重庆市铜梁一中2018-2019学年高一数学3月月考试卷
一、单选题
1．（2019高一下·铜梁月考）已知 为平行四边形，若向量 ， ，则向量 为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019高一下·铜梁月考）设 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019高一下·铜梁月考）向量 化简后等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一下·铜梁月考）等边 中，向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高一下·铜梁月考）已知 且 ，则 点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一下·铜梁月考）在 中， 已知 分别为 的三个内角 所对的边，其中 ，则角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高一下·铜梁月考）已知向量 和 的夹角为 ， ，则 （ ）.
A． B． C．4 D．
8．（2019高一下·铜梁月考）在 中，已知 是 边上一点， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2019高一下·铜梁月考）已知向量 满足 ，且 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．3
10．（2019高一下·铜梁月考）在矩形ABCD中， ，设 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
11．（2019高一下·铜梁月考）若 为 所在平面内一点，且满足 ， ，则 的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
12．（2019高一下·铜梁月考）若 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
13．（2019高一下·铜梁月考）若 与 是互为相反向量,则 .
14．（2019高一下·铜梁月考）已知 分别为 的三个内角 所对的边,且 ,则 .
15．（2019·定远模拟）在 中， 是 边上一点， 的面积为 ， 为锐角，则 ．
16．（2019高一下·铜梁月考）已知点 为 所在平面上的一点,且 ,其中 为实数,若点 落在 的内部,则 的取值范围是 .
三、解答题
17．（2019高一下·铜梁月考）已知向量 ,
（1）求 的坐标表示;
（2）求 的值.
18．（2019高一下·铜梁月考） 中， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的大小．
19．（2019高一下·铜梁月考）已知 , 与 的夹角为 , , ,
（1）当 时，求实数 的值；
（2）当 时，求实数 的值.
20．（2019高一下·铜梁月考）在 中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,且
（1）求 的值;
（2）若 ,且 ,求 和 的值.
21．（2019高一下·铜梁月考）如图,在 中, ,垂足为 ,且 .
（1）求 的大小;
（2）设 为 的中点,已知 的面积为15,求CE 的长.
22．（2019高一下·铜梁月考）已知向量
（1）用含 的式子表示 及 ;
（2）求函数 的值域;
（3）设 ,若关于 的方程 有两个不同的实数解,求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】由向量的三角形法则， .
故答案为：C
【分析】由已知利用向量的三角形法则，即可求出向量 .
2．【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】单位向量即是模为1的向量；若 是两个单位向量，则 .
故答案为：D
【分析】由已知利用单位向量的概念，分别判断各选项，即可得结果.
3．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】原式等于 ，
故答案为：C.
【分析】利用向量的加法运算，即可化简得结果.
4．【答案】D
【知识点】向量的几何表示
【解析】【解答】如图，
由向量夹角的定义，要把向量移到同一起点，故三角形的内角ABC，并非向量的夹角，需把向量 平移到 ，此时所夹的∠CBD才是向量的夹角，由邻补角的关系可得∠CBD=180°-∠ABC=120°
故答案为：D.
【分析】由已知利用向量夹角的定义，即可求出向量 的夹角 .
5．【答案】C
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】设 点的坐标为 ，因为 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因此 ，解得 ，即 .
故答案为：C
【分析】先设出 点的坐标，由已知列式，再利用向量的坐标运算，即可求出 点的坐标 .
6．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ，
由正弦定理可得： ，解得 ，
因为 ，所以 ，
因此 .
故答案为：C
【分析】由已知利用正弦定理列式，解得 ，即可求出角 的度数 .
7．【答案】D
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为向量 和 的夹角为120°， ，
所以 .
故答案为：D
【分析】由已知利用列式，即可求出向量的模.
8．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】∵ 2 ，
∴ 2 2 ，
即3 2 ，
则 ，
∵ λ ，
∴λ ，
故答案为：A．
【分析】由已知利用平面向量的线性运算，得到，即可求出λ的值.
9．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】设向量 的夹角为 ，
由 ，且 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等，可得：
，故 ，即 ，
因此 .
故答案为：C
，
【分析】由已知利用 在 方向上的投影与 在方向上的投影相等，得到，利用，即可求出 的值.
10．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】 , ,
故答案为：C.
【分析】由已知利用向量的线性运算，得到，即可求值.
11．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】 ，点M在底边BC的中垂线上，又 ，所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以 ABC的形状为等腰三角形.
故答案为：C
【分析】由已知利用向量的线性运算，得到，，可知点M在底边BC的中垂线和中线上，即可判断 ABC的形状.
12．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故
，
所以 ，故 ，
因此动点 的轨迹一定通过 的垂心.
故答案为：A
【分析】由已知利用向量数量积的运算，得到，可证，即可判断动点 的轨迹一定通过 的垂心.
13．【答案】
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为 与 是互为相反向量,所以 ，因此 .
故答案为
【分析】由已知利用相反向量的定义，即可得结果.
14．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因此，由余弦定理可得 ，所以 .
故答案为
【分析】由已知利用余弦定理列式，即可求出角C的大小.
15．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠B= ，AC= ，D是AB边上一点，CD=2，
△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，
∴S△ACD= ×sin∠ACD=2，解得sin∠ACD= ，
∴cos∠ACD= ，由余弦定理得到
∴AD= ，
由正弦定理,
又因为
故答案为： ．
【分析】利用正余弦定理结合三角形面积公式求出BC的值。
16．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图，
取 靠近 的三等分点 ，过 作 的平行线交 于 ，过 作 的平行线交 于 ，由平行线等分线段定理得 因此，若 则 从而 与 ，在边 上；若 则 在 的延长线上，即 落在 外．故要使点 落在 的内部，则 ．
【分析】先画出图形并作辅助线，由平行线等分线段定理，得到，再分两种情况讨论，即可求出 的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为
所以
（2）解：
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由已知向量的坐标，利用向量加减的坐标运算，即可得结果；
（2）利用向量数量积的坐标运算，即可求值.
18．【答案】（1）解：由正弦定理得
= = = AC= =5
（2）解：由余弦定理得
cosA= = =- ，所以∠A=120°
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，即可求出 的长；
（2）由已知利用余弦定理列式，即可求出 的大小.
19．【答案】（1）解： ,所以设
，
，
.
（2）解：因为 , 与 的夹角为 , ，
又 , ，
，
.
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由已知 ，设并代入计算，即可求出实数 的值；
（2）先由已知得到，再利用，得到列式，即可求出实数 的值.
20．【答案】（1）解：由正弦定理得 ， ，
又 ，∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ,又 ，∴
（2）解：由 得 ，又 ，∴
由 ， 可得 ，
∴ ，即 ，∴ ．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理化简，得到 ，即可求出 的值 ；
（2）由已知 ，可得 ， 得到ac=6，再利用余弦定理得到 ，即可求出 和 的值.
21．【答案】（1）解：根据题意设BD=2m，则DC=3m，AD=6m（m＞0）在Rt△ADB中，tan∠BAD=,在Rt△ADC中，tan∠CAD=，又∠BAC=∠BAD+∠CAD所以 ，
又 ，故
（2）解：因为S△ABC=BA·AD=15，即×5m×6m=15，解得m=1
由此可得AC=，AB=
又因为E是AB的中点，所以AE==
由余弦定理CE2=AE2+AC2-2AE·AC·cos
即CE2=10+45-2×3×=25
所以CE=5
【知识点】两角和与差的正切公式；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由已知图象，利用两角和的正切公式，得到 ，即可求出 的大小 ；
（2）先设 ， ，由已知得到t=1，可得AB，AE的长，再利用余弦定理列式，即可求出BE的长.
22．【答案】（1）解：因为向量 ，
所以 ,
,
（2）解：
又
（3）解：由 得:
令 ,
, ，
【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积坐标表示的应用；余弦函数的定义域和值域
【解析】【分析】（1）由已知利用向量的坐标运算，即可分别表示 及 ;
（2）由（1）得到函数 ，再利用余弦函数的性质，即可求出函数的值域；
（3）由（1）得到方程 ，再利用二次函数的性质列式，即可求出实数 的取值范围 .
重庆市铜梁一中2018-2019学年高一数学3月月考试卷
一、单选题
1．（2019高一下·铜梁月考）已知 为平行四边形，若向量 ， ，则向量 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】由向量的三角形法则， .
故答案为：C
【分析】由已知利用向量的三角形法则，即可求出向量 .
2．（2019高一下·铜梁月考）设 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】单位向量即是模为1的向量；若 是两个单位向量，则 .
故答案为：D
【分析】由已知利用单位向量的概念，分别判断各选项，即可得结果.
3．（2019高一下·铜梁月考）向量 化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】原式等于 ，
故答案为：C.
【分析】利用向量的加法运算，即可化简得结果.
4．（2019高一下·铜梁月考）等边 中，向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的几何表示
【解析】【解答】如图，
由向量夹角的定义，要把向量移到同一起点，故三角形的内角ABC，并非向量的夹角，需把向量 平移到 ，此时所夹的∠CBD才是向量的夹角，由邻补角的关系可得∠CBD=180°-∠ABC=120°
故答案为：D.
【分析】由已知利用向量夹角的定义，即可求出向量 的夹角 .
5．（2019高一下·铜梁月考）已知 且 ，则 点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】设 点的坐标为 ，因为 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因此 ，解得 ，即 .
故答案为：C
【分析】先设出 点的坐标，由已知列式，再利用向量的坐标运算，即可求出 点的坐标 .
6．（2019高一下·铜梁月考）在 中， 已知 分别为 的三个内角 所对的边，其中 ，则角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ，
由正弦定理可得： ，解得 ，
因为 ，所以 ，
因此 .
故答案为：C
【分析】由已知利用正弦定理列式，解得 ，即可求出角 的度数 .
7．（2019高一下·铜梁月考）已知向量 和 的夹角为 ， ，则 （ ）.
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为向量 和 的夹角为120°， ，
所以 .
故答案为：D
【分析】由已知利用列式，即可求出向量的模.
8．（2019高一下·铜梁月考）在 中，已知 是 边上一点， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】∵ 2 ，
∴ 2 2 ，
即3 2 ，
则 ，
∵ λ ，
∴λ ，
故答案为：A．
【分析】由已知利用平面向量的线性运算，得到，即可求出λ的值.
9．（2019高一下·铜梁月考）已知向量 满足 ，且 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】设向量 的夹角为 ，
由 ，且 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等，可得：
，故 ，即 ，
因此 .
故答案为：C
，
【分析】由已知利用 在 方向上的投影与 在方向上的投影相等，得到，利用，即可求出 的值.
10．（2019高一下·铜梁月考）在矩形ABCD中， ，设 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】 , ,
故答案为：C.
【分析】由已知利用向量的线性运算，得到，即可求值.
11．（2019高一下·铜梁月考）若 为 所在平面内一点，且满足 ， ，则 的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】 ，点M在底边BC的中垂线上，又 ，所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以 ABC的形状为等腰三角形.
故答案为：C
【分析】由已知利用向量的线性运算，得到，，可知点M在底边BC的中垂线和中线上，即可判断 ABC的形状.
12．（2019高一下·铜梁月考）若 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故
，
所以 ，故 ，
因此动点 的轨迹一定通过 的垂心.
故答案为：A
【分析】由已知利用向量数量积的运算，得到，可证，即可判断动点 的轨迹一定通过 的垂心.
二、填空题
13．（2019高一下·铜梁月考）若 与 是互为相反向量,则 .
【答案】
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为 与 是互为相反向量,所以 ，因此 .
故答案为
【分析】由已知利用相反向量的定义，即可得结果.
14．（2019高一下·铜梁月考）已知 分别为 的三个内角 所对的边,且 ,则 .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因此，由余弦定理可得 ，所以 .
故答案为
【分析】由已知利用余弦定理列式，即可求出角C的大小.
15．（2019·定远模拟）在 中， 是 边上一点， 的面积为 ， 为锐角，则 ．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠B= ，AC= ，D是AB边上一点，CD=2，
△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，
∴S△ACD= ×sin∠ACD=2，解得sin∠ACD= ，
∴cos∠ACD= ，由余弦定理得到
∴AD= ，
由正弦定理,
又因为
故答案为： ．
【分析】利用正余弦定理结合三角形面积公式求出BC的值。
16．（2019高一下·铜梁月考）已知点 为 所在平面上的一点,且 ,其中 为实数,若点 落在 的内部,则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图，
取 靠近 的三等分点 ，过 作 的平行线交 于 ，过 作 的平行线交 于 ，由平行线等分线段定理得 因此，若 则 从而 与 ，在边 上；若 则 在 的延长线上，即 落在 外．故要使点 落在 的内部，则 ．
【分析】先画出图形并作辅助线，由平行线等分线段定理，得到，再分两种情况讨论，即可求出 的取值范围.
三、解答题
17．（2019高一下·铜梁月考）已知向量 ,
（1）求 的坐标表示;
（2）求 的值.
【答案】（1）解：因为
所以
（2）解：
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由已知向量的坐标，利用向量加减的坐标运算，即可得结果；
（2）利用向量数量积的坐标运算，即可求值.
18．（2019高一下·铜梁月考） 中， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的大小．
【答案】（1）解：由正弦定理得
= = = AC= =5
（2）解：由余弦定理得
cosA= = =- ，所以∠A=120°
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理列式，即可求出 的长；
（2）由已知利用余弦定理列式，即可求出 的大小.
19．（2019高一下·铜梁月考）已知 , 与 的夹角为 , , ,
（1）当 时，求实数 的值；
（2）当 时，求实数 的值.
【答案】（1）解： ,所以设
，
，
.
（2）解：因为 , 与 的夹角为 , ，
又 , ，
，
.
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由已知 ，设并代入计算，即可求出实数 的值；
（2）先由已知得到，再利用，得到列式，即可求出实数 的值.
20．（2019高一下·铜梁月考）在 中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,且
（1）求 的值;
（2）若 ,且 ,求 和 的值.
【答案】（1）解：由正弦定理得 ， ，
又 ，∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ,又 ，∴
（2）解：由 得 ，又 ，∴
由 ， 可得 ，
∴ ，即 ，∴ ．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理化简，得到 ，即可求出 的值 ；
（2）由已知 ，可得 ， 得到ac=6，再利用余弦定理得到 ，即可求出 和 的值.
21．（2019高一下·铜梁月考）如图,在 中, ,垂足为 ,且 .
（1）求 的大小;
（2）设 为 的中点,已知 的面积为15,求CE 的长.
【答案】（1）解：根据题意设BD=2m，则DC=3m，AD=6m（m＞0）在Rt△ADB中，tan∠BAD=,在Rt△ADC中，tan∠CAD=，又∠BAC=∠BAD+∠CAD所以 ，
又 ，故
（2）解：因为S△ABC=BA·AD=15，即×5m×6m=15，解得m=1
由此可得AC=，AB=
又因为E是AB的中点，所以AE==
由余弦定理CE2=AE2+AC2-2AE·AC·cos
即CE2=10+45-2×3×=25
所以CE=5
【知识点】两角和与差的正切公式；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由已知图象，利用两角和的正切公式，得到 ，即可求出 的大小 ；
（2）先设 ， ，由已知得到t=1，可得AB，AE的长，再利用余弦定理列式，即可求出BE的长.
22．（2019高一下·铜梁月考）已知向量
（1）用含 的式子表示 及 ;
（2）求函数 的值域;
（3）设 ,若关于 的方程 有两个不同的实数解,求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为向量 ，
所以 ,
,
（2）解：
又
（3）解：由 得:
令 ,
, ，
【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积坐标表示的应用；余弦函数的定义域和值域
【解析】【分析】（1）由已知利用向量的坐标运算，即可分别表示 及 ;
（2）由（1）得到函数 ，再利用余弦函数的性质，即可求出函数的值域；
（3）由（1）得到方程 ，再利用二次函数的性质列式，即可求出实数 的取值范围 .
