2024届高三第一次月考试题
数学
1.已知集合 , 则
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 , 则 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知向量 满足 , 则 在 方向上的投影向量的模为
A. B. 3 C. D.
4.如图 1, 在高为 的直三棱柱容器 中, , 现往该容器内灌进一些水, 水深为 , 然后固定容器底面的一边 于地面上, 再将容器倾斜, 当倾斜到某一位置时, 水面恰好为 (如图 2), 则
A. B. C. D.
5.某软件研发公司对某软件进行升级, 主要是对软件程序中的某序列 重新编辑, 编辑新序列为 , 它的第 项为 , 若 的所有项都是 2 , 且 , , 则
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
6.立德学校于三月份开展学雷锋主题活动, 某班级 5 名女生和 2 名男生, 分成两个小组去两地参加志愿者活动, 每小组均要求既要有女生又要有男生, 则不同的分配方案有 ( ) 种.
A. 20 B. 4 C. 60 D. 80
7.已知函数 的零点分别为 , 则
A. B. C. 0 D. 2
8.已知双曲线 的右焦点为 , 过点 且斜率为 的直线 交双曲线于 两点, 线段 的中垂线交 轴于点 . 若 , 则双曲线的离心率取值范围是
A. B. C. D.
9.（多选）每年 4 月 23 日为“世界读书日”, 树人学校于四月份开展“书香润泽校园, 阅读提升思想”主题活动, 为检验活动效果, 学校收集当年二至六月的借阅数据如下表:
根据上表, 可得 关于 的经验回归方程为 , 则
A.
B. 借阅量 的上四分位数为 5.7
C. 与 的线性相关系数
D. 七月的借阅量一定不少于 6.12 万册
10.（多选）已知 , 下列选项正确的是
A. 的值域为
B. 的对称中心为
C. 的单调递增区间为 和
D. 图像向右平移 个单位与 的图像重合
11.（多选） 如图, 点 是棱长为 1 的正方体 中的侧面 上的一个动点（包含边界）, 则下列结论正确的是
A. 不存在点 满足 平面
B. 存在无数个点 满足
C. 当点 满足 时, 平面 截正方体所得截面的面积为
D. 满足 的点 的轨迹长度是
12.（多选）已知函数 , 下列选项正确的是
A. 有最大值
B.
C. 若 时, 恒成立, 则
D. 设 为两个不相等的正数, 且 , 则
13.二项式 的二项式系数之和为 64 , 则展开式中的 的系数是______. (填数字)
14.已知 为锐角, , 则 _____.
15.已知点 是椭圆 上一点, 椭圆 在点 处的切线 与圆 交于 两点, 当三角形 的面积取最大值时, 切线 的斜率等于_______.
16.已知四边形 为平行四边形, , 现将 沿直线 翻折, 得到三棱锥 , 若 , 则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为______.
17.在锐角 中, 角 所对应的边分别为 , 已知 .
(1)求角 的值;
(2)若 , 求 的取值范围.
18.已知正数数列 满足 , 且 . (函数 求导 次可用 表示)
(1)求 的通项公式.
(2)求证: 对任意的 , 都有 .
19.某剧场的座位数量是固定的, 管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价 (单位: 元) 和上座率 (上座人数与总座位数的比值) 的数据, 其中 , 并根据统计数据得到如下的散点图:
(1) 由散点图判断 与 哪个模型能更好地对 与 的关系进行拟合 (给出判断即可, 不必说明理由), 并根据你的判断结果求回归方程;
(2)根据（1）所求的回归方程, 预测票价为多少时, 剧场的门票收入最多.
参考数据: ; 设 , 则 ,
参考公式: 对于一组数据 , 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为: .
20.如图, 在三棱台 中, 面 面
(1)证明: ;
(2)若棱台的体积为 , 求二面角 的余弦值.
21.已知 分别为椭圆 左、右顶点, 为 的上顶点, 为直线 上的动点, 与 的另一交点为 与 的另一交点为 .
(1)求 的方程;
(2)证明: 直线 过定点.
22.已知函数 , 其中 且 .
(1)证明：当 时, 恒成立;
(2)证明: 当 时, 曲线 与曲线 有且只有两条公切线.
参考答案
1.D
由 , 解得 , 又因为 , 所以 ,
又由 , 可得 , 解得 , 所以 , 所以 , 故选:C.
2.B 由题意可得: , 所以 在复平面内对应的点为 , 位于第二象限.故选：B.
3.B 因为 , 所以 , 又 , 所以 , 则 在 方向上的投影向量的模为 , 故选: B.
4.A 设柱体的底面积为 , 则柱体的体积 , 注入水的体积为 , 容器倾斜后, 上半部分三棱锥的体积 , 则可得 , 整理得 . 故选: A.
5.C 令 , 则 , 所以 , 由题意可知, 对任意的 , 且 , 所以数列 是公差为 2 的等差数列, 且 , 即 , 所以 , 因此 . 故选: C.
6.C
先安排 2 名男生, 保证每个小组都有男生, 共有 2 种分配方案;
再安排 5 名女生, 若将每个女生随机安排, 共有 种分配方案, 若女生都在同一小组, 共有 2 种分配方案, 故保证每个小组都有女生，共有 种分配方案;
所以共有 种分配方案. 故选: C.
7.A
令 , 则有 , 即 , 所以有 , 令 , 则 , 令 , 则有 , 即有 ,
因为 , 所以 , 则 ,即有 , 当 时, 等号成立, 所以当 时, ,
所以 共有 3 个零点, 分别为 , 所以 . 故选: A
8.A
设双曲线的右焦点为 , 则直线 ,
联立方程 , 消去 得: ,
则可得 ,
则 ,
设线段 的中点 , 则 ,
即 ,
且 , 线段 的中垂线的斜率为 ,
则线段 的中垂线所在直线方程为 ,
令 , 则 , 解得 ,
即 , 则 ,
由题意可得: , 即 ,整理得 , 则 ,
注意到双曲线的离心率 双曲线的离心率取值范围是 . 故选: A.
9.ABC
对于 A: 因为 , 所以 , 得 , 所以 正确;
对于 B: 因为 , 所以借阅量 的上四分位数为 5.7 , 所以 B 正确; 对于 C: 因为 , 所以 与 的线性相关系数 , 所以 正确;
对于 由选项 可知线性回归方程为 , 当 , 则 ,
所以七月的借阅量约为 6.12 百册, 所以 错误; 故选: .
10.ABD
由题意可得:
对于 A: 因为 , 所以 , 故 A 正确;
对于 B: 因为 的对称中心与函数 的对称中心相同,
令 , 解得 , 故 的对称中心为 , 故 B 正确;
对于 C: 若 单调递增, 则 单调递减,
令 , 解得
所以 的单调递增区间为 和 , 故 C 错误;
对于 D: 图像向右平移 个单位, 得到 ,
与 解析式相同, 图像重合, 故 D 正确. 故选: ABD.
11.BCD
对于选项 : 连接 , 因为四边形 是正方形, 所以 ,
平面 , 且 平面 , 所以 ,
平面 ,
所以 平面 , 且 平面 ,
可得 , 同理可证 ,
平面 , 所以 平面 ,
又点 是面 上的一个动点（包含边界）, 所以当 与 重合时, 平面 , 故 错误;
对于选项 ：连接 ,
侧面 侧面 , 则 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 ,
可知当 在线段 上时, 有 , 故存在无数个点满足 , 故 B 正确;
对于选项 : 延长 交 于点 ,
, 则 为线段 靠近点 的三等分点,
且 , 则 , 则 为线段 的中点,
如图, 以 点为原点建立空间直角坐标系,
则 , 可得 ,
设平面 的法向量为 , 则 ,
令 , 则 , 即 ,
设平面 , 点 , 则 ,
则 , 解得 ,
则 , 故 ,
可得 , 即 ,
且 ,
故截面 面积 , 故 C 正确;
对于选项 D: 因为正方体 的棱长为 1 , 所以设 ,
所以 ,
因为 , 所以 ,
化简得: ,
所以点 的轨迹是一段以 为圆心, 半径为 的圆弧, 设圆弧与 分别交于点 ,
取 , 则 , 即 ; 取 , 则 , 即 ; 则 , 则 ,
且 , 即 , 轨迹长度是 , 故 D 正确. 故选: BCD.
12.ACD
对于选项 A: 由题意可得: 函数 的定义域为 , 且 , 令 , 解得 ; 令 , 解得 ;
则函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,
所以 有最大值 , 故 A 正确;
对于选项 B: 因为 , 则 ,
所以 , 故 B 错误;
对于选项 : 构建 , 则 ,
因为 , 且当 时, 恒成立,
则 , 解得 ,
若 , 则 当 时恒成立,
则 在 上单调递减, 则 , 符合题意
综上所述: 符合题意, 故 C 正确;
对于选项 D: 因为 ,整理得 , 即 ,
由选项 可知: 函数 在 上单调递增, 在 上单调递减, 当 趋近于 0 时, 趋近于 0 , 且令 , 解得 , 不妨设 ,
构建 ,
因为 在 上恒成立,
则 在 上单调递增, 可得 ,
所以 , 即 ,可得 ,注意到 在 上单调递减, 且 , 所以 , 即 , 故 D 正确; 故选: ACD.
13.15
因为二项式 的二项式系数之和为 64 , 所以 ,
所以 展开式的通项为 , 令 , 则 ,
所以 展开式中的 的系数是 . 故答案为: 15 .
14.
因为 为锐角, 且 , 所以 ,
所以联立 , 解得 ,
故答案为:
15..
圆 的圆心 , 半径 ,
设 , 则 , 当且仅当 , 即 时, 等号成立,
当 时, 是等腰三角形, 此时点 到切线 的距离等于 .
解法一: 设切线 的方程为 , 即 ,
则有 , 整理得: (1)
联立方程 , 消去 得: ,
由相切得: , 整理得: (2)
由(1)(2)得: , 解得 .
解法二: 设点 的坐标为 , 切线 的方程为 , 即 ,则有 , 整理得 ,
点 在椭圆上, 则 ,
则 , 解得 ,
所以切线 的斜率 . 故答案为: .
16..
在 中, ,
故 , 即 ,
则折成的三棱锥 中, ,
即此三棱锥的对棱相等, 故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线,
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为
则 , 解得 ,
此长方体的外接球是三棱锥 的外接球,
设外接球的直径 , 即 ,
又因为三棱锥 是长方体切掉四个角,
故三棱锥 ,
三棱锥 四个侧面是全等的,
设内切球半径为 ,内切球球心为顶点, 把三棱锥分割为以球心为顶点, 四个面为底面的的四个小三棱锥, 四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积, 故 ,则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为 . 故答案为: .
17.（1）.（2）.
(1) 由正弦定理 得: , 整理得: , 由余弦定理得: ,, 则 .
(2) 由 (1) 可得: , 且 ,
锐角 中, 由正弦定理得: ,
可得 ,
则 ,
锐角三角形, 且 , 则 , 即 , 解得 ,
即 , 且 ,
可得 , 则 ,
故 的范围是 .
18.(1) 见解析 (2) 见解析
(1) 由 , 得 , 所以 或 ,
因为 , 所以 , 所以 ,
所以
(2) 证明: 当 时, 恒成立,
令 ,
即 ,
则
......
所以 在 上递增, 所以 ,
所以 在 上递增, 所以 ,
所以 在 上递增,
...... 所以 在 上递增, 所以 ,
所以 在 上递增, 所以 ,
综上对任意的 , 都有 .
19.(1) (2) 预测票价为 220 元时, 剧场的门票收入最多
(1) 能更好地对 与 的关系进行拟合.
设 , 先求 关于 的线性回归方程. 由已知得 ,
所以 ,
, 所以 关于 的线性回归方程为 ,
所以 关于 的回归方程为 ;
(2) 设该剧场的总座位数为 , 由题意得门票收入为 ,
设函数 , 则 ,
当 , 即 时, 函数单调递减, 当 , 即 时, 函数单调递增, 所以 在 处取最大值, 所以预测票价为 220 元时, 剧场的门票收入最多.
20.(1) 见解析 (2) .
(1) 在平面 中过点 作 的垂线 ,
在平面 中过点 作 的垂线 ,
面 面 面 ,
且面 面 , 故 面 ,
面 , 所以 ,
故 三条两两垂直,
建立以点 为坐标原点, 直线 分别为 轴的空间直角坐标系,如图所示, 则由题意得
, 即 ,
(2) 设 ,
根据 , 则 ,
由棱台体积公式得 ,
所以 , 则
在 (1) 问建系基础上, ,
设面 的法向量
由 , 即 , 取 , 则 , 则 ,
由题意得 , 根据 , 则 , 则
,
设面 法向量 ,由 , 即 , 取 , 则 , 则 ,
设二面角 的大小为 , 依图可知 ,
所以 ,
所以二面角 的余弦值为 .
21.(1) (2) 见解析
(1)依据题意作出如下图象:
由椭圆方程 可得:
椭圆方程为:
(2)证明: 设 ,
则直线 的方程为: , 即:
联立直线 的方程与椭圆方程可得: , 整理得:
, 解得: 或
将 代入直线 可得:
所以点 的坐标为 . 同理可得: 点 的坐标为
直线 的方程为: ,
整理可得: ,整理得: 故直线 过定点
22.（1）见解析（2）见解析
(1) 当 时, , 即 , 等价于即 , 构建 , 则 , 令 , 解得 ; 令 , 解得 ; 则 在 上单调递减, 在 上单调递增, 可得 , 即 , 当且仅当 时, 等号成立; 可得 , 则 , 当且仅当 时, 即 时, 等号成立; 可得 , 则 , 当且仅当 , 即 时, 等号成立; 综上所述: .但等号不同时取到, 故 , 原式得证.
(2) 由题意可得: ,
设直线 与 相切于点 , 则切线斜率 , 直线 与 相切于点 , 则切线斜 率 ,
则 , 整理得 ,
由题意可得: ,
消去 可得: ，
令 , 则 ,
则 ,
可得 ,
令 ,
要证两函数有且只有两条公切线, 即证 在 上有且只有两个零点.则 , 可得 在定义域内单调递增, 且 ,
故 在 上有唯一零点 , 且 ,
当 时, , 当 时, ,
则 在 上单调递减, 在 上单调递增, 可知 的最小值为 ,
又 , 则 ,
注意到 趋近 0 时, 趋近 趋近 时, 趋近 ,
在 和 上分别存在一个零点, 故 有且只有两个零点, 故原命题得证.
