函数的单调性；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，
令 ，解得 ，
又因为 ，所以函数的单调减区间为 和 .
故答案为： 和
【分析】根据题意由诱导公式整理函数的解析式再由正弦函数的单调性即可求出x的取值范围，结合已知条件即可得出函数的单调减区间。
7．（2020高一下·上海期末）函数 的值域为 .
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 的定义域为 .
因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，
所以 在 为增函数，
而 ， ，
故函数 的值域为 .
故答案为： .
【分析】 的定义域为 ，根据 在 为增函数可得函数的值域.
8．（2020高一下·徐汇月考）函数 的零点个数是 .
【答案】7个
【知识点】对数函数的图象与性质；余弦函数的图象
【解析】【解答】令 ，所以 ，
在同一坐标系中，作出 的大致图象，如图所示：
因为
所以函数 零点个数是7个.
故答案为：7个
【分析】由函数的零点与方程根之间的关系，由对数函数以及余弦函数作出函数的图象由数形结合法即可得出结论。
9．（2020高一下·徐汇月考）函数 （ ， ）的图像如图所示，则 .
【答案】
【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】如图所示：A=2， ，所以函数 ，又因为函数图象过点 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
故答案为：
【分析】首先由已知的图象即可求出A与T的值，由周期公式即可求出的值再由把点的坐标代入到函数的解析式计算出的值由此得出函数的解析式，代入数值计算出结果即可。
10．（2020高一下·徐汇月考）定义一种运算 ，令 ，且 ，则函数 的值域是 .
【答案】
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，所以 令 ，所以 ，
又因为 的值域与 的值域相同，所以函数 的值域是 .
故答案为：
【分析】首先由同角三角函数的平方关系整理化简得到关于sinx的方程，由二次函数的性质即可求出函数f(x)的最值，再由已知条件可知 的值域与 的值域相同由此得出答案。
11．（2020高一下·徐汇月考）函数 的最小正周期为 ，对称中心为 .
【答案】；
【知识点】正切函数的图象；正切函数的周期性
【解析】【解答】函数 的最小正周期 ，
令 ，求得 ，
可得函数的图象的对称中心为 ， ，
故答案为： ； ， .
【分析】根据题意由整体思想结合正切函数的周期公式代入数值计算出周期的值，再由正切函数的图象即可求出对称中心的坐标。
12．（2020高一下·徐汇月考）平移 ，给出下列4个论断：
①图象关于 对称；
②图象关于点 对称；
③最小正周期是 ；
④在 上是增函数；
以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1） .
（2） .
【答案】（1）①② ③④
（2）①③ ②④
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】（1）：①② ③④.
由①得 ， .由②得 ， .
∴ ，其周期为 .
故函数 的增区间为 ， .
∴ 在区间 上是增函数，
（2）还可①③ ②④.
由①得 ， .再由 可得 ，故函数 .
故可得①③ ②④.
故答案为：（1）①② ③④；（2）①③ ②④.
【分析】 根据所给的条件得到两个正确的命题为（1）①③ ②④；（2）②③ ①④，下面对命题（1）根据所给的对称轴和最小正周期，求出三角函数的对称点与增区间；(2)由对称轴以及最小周期的公式代入数值求出，由此得到函数的解析式。
二、单选题
13．（2020高一下·徐汇月考）为了得到函数 的图象，只需把函数 ， 的图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】对于 ，把函数 ， 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，故 不正确；
对于 ，把函数 ， 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，故 不正确；
对于 ，把函数 ， 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，故 正确；
对于 ，把函数 ， 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，故 不正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意由函数平移的性质对选项逐一判断即可得出答案。
14．（2019高一下·中山月考）函数 在区间（ ， ）内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=
分段画出函数图象如D图示，
故答案为：D．
【分析】由已知函数得到分段函数的解析式，即可分段画出函数的图象.
15．（2020高一下·徐汇月考）已知函数 在 上恰有4个零点，则正整数 的值为（ ）
A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；函数的零点；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为函数 在 上恰有4个零点，
所以 ，
解得 ，
所以正整数 的值为4或5.
故答案为：C.
【分析】根据函数零点的定义结合正弦函数的图象即可得出周期的取值范围，由此得到，进而得出的取值范围从而求出的值。
16．（2020高一下·徐汇月考）下列命题：
①若 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数， ，则 .②若锐角 、 满足 ，则 .③若 ，则 对 恒成立.④要得到函数 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位..
其中真命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；二倍角的余弦公式；余弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：①由已知可得函数在 上为减函数，
且由于 ，
②由已知角的范围可得： ，
③错，因为易知 ，其周期为 ，故应有 恒成立，
④错，应向右平移 个单位得到.
故其中真命题的是：②.
故答案为：A.
【分析】 根据题意由①，结合偶函数和增函数得到函数在[0，1]上为减函数后再解由此判断出错误；
②由cos α>sin β要化成同名三角函数就判断出正确； 由二倍角的余弦公式整理函数的解析式，由余弦函数的周期公式即可求出距离成立由此判断出③错；结合函数平移的性质即可判断出④错误；由此得出答案。
三、解答题
17．（2020高一下·徐汇月考）请用五点法作出函数 在长度为一个周期上的大致图像.
【答案】解：列表如下：
0
0 3 0 -3 0
【知识点】五点法画三角函数的图象
【解析】【分析】由：五点作图法代入数值求出点的坐标，由此即可作出图象即可。
18．（2020高一下·徐汇月考）求函数 的定义域、单调区间、值域.
【答案】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
所以定义域： .
令 ，
因为 在 上递减，在 上递增， 在 上递增，
由复合函数的单调性得 在 上递减，在 上递增，
故单调增区间是 ，单调减区间是 ；
因为 ，
在 上递增，
所以 ，
故值域为 .
所以函数的定义域： ；单调增区间是 ，单调减区间是 ；值域是 .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】首先由反正弦函数的定义即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围即为函数的定义域；结合二次函数的单调性即可得出的单调性，再由反函数的单调性结合反正弦函数的单调性即可得出函数的的大小以及单调区间。
19．（2019·浙江）设函数f（x）=sinx，x R。
（1）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值
（2）求函数y=[f（x+） ]2+[f（x+ ）]2的值域
【答案】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，因此 或 ．
（2）
．
因此，函数的值域是 ．
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的定义域和值域
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出余弦值，即可确定角的大小；
（2）根据余弦的二倍角公式，结合辅助角公式及余弦函数的有界性，即可求出函数的值域.
上海市徐汇区南洋模范中学2019-2020学年高一下学期数学4月月考试卷
一、填空题
1．（2020高一下·徐汇月考）函数 的定义域是 .
2．（2020高一下·徐汇月考）若 ， ，则 .
3．（2020高一下·徐汇月考）函数 的最小正周期是 .
4．（2020高一下·徐汇月考）已知 ，则 的取值范围为 .
5．（2020高一下·徐汇月考）当 时，函数 的值域是 .
6．（2020高一下·徐汇月考）函数 （ ）的单调减区间为 .
7．（2020高一下·上海期末）函数 的值域为 .
8．（2020高一下·徐汇月考）函数 的零点个数是 .
9．（2020高一下·徐汇月考）函数 （ ， ）的图像如图所示，则 .
10．（2020高一下·徐汇月考）定义一种运算 ，令 ，且 ，则函数 的值域是 .
11．（2020高一下·徐汇月考）函数 的最小正周期为 ，对称中心为 .
12．（2020高一下·徐汇月考）平移 ，给出下列4个论断：
①图象关于 对称；
②图象关于点 对称；
③最小正周期是 ；
④在 上是增函数；
以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1） .
（2） .
二、单选题
13．（2020高一下·徐汇月考）为了得到函数 的图象，只需把函数 ， 的图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
14．（2019高一下·中山月考）函数 在区间（ ， ）内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2020高一下·徐汇月考）已知函数 在 上恰有4个零点，则正整数 的值为（ ）
A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6
16．（2020高一下·徐汇月考）下列命题：
①若 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数， ，则 .②若锐角 、 满足 ，则 .③若 ，则 对 恒成立.④要得到函数 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位..
其中真命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
17．（2020高一下·徐汇月考）请用五点法作出函数 在长度为一个周期上的大致图像.
18．（2020高一下·徐汇月考）求函数 的定义域、单调区间、值域.
19．（2019·浙江）设函数f（x）=sinx，x R。
（1）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值
（2）求函数y=[f（x+） ]2+[f（x+ ）]2的值域
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 或 .
故答案为：
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零以及真数大于零即可得到关于x的不等式组，结合余弦函数的单调性求解出x的取值范围即可。
2．【答案】 或
【知识点】反函数
【解析】【解答】由 ，且 ，
得 ，
综上可知， 或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据题意由已知条件结合反正弦函数的定义计算出结果即可。
3．【答案】π
【知识点】函数的周期性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为函数 ，
如图所示：
所以 .
故答案为：π
【分析】首先由两角和的正弦公式整理函数的解析式再由正弦函数图象以及周期即可求出答案。
4．【答案】
【知识点】反三角函数
【解析】【解答】因为 在 上是增函数，
已知 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，所以 的取值范围为 .
故答案为：
【分析】结合反三角函数的单调性即可得到关于x的不等式组求解出x的取值范围即可。
5．【答案】
【知识点】反函数；余弦函数的单调性
【解析】【解答】令 ， ，所以 ，
因为 在 上递增，
所以 ，
所以函数 的值域是 .
故答案为：
【分析】首先由余弦函数的性质结合已知条件即可得出cosx的取值范围，再由反正弦函数的单调性即可得出，由此得出答案即可。
6．【答案】 和
【知识点】正弦函数的单调性；诱导公式
【解析】【解答】因为 ，
令 ，解得 ，
又因为 ，所以函数的单调减区间为 和 .
故答案为： 和
【分析】根据题意由诱导公式整理函数的解析式再由正弦函数的单调性即可求出x的取值范围，结合已知条件即可得出函数的单调减区间。
7．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 的定义域为 .
因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，
所以 在 为增函数，
而 ， ，
故函数 的值域为 .
故答案为： .
【分析】 的定义域为 ，根据 在 为增函数可得函数的值域.
8．【答案】7个
【知识点】对数函数的图象与性质；余弦函数的图象
【解析】【解答】令 ，所以 ，
在同一坐标系中，作出 的大致图象，如图所示：
因为
所以函数 零点个数是7个.
故答案为：7个
【分析】由函数的零点与方程根之间的关系，由对数函数以及余弦函数作出函数的图象由数形结合法即可得出结论。
9．【答案】
【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】如图所示：A=2， ，所以函数 ，又因为函数图象过点 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
故答案为：
【分析】首先由已知的图象即可求出A与T的值，由周期公式即可求出的值再由把点的坐标代入到函数的解析式计算出的值由此得出函数的解析式，代入数值计算出结果即可。
10．【答案】
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，所以 令 ，所以 ，
又因为 的值域与 的值域相同，所以函数 的值域是 .
故答案为：
【分析】首先由同角三角函数的平方关系整理化简得到关于sinx的方程，由二次函数的性质即可求出函数f(x)的最值，再由已知条件可知 的值域与 的值域相同由此得出答案。
11．【答案】；
【知识点】正切函数的图象；正切函数的周期性
【解析】【解答】函数 的最小正周期 ，
令 ，求得 ，
可得函数的图象的对称中心为 ， ，
故答案为： ； ， .
【分析】根据题意由整体思想结合正切函数的周期公式代入数值计算出周期的值，再由正切函数的图象即可求出对称中心的坐标。
12．【答案】（1）①② ③④
（2）①③ ②④
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】（1）：①② ③④.
由①得 ， .由②得 ， .
∴ ，其周期为 .
故函数 的增区间为 ， .
∴ 在区间 上是增函数，
（2）还可①③ ②④.
由①得 ， .再由 可得 ，故函数 .
故可得①③ ②④.
故答案为：（1）①② ③④；（2）①③ ②④.
【分析】 根据所给的条件得到两个正确的命题为（1）①③ ②④；（2）②③ ①④，下面对命题（1）根据所给的对称轴和最小正周期，求出三角函数的对称点与增区间；(2)由对称轴以及最小周期的公式代入数值求出，由此得到函数的解析式。
13．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】对于 ，把函数 ， 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，故 不正确；
对于 ，把函数 ， 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，故 不正确；
对于 ，把函数 ， 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，故 正确；
对于 ，把函数 ， 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，故 不正确.
故答案为：C.
【分析】根据题意由函数平移的性质对选项逐一判断即可得出答案。
14．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=
分段画出函数图象如D图示，
故答案为：D．
【分析】由已知函数得到分段函数的解析式，即可分段画出函数的图象.
15．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；函数的零点；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为函数 在 上恰有4个零点，
所以 ，
解得 ，
所以正整数 的值为4或5.
故答案为：C.
【分析】根据函数零点的定义结合正弦函数的图象即可得出周期的取值范围，由此得到，进而得出的取值范围从而求出的值。
16．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；二倍角的余弦公式；余弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：①由已知可得函数在 上为减函数，
且由于 ，
②由已知角的范围可得： ，
③错，因为易知 ，其周期为 ，故应有 恒成立，
④错，应向右平移 个单位得到.
故其中真命题的是：②.
故答案为：A.
【分析】 根据题意由①，结合偶函数和增函数得到函数在[0，1]上为减函数后再解由此判断出错误；
②由cos α>sin β要化成同名三角函数就判断出正确； 由二倍角的余弦公式整理函数的解析式，由余弦函数的周期公式即可求出距离成立由此判断出③错；结合函数平移的性质即可判断出④错误；由此得出答案。
17．【答案】解：列表如下：
0
0 3 0 -3 0
【知识点】五点法画三角函数的图象
【解析】【分析】由：五点作图法代入数值求出点的坐标，由此即可作出图象即可。
18．【答案】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
所以定义域： .
令 ，
因为 在 上递减，在 上递增， 在 上递增，
由复合函数的单调性得 在 上递减，在 上递增，
故单调增区间是 ，单调减区间是 ；
因为 ，
在 上递增，
所以 ，
故值域为 .
所以函数的定义域： ；单调增区间是 ，单调减区间是 ；值域是 .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】首先由反正弦函数的定义即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围即为函数的定义域；结合二次函数的单调性即可得出的单调性，再由反函数的单调性结合反正弦函数的单调性即可得出函数的的大小以及单调区间。
19．【答案】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，因此 或 ．
（2）
．
因此，函数的值域是 ．
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的定义域和值域
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出余弦值，即可确定角的大小；
（2）根据余弦的二倍角公式，结合辅助角公式及余弦函数的有界性，即可求出函数的值域.
