陕西省石泉县池河中学2018-2019学年八年级下学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2019九下·鱼台月考）下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·石泉月考）下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，1， C．6，8，11 D．2，2，3
3．（2019八下·石泉月考）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·江北期中）下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019八下·石泉月考）下列二次根式，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019八下·石泉月考）计算 的正确结果是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
7．（2019八下·江北期中）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2019八下·石泉月考）如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=900，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2019八下·石泉月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列结论：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
10．（2019九上·孝义期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC= ，若AD=4，CD=2，则BD的长为（ ）
A．6 B． C．5 D．
二、填空题
11．（2019九下·鱼台月考）比较大小： 3；2 3 .
12．（2019八下·石泉月考）若 是正整数，则整数n的最小值为 .
13．（2019八下·石泉月考）在实数范围因式分解： ＝ .
14．（2019八下·石泉月考）观察下列各式： ，……依此规律，则第4个式子是 .
15．（2019·河池模拟）已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为 .
16．（2019八下·石泉月考）如图，∠AOB=40°，M、N分别在OA、OB上，且OM=2，ON=4，点P、Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 .
三、解答题
17．（2019八下·石泉月考）
（1） － － ；
（2）
18．（2019八下·石泉月考）先化简，再求值： ，其中 .
19．（2019八下·石泉月考）
（1）若 ，求 的平方根；
（2）实数x，y使 成立，求 的值.
20．（2019八下·石泉月考）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.
（1）如图1，在4x4的方格中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数，且顶点都在格点上；
（2）如图2
, 直接写出:①△ABC的周长为 ；②△ABC的面积为 ;③AB边上的高为 .
21．（2019八下·石泉月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6.
（1）求证：∠CDB＝90°；
（2）求AC的长.
22．（2019八下·石泉月考）如图，在等边△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=3∠CAD, BC=2.
（1）求△ABC的面积；
（2）求CD的值.
23．（2019八下·石泉月考）已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB=900，OA=AB，点A,B在第四象限.
（1）①如图1，若A（1，-3），则OA= ；
②求点B的坐标；
（2）如图2，AD⊥y轴于点D,M为OB的中点，求证： .
24．（2019八下·石泉月考）已知△ABC是等边三角形.
（1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证AD=CE；
（2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13， DB= ，DC=7，试求∠BDC的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、由题意可得3-x≥0，解得x≤3，故A选项错误；
B、由题意可得6+2x≥0，解得x≥-33，故B选项错误；
C、由题意可得x-3≥0，解得x≥3，故C选项正确；
D、由题意可得x+3≥0，解得x≥-3，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分别列出不等式，求解即可判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵2 2 +3 2 =13≠4 2 ，∴不能构成直角三角形，故A选项错误；
B、∵1 2 +1 2 =2=（ ） 2 ，∴能构成直角三角形，故B选项正确.
C、∵6 2 +8 2 =100≠11 2 ，∴不能构成直角三角形，故C选项错误；
D、∵2 2 +2 2 =8≠3 2 ，∴不能构成直角三角形，故D选项错误，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】A、被开方数含有分母的一定不是最简二次根式；
B、 是最简二次根式；
C、 =|a|，故C选项不是最简二次根式；
D、 ，故D选项不是最简二次根式，
故答案为：B.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】A. ，正确，故不符合题意；
B. ，正确，故不符合题意；
C. ，错误，故符合题意；
D. ，正确，故不符合题意，
故答案为：C.
【分析】A. 合并同类二次根式法则可知 ，正确，故不符合题意；
B.根据二次根式乘法法则可得 ，正确，故不符合题意；
C.由平方差公式及二次根式的性质可知 ≠5 ，错误，故符合题意；
D.由二次根式的除法法则及二次根式的性质可得 ，正确，故不符合题意，
5．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】A. = ，能与 合并，故不符合题意；
B. =- ，能与 合并，故不符合题意；
C. = ，能与 合并，故不符合题意；
D. =3 ，不能与 合并，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】先将每一个选项的二次根式化为最简二次根式，若被开方数为3即可合并.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】
=
=12+4
=16，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的乘方、二次根式的化简将原式简化，然后进行进行加法运算即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；有理数的乘法；对顶角及其性质；逆命题
【解析】【解答】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；
②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；
③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，
所以逆命题成立的只有一个，
故答案为：B.
【分析】一个命题包括题设和结论两部分，将一个命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，根据定义分别写出每一个命题的逆命题：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角；②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，然后根据已有的知识和定理定义即可一一判断得出答案。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，
∴∠AED=∠ABC=90°，AE=AB=6，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= =10，
∴EC=AC AE=10 6=4，
设BD=ED=x，则CD=BC BD=8 x，
在Rt△CDE中，CD =EC +ED ，
即：(8 x) =x +16，
解得：x=3，
∴BD=3.
故答案为：A.
【分析】由题意可得∠AED=∠ABC =90°，AE=AB=3，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC BD=4 x，由勾股定理CD =EC +ED ，即可得方程，解方程即可求得答案.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然直角三角形的斜边为7，利用勾股定理可得x2+y2=49，故①正确；
②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4× xy+4=49，化简得2xy+4=49，故③正确，
综上可知正确的结论是①②③，
故答案为：C.
【分析】由大正方形的面积是49，可得大正方形的边长为7，由勾股定理可得x2+y2=49，据此判断①；利用小正方形面积为4 ，可得小正方形的边长为2，由图形可得y+2=x，据此判断②；根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，据此判断③.
10．【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，
则有∠AD′D=∠D′AD= ，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中， ，
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′= ＝4 ，
∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得
CD′= = =6，
故答案为：A.
【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
11．【答案】>；<
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵10＞9，∴，即；
∵，，而12＜18，∴，即.
故答案为：＞，＜.
【分析】根据二次根式的性质，将根号外的数放到根号内，进而根据二次根式的被开方数越大，其算术平方根就越大，比较其被开方数即可得出答案.
12．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 =2 ，
∵n是一个整数， 是正整数，
∴n的最小值是3.
故答案为：C.
【分析】先化简二次根式为2 ，然后根据二次根式为整数，即可确定n的最小值.
13．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】
=
= ，
故答案为 .
【分析】将5改成 ，然后利用平方差进行分解即可.
14．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】第1个式子： ，
即（1+1）× = ；
第2个式子： ，
即（2+1）× = ；
第3个式子： ，
即（3+1）× = ；
所以第4个式子为：（4+1）× = ，
即 ，
故答案为 .
【分析】观察所给的式子可知等号前面的第一个乘数比序号大1，第二个乘数是二次根式，根式中是分数，分子比序号数大1，分母比分子的平方小1，等号右边是一个二次根式，是左边根号外的数与根号内的数的和，由此即可得.
15．【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为： ；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为： ；
∴第三边的长为： 或5.
【分析】根据题意分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边；②长为3、4的边都是直角边时： 根据勾股定理即可求出第三边长 .
16．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，
M′N′即为MP+PQ+QN的最小值.
过点M′作M′F⊥N′O，交N′O的延长线于点F，
根据轴对称的定义可知：∠N′OA=∠M′OB=∠AOB=40°，OM′=OM=2，ON′=ON=4，
∴∠M′ON′=120°，
∴∠M′OF=60°，∴∠FM′O=30°，
∴OF= OM′=1，FM′= ，
∴N′F=4+1=5，
∴M′N′= ，
故答案为 .
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，M′N′即为MP+PQ+QN的最小值.
17．【答案】（1）解：原式= - = - ；
（2）解：原式= = = .
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）把每一个二次根式都化成最简二次根式，然后再对同类二次根式进行合并即可得；（2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可.
18．【答案】解：
=x+4.
当 时，原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先计算括号内的分式，通分相减，然后把除法转化为乘法，约分.即可化简式子，最后代入数值计算即可.
19．【答案】（1）解：依题意，x-3≥0且3-x≥0，
∴x≥3且x≤3， ∴x=3 ，
当x=3时，y=0+4=4，
∴xy=3×4=12，
∴xy的平方根为 = ；
（2）解：∵ +y2+4y+4=0，
∴ +（y+2）2 =0 ，
由非负性可知，x-3=0， y+2=0 ∴x=3，y=-2 ，
∴ .
【知识点】平方根；二次根式有意义的条件；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出x的值，然后再求出y的值，再进行运算即可得；（2）将式子 变形为 +（y+2）2 =0，然后利用非负数的性质求出x、y的值，然后代入进行运算即可得.
20．【答案】（1）解：画三角形如图所示；
（2）；；
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】（2）解：①由图形可得：AB= ，
BC= ，
AC= ，
AB+BC+AC= ，
即△ABC的周长为 ，
故答案为 ；
②S△ABC=2×2- - - = ，
故答案为 ；
③AB边上的高： ，
故答案为 .
【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理定理可知所画三角形的三边长分别为3、4、5；（2）①根据勾股定理分别求出AB、BC、AC的长，即可得周长；②用最大的正方形的面积减去四周三个小三角形的面积即可得到△ABC的面积；③根据（2）中的面积以及AB的长利用三角形的面积公式即可得.
21．【答案】（1）证明：∵BC＝10，CD＝8，BD＝6，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠CDB＝90°；
（2）解：∵AB＝AC，
∴设AC＝x，则AD＝x﹣6，
∴x2＝（x﹣6）2+82，
解得：x＝ ，
故AB＝AC＝ .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；（2）设AC＝x，由题意得到x2＝（x﹣6）2+82，计算即可得到答案.
22．【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴BM=CM= BC=1，∠BAM=∠CAM=30°，
在Rt△CAM中，AM2+CM2=AC2 ，
∴AM 2+12=22 ，∴AM= ，
∴S△ABC= BC·AM = ×2× = ；
（2）解：∵∠BAD=3∠CAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠CAD= ∠BAC=15°，
∠MAD=∠MAC-∠DAC=15°，
∴AD平分∠MAC ，
过点D作DN⊥AC于N，则△ADM≌△AND，
∴DM=DN，AN=AM= ，
∴CN=AC-AB=2- ，
设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，
在Rt△CDN中，DN2+CN2=CD2 ，
x2+(2- )2=(1-x)2 ，解得：x=2 -3，
∴CD=1-x=4-2 .
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，根据已知可得BM=CM= BC=1，然后根据勾股定理求得AM的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）过点D作DN⊥AC于N，根据已知则可得到△ADM≌△AND，从而得DM=DN，AN=AM= ，继而得CN=AC-AB=2- ，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，利用勾股定理求得x即可得.
23．【答案】（1）；解：过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥AD于E， 则∠ODA=∠AEB= ，∠DOA=∠BAE，OA=AB， ∴△ADO≌△BEA（AAS）， ∴BE=AD=1，AE=OD=3， ∴DE=4， ∴B（4，-2）；
（2）证明：过B作BE⊥DA交DM的延长线于点F，
由（1）②可知：△ADO≌△BEA（AAS），
∴BE=AD，AE=OD，
∵OD//EF，∴∠ODM=∠F，
又∵∠OMD=∠BMF，OM=BM，
∴△MDO≌△MFB（AAS），
∴BF=OD=AE，DM=FM，
∴DE=FE，
∴DA+DO=DA+AE=DE= DF= DM.
【知识点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①因为O（0，0），A（1，-3），所以OA= ，
故答案为 ；
【分析】（1）①根据坐标平面内两点间的距离公式即可求得；②过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥AD于E，证明△ADO≌△BEA，根据全等三角形的性质即可求得；（2）过B作BE⊥DA交DM的延长线于点F，则可得BE=AD，AE=OD，再证明△MDO≌△MFB，从而有DE=FE，继而则可得.
24．【答案】（1）证明：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60° ，
∴∠ABD=∠EBC，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE；
（2）解：结论： DB2+DC2=DA2，
以BD为边作等边△BDE，连CE，
则BD=DE，∠BDE=60°，
由（1）可知△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE ，
又∠CDB=30°，∴∠CDE=90°，
∴CD2+DE2=CE2，
∴DB2+DC2=DA2 ；
（3）解：以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，
由（1）则可知△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=13，
设DH=x，
在Rt△DEH中：DE2—DH2=EH2，
即 ，
在Rt△CEH中：CE2—CH2=EH2，
，
∴ = ，
∴x=5 ， 即DH=5 ，
∴EH=5=DH，则∠EDH=45°，
∴∠CDB=180°—45°—60°=75°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可得；（2）以BD为边作等边△BDE，连CE， 由（1）可知△ABD≌△CBE，则有AD=CE ，根据∠CDE=90°，则有CD2+DE2=CE2，即可得到DB2+DC2=DA2 ；（3）以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，则有△ABD≌△CBE（AAS），从而得AD=CE=13，设DH=x，在Rt△DEH和Rt△CEH中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求得x的值，然后可得到EH=DH，从而有∠EDH=45°，继而可得到∠CDB的度数.
陕西省石泉县池河中学2018-2019学年八年级下学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2019九下·鱼台月考）下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、由题意可得3-x≥0，解得x≤3，故A选项错误；
B、由题意可得6+2x≥0，解得x≥-33，故B选项错误；
C、由题意可得x-3≥0，解得x≥3，故C选项正确；
D、由题意可得x+3≥0，解得x≥-3，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分别列出不等式，求解即可判断得出答案.
2．（2019八下·石泉月考）下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，1， C．6，8，11 D．2，2，3
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵2 2 +3 2 =13≠4 2 ，∴不能构成直角三角形，故A选项错误；
B、∵1 2 +1 2 =2=（ ） 2 ，∴能构成直角三角形，故B选项正确.
C、∵6 2 +8 2 =100≠11 2 ，∴不能构成直角三角形，故C选项错误；
D、∵2 2 +2 2 =8≠3 2 ，∴不能构成直角三角形，故D选项错误，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
3．（2019八下·石泉月考）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】A、被开方数含有分母的一定不是最简二次根式；
B、 是最简二次根式；
C、 =|a|，故C选项不是最简二次根式；
D、 ，故D选项不是最简二次根式，
故答案为：B.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此判断即可.
4．（2019八下·江北期中）下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】A. ，正确，故不符合题意；
B. ，正确，故不符合题意；
C. ，错误，故符合题意；
D. ，正确，故不符合题意，
故答案为：C.
【分析】A. 合并同类二次根式法则可知 ，正确，故不符合题意；
B.根据二次根式乘法法则可得 ，正确，故不符合题意；
C.由平方差公式及二次根式的性质可知 ≠5 ，错误，故符合题意；
D.由二次根式的除法法则及二次根式的性质可得 ，正确，故不符合题意，
5．（2019八下·石泉月考）下列二次根式，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】A. = ，能与 合并，故不符合题意；
B. =- ，能与 合并，故不符合题意；
C. = ，能与 合并，故不符合题意；
D. =3 ，不能与 合并，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】先将每一个选项的二次根式化为最简二次根式，若被开方数为3即可合并.
6．（2019八下·石泉月考）计算 的正确结果是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】
=
=12+4
=16，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的乘方、二次根式的化简将原式简化，然后进行进行加法运算即可.
7．（2019八下·江北期中）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；有理数的乘法；对顶角及其性质；逆命题
【解析】【解答】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；
②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；
③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，
所以逆命题成立的只有一个，
故答案为：B.
【分析】一个命题包括题设和结论两部分，将一个命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，根据定义分别写出每一个命题的逆命题：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角；②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，然后根据已有的知识和定理定义即可一一判断得出答案。
8．（2019八下·石泉月考）如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=900，AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，
∴∠AED=∠ABC=90°，AE=AB=6，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= =10，
∴EC=AC AE=10 6=4，
设BD=ED=x，则CD=BC BD=8 x，
在Rt△CDE中，CD =EC +ED ，
即：(8 x) =x +16，
解得：x=3，
∴BD=3.
故答案为：A.
【分析】由题意可得∠AED=∠ABC =90°，AE=AB=3，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC BD=4 x，由勾股定理CD =EC +ED ，即可得方程，解方程即可求得答案.
9．（2019八下·石泉月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列结论：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然直角三角形的斜边为7，利用勾股定理可得x2+y2=49，故①正确；
②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4× xy+4=49，化简得2xy+4=49，故③正确，
综上可知正确的结论是①②③，
故答案为：C.
【分析】由大正方形的面积是49，可得大正方形的边长为7，由勾股定理可得x2+y2=49，据此判断①；利用小正方形面积为4 ，可得小正方形的边长为2，由图形可得y+2=x，据此判断②；根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，据此判断③.
10．（2019九上·孝义期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC= ，若AD=4，CD=2，则BD的长为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，
则有∠AD′D=∠D′AD= ，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中， ，
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′= ＝4 ，
∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得
CD′= = =6，
故答案为：A.
【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
二、填空题
11．（2019九下·鱼台月考）比较大小： 3；2 3 .
【答案】>；<
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵10＞9，∴，即；
∵，，而12＜18，∴，即.
故答案为：＞，＜.
【分析】根据二次根式的性质，将根号外的数放到根号内，进而根据二次根式的被开方数越大，其算术平方根就越大，比较其被开方数即可得出答案.
12．（2019八下·石泉月考）若 是正整数，则整数n的最小值为 .
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 =2 ，
∵n是一个整数， 是正整数，
∴n的最小值是3.
故答案为：C.
【分析】先化简二次根式为2 ，然后根据二次根式为整数，即可确定n的最小值.
13．（2019八下·石泉月考）在实数范围因式分解： ＝ .
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】
=
= ，
故答案为 .
【分析】将5改成 ，然后利用平方差进行分解即可.
14．（2019八下·石泉月考）观察下列各式： ，……依此规律，则第4个式子是 .
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】第1个式子： ，
即（1+1）× = ；
第2个式子： ，
即（2+1）× = ；
第3个式子： ，
即（3+1）× = ；
所以第4个式子为：（4+1）× = ，
即 ，
故答案为 .
【分析】观察所给的式子可知等号前面的第一个乘数比序号大1，第二个乘数是二次根式，根式中是分数，分子比序号数大1，分母比分子的平方小1，等号右边是一个二次根式，是左边根号外的数与根号内的数的和，由此即可得.
15．（2019·河池模拟）已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为 .
【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为： ；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为： ；
∴第三边的长为： 或5.
【分析】根据题意分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边；②长为3、4的边都是直角边时： 根据勾股定理即可求出第三边长 .
16．（2019八下·石泉月考）如图，∠AOB=40°，M、N分别在OA、OB上，且OM=2，ON=4，点P、Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 .
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，
M′N′即为MP+PQ+QN的最小值.
过点M′作M′F⊥N′O，交N′O的延长线于点F，
根据轴对称的定义可知：∠N′OA=∠M′OB=∠AOB=40°，OM′=OM=2，ON′=ON=4，
∴∠M′ON′=120°，
∴∠M′OF=60°，∴∠FM′O=30°，
∴OF= OM′=1，FM′= ，
∴N′F=4+1=5，
∴M′N′= ，
故答案为 .
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，M′N′即为MP+PQ+QN的最小值.
三、解答题
17．（2019八下·石泉月考）
（1） － － ；
（2）
【答案】（1）解：原式= - = - ；
（2）解：原式= = = .
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）把每一个二次根式都化成最简二次根式，然后再对同类二次根式进行合并即可得；（2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可.
18．（2019八下·石泉月考）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：
=x+4.
当 时，原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先计算括号内的分式，通分相减，然后把除法转化为乘法，约分.即可化简式子，最后代入数值计算即可.
19．（2019八下·石泉月考）
（1）若 ，求 的平方根；
（2）实数x，y使 成立，求 的值.
【答案】（1）解：依题意，x-3≥0且3-x≥0，
∴x≥3且x≤3， ∴x=3 ，
当x=3时，y=0+4=4，
∴xy=3×4=12，
∴xy的平方根为 = ；
（2）解：∵ +y2+4y+4=0，
∴ +（y+2）2 =0 ，
由非负性可知，x-3=0， y+2=0 ∴x=3，y=-2 ，
∴ .
【知识点】平方根；二次根式有意义的条件；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出x的值，然后再求出y的值，再进行运算即可得；（2）将式子 变形为 +（y+2）2 =0，然后利用非负数的性质求出x、y的值，然后代入进行运算即可得.
20．（2019八下·石泉月考）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.
（1）如图1，在4x4的方格中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数，且顶点都在格点上；
（2）如图2
, 直接写出:①△ABC的周长为 ；②△ABC的面积为 ;③AB边上的高为 .
【答案】（1）解：画三角形如图所示；
（2）；；
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】（2）解：①由图形可得：AB= ，
BC= ，
AC= ，
AB+BC+AC= ，
即△ABC的周长为 ，
故答案为 ；
②S△ABC=2×2- - - = ，
故答案为 ；
③AB边上的高： ，
故答案为 .
【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理定理可知所画三角形的三边长分别为3、4、5；（2）①根据勾股定理分别求出AB、BC、AC的长，即可得周长；②用最大的正方形的面积减去四周三个小三角形的面积即可得到△ABC的面积；③根据（2）中的面积以及AB的长利用三角形的面积公式即可得.
21．（2019八下·石泉月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6.
（1）求证：∠CDB＝90°；
（2）求AC的长.
【答案】（1）证明：∵BC＝10，CD＝8，BD＝6，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠CDB＝90°；
（2）解：∵AB＝AC，
∴设AC＝x，则AD＝x﹣6，
∴x2＝（x﹣6）2+82，
解得：x＝ ，
故AB＝AC＝ .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；（2）设AC＝x，由题意得到x2＝（x﹣6）2+82，计算即可得到答案.
22．（2019八下·石泉月考）如图，在等边△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=3∠CAD, BC=2.
（1）求△ABC的面积；
（2）求CD的值.
【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴BM=CM= BC=1，∠BAM=∠CAM=30°，
在Rt△CAM中，AM2+CM2=AC2 ，
∴AM 2+12=22 ，∴AM= ，
∴S△ABC= BC·AM = ×2× = ；
（2）解：∵∠BAD=3∠CAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠CAD= ∠BAC=15°，
∠MAD=∠MAC-∠DAC=15°，
∴AD平分∠MAC ，
过点D作DN⊥AC于N，则△ADM≌△AND，
∴DM=DN，AN=AM= ，
∴CN=AC-AB=2- ，
设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，
在Rt△CDN中，DN2+CN2=CD2 ，
x2+(2- )2=(1-x)2 ，解得：x=2 -3，
∴CD=1-x=4-2 .
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，根据已知可得BM=CM= BC=1，然后根据勾股定理求得AM的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）过点D作DN⊥AC于N，根据已知则可得到△ADM≌△AND，从而得DM=DN，AN=AM= ，继而得CN=AC-AB=2- ，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，利用勾股定理求得x即可得.
23．（2019八下·石泉月考）已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB=900，OA=AB，点A,B在第四象限.
（1）①如图1，若A（1，-3），则OA= ；
②求点B的坐标；
（2）如图2，AD⊥y轴于点D,M为OB的中点，求证： .
【答案】（1）；解：过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥AD于E， 则∠ODA=∠AEB= ，∠DOA=∠BAE，OA=AB， ∴△ADO≌△BEA（AAS）， ∴BE=AD=1，AE=OD=3， ∴DE=4， ∴B（4，-2）；
（2）证明：过B作BE⊥DA交DM的延长线于点F，
由（1）②可知：△ADO≌△BEA（AAS），
∴BE=AD，AE=OD，
∵OD//EF，∴∠ODM=∠F，
又∵∠OMD=∠BMF，OM=BM，
∴△MDO≌△MFB（AAS），
∴BF=OD=AE，DM=FM，
∴DE=FE，
∴DA+DO=DA+AE=DE= DF= DM.
【知识点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①因为O（0，0），A（1，-3），所以OA= ，
故答案为 ；
【分析】（1）①根据坐标平面内两点间的距离公式即可求得；②过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥AD于E，证明△ADO≌△BEA，根据全等三角形的性质即可求得；（2）过B作BE⊥DA交DM的延长线于点F，则可得BE=AD，AE=OD，再证明△MDO≌△MFB，从而有DE=FE，继而则可得.
24．（2019八下·石泉月考）已知△ABC是等边三角形.
（1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证AD=CE；
（2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13， DB= ，DC=7，试求∠BDC的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60° ，
∴∠ABD=∠EBC，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE；
（2）解：结论： DB2+DC2=DA2，
以BD为边作等边△BDE，连CE，
则BD=DE，∠BDE=60°，
由（1）可知△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE ，
又∠CDB=30°，∴∠CDE=90°，
∴CD2+DE2=CE2，
∴DB2+DC2=DA2 ；
（3）解：以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，
由（1）则可知△ABD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE=13，
设DH=x，
在Rt△DEH中：DE2—DH2=EH2，
即 ，
在Rt△CEH中：CE2—CH2=EH2，
，
∴ = ，
∴x=5 ， 即DH=5 ，
∴EH=5=DH，则∠EDH=45°，
∴∠CDB=180°—45°—60°=75°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可得；（2）以BD为边作等边△BDE，连CE， 由（1）可知△ABD≌△CBE，则有AD=CE ，根据∠CDE=90°，则有CD2+DE2=CE2，即可得到DB2+DC2=DA2 ；（3）以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，则有△ABD≌△CBE（AAS），从而得AD=CE=13，设DH=x，在Rt△DEH和Rt△CEH中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求得x的值，然后可得到EH=DH，从而有∠EDH=45°，继而可得到∠CDB的度数.
