黑龙江省哈尔滨市松雷中学2018-2019学年八年级下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2019八下·哈尔滨期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·哈尔滨期中）下列图形中，是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2019八上·句容期末）已知一次函数y=x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是
A．-2 B．-1 C．0 D．2
4．（2019八下·哈尔滨期中）如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．8 B．10 C．64 D．136
5．（2020八下·奉化期中）将方程x2－6x＋1＝0配方后，原方程变形（ ）
A．(x－3)2＝8 B．(x－3)2＝－8
C．(x－3)2＝9 D．(x－3)2＝－9
6．（2019八下·哈尔滨期中）下列四个命题中错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．有两边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 （在原点 上）、 、 的坐标分别如图所示，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八下·哈尔滨期中）如图，直线 与坐标轴相交于 ， 两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018八下·长沙期中）已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则函数y=kx﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FEGH，且点E落在AD上，连接BE，BG，交CE于点H，连接FH，若FH平分∠EFG，则下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2016八上·平阳期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
12．（2019八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中，若 与 的度数之比为 ，则 的度数为 ．
13．（2019八下·哈尔滨期中）如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．
14．（2019八下·哈尔滨期中）方程 是关于x的一元二次方程，则m= ．
15．（2019八下·哈尔滨期中）已知，函数 与 的图像交于点A，则点A的坐标为 ．
16．（2019八下·哈尔滨期中）菱形两邻角的比为 ，边长为2．则该菱形的面积为 ．
17．（2019八下·哈尔滨期中）如图，正方形ABCD中， ， ，则 的角度为 ．
18．（2019八下·哈尔滨期中）如图，矩形纸片ABCD中， ， ，折叠纸片使A的对应点E落在对角线BD上，折痕为DF，则AF的长为 ．
19．（2019八下·哈尔滨期中）在 中， ，以BC为斜边作等腰直角 ，连接DA，若 ， ，则DA的长为 ．
20．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在 中， ，点 在 上，连接 ，点 在 上，连接 ， ， ，若AB=5，则AC的长为 ．
三、解答题
21．（2019八下·哈尔滨期中）解下列方程：
（1）
（2）
22．（2019八下·哈尔滨期中）下图是两张相同的每个正方形边长均为1的方格纸，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上；
（1）在下图中画出以AB为一边的锐角等腰 ，点F在在小正方形的顶点上，且 的面积为10；
（2）在下图中画出以CD为对角线的矩形CGDH，且矩形CGDH的面积为10，G、H点都必须在小正方形的顶点上，并直接写出矩形 的周长为 ．
23．（2019八上·金水月考）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=4，CD=4 ，AD=2 ，求四边形ABCD的面积.
24．（2019八下·哈尔滨期中）如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，若 ， ，在不添加任何辅助的情况下，请直接写出图2中与四边形 面积相等的所有的平行四边形（四边形 除外）.
25．（2019八下·哈尔滨期中）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2016年底拥有家庭电动自行车125辆，2018年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率相同，按照这个增长速度该小区2019年底家庭电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定再建40个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个，考虑到实际因素，该小区计划投资费用不超过20000元，则该小区最多可建室内车位多少个？
26．（2019八下·哈尔滨期中）如图，四边形ABCD中， ，AC平分 ，BD平分 ．
（1）如下图，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如下图，点 为四边形 外一点，连接 、 、 ， 交 于点 ， ，求证： ；
（3）如下图，在（2）的条件下， ，点 为 上一点，连接 ，点 为 延长线上一点， ，连接 ， 为 上一点，连接 ，若 ，求 的值．
27．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点．直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ， ，垂足为 ，交 轴负半轴于点 ，且点 坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）点 为直线 右侧第一象限内一点，连接 、 ，将线段 绕点 顺时针旋转90°，得到线段 ，点 落在点 处，设点 的坐标为 ，求点 的坐标（用含 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，过点 作 垂直于 轴于点 ，交 于点 ，连接 ，点 为 延长线上一点，连接 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，求点 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正比例函数的定义
【解析】【解答】解：A、 是一次函数，故本选项不符合题意；
B、 是正比例函数，故本选项符合题意；
C、 是二次函数，故本选项不符合题意；
D、 当k=0时，不是正比例函数，是常数函数，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，共有3个轴对称图形.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
3．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到k＞0，b＞0，然后对选项进行判断．
【解答】∵一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b)．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
则字母B所代表的正方形的面积=CD2=AC2-AD2=100-36=64，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得：x2－6x＝-1，
配方得：x2－6x +9=-1+9，
即(x－3)2＝8，
故答案为：A
【分析】首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；
B、邻边相等的平行四边形才是菱形，故符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD AB=6，
∴CD=6，
∵D点的横坐标为1，
∴C点的横坐标为1+6=7，
∵AB∥CD，
∴D点和C点的纵坐标相等为3，
∴C点的坐标为（7，3）．
故答案为：C．
【分析】平行四边形的对边相等且互相平行，所以AB=CD，AB=6，D的横坐标为1，加上6为7，所以C的横坐标为7，因为CD∥AB，D的纵坐标和C的纵坐标相同为3．
8．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b交x轴于A（-2，0），
结合函数图形可知不等式kx+b＞0解集对应直线在x轴上方部分图象上点的横坐标的集合；
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞-2，
故答案为：D．
【分析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
9．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，一k>0，
∴一次函数y=kx-k的图像经过一、二、四象限
故答案为：D.
【分析】先根据正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论.
10．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，作BM⊥EC于M．
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠MEB，
∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，
∴△BEA≌△BEM（AAS），
∴AE=EM，AB=BM．
∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，
∴△BMH≌△GCH（AAS），
∴MH=CH，BH=HG，
∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③符合题意，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴2∠AEB+2∠ABE=180°，
∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，
∴∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC=2∠ABE，故②符合题意，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=45°，
∵∠FEH=90°，
∴AB=EF=EH，
∵EH＞HM=CH，
∴CH＜AB，故④不符合题意．
故答案为：C．
【分析】如图，作BM⊥EC于M．证明△BEA≌△BEM（AAS），△BMH≌△GCH（AAS），利用全等三角形的性质即可一一判断．
11．【答案】x≠2
【知识点】分式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
12．【答案】100°.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∠A，∠B的度数之比为5：4，
∴∠A=100°，∠B=80°，
∴∠C=∠A=100°
故答案为：100°
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等．
13．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4，
故答案为4.
【分析】根据中位线的性质定理，即可求解.
14．【答案】±1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴2|m|=2且m+2≠0
解得：m=±1
故答案为：±1．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，2|m|=2，求出即可．
15．【答案】（2，2）.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：联立y=-2x+6与y=3x-4得：
-2x+6=3x-4，解得：x=2，
y=-2x+6=-2×2+6=2，
故两图象的交点A坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）
【分析】联立y=-2x+6与y=3x-4即可求解．
16．【答案】2 .
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB于点E．
∵菱形ABCD的两个邻角∠A与∠B的比是1：3，
∴∠A=45°，而∠DEA=90°，
∴ 为等腰直角三角形.
∴AD= DE，
又∵AB=AD=2，
∴DE= = ，
∴菱形ABCD的面积=AB DE=2× =2 ，
故答案为：2 .
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，由两个邻角∠A与∠B的比是1：3，可求得∠A=45°，然后由等腰直角三角形的三边关系，求得DE的长，继而求得这个菱形的面积．
17．【答案】55°
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：过点N作NH⊥BC交BC于H，
∴∠NHM=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠A=∠B=90°，
∴∠NHM=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHN为矩形，
∴AB=NH，
∴BC=NH，
在 和 中
,
∴ (HL)
∴∠MCE=∠MNH∴
又∵∠MNH+∠ANM=90°，
∴∠ANM=90°-∠MCE，而 ，
∴∠ANM=90°-35°=55°
故答案为：55°
【分析】过点N作NH⊥BC交BC于H，根据直角三角形的HL判定方法证明 ，从而得到∠MCE=∠MNH，而∠MNH+∠ANM=90°，所以∠ANM=90°-∠MCE=90°-35°=55°
18．【答案】 .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=4，AD=3，
∴BD= ，
∵△DFE是由△DFA翻折得到，
∴DE=AD=3，BE=2，设AF=EF=x，
在Rt△BEF中，∵FB2=EF2+BE2，
∴（4-x）2=x2+22，
∴x= ，
∴AF= ，
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求出BD，设AF=EF=x，则由折叠的性质有BF=4-x,BE=2，在Rt△BEF中，由EB2=EF2+BF2，列出方程即可解决问题．
19．【答案】6或2.
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=2 ，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=4 +2 =6
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（6 ）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=2 ，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=4 -2 =2
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【分析】由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
20．【答案】5.
【知识点】三角形的外角性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设∠DEB=∠ACD=x，∠ECB=y，则∠DBE=2y，∠EBC=∠DEB-∠ECB=x-y，
又∵ ，
∴∠DBE+∠EBC=45°，
∴2y+x-y=45°，
即x+y=45°，
∴∠ACD+∠ECB=45°，
即∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB=5，
【分析】设∠DEB=∠ACD=x，∠ECB=y，根据已知条件，推导出∠ABC=x+y=45° ，而x+y=
∠ACD+∠ECB=∠ACB，从而得到∠ACB=∠ABC，进而有AC=AB=5，问题得解.
21．【答案】（1）
∴ 或
（2）
∴
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）移项后，提取公因式3，将左边因式分解，据此进一步求解可得；
22．【答案】（1）△ABF即为所求；
（2）矩形CGDH即为所求；矩形CGDH的周长=2（ ）= ．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【分析】（1）作AF=AB=5即可；（2）以 为边构造矩形即可，再利用勾股定理即可解决问题；
23．【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，AB=2，BC=4，
∴AC= ，
∵CD=4 ，AD=2 ，
∴(2 )2+(4 )2＝(2 )2，
∴AC2+CD2=AD2.，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积= ×2×4+ ×2 ×4 ＝4+4
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 连接AC，如图所示： 首先根据勾股定理算出AC的长，再根据勾股定理判断出 △ACD是直角三角形， 且∠ACD是直角，然后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积即可算出答案.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△OAE与△OCF中，
∴△OAE≌△OCF，
∴OE=OF，
同理OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有 GBCH， ABFE， EFCD， EGFH；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD，
∵EF∥AB,GH∥BC，
∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，
∵EF过点O，GH过点O，
∵OE=OF，OG=OH，
∴ GBCH, ABFE, EFCD, EGFH, ACHD它们面积= ABCD的面积，
∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有 GBCH， ABFE， EFCD， EGFH.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论．
25．【答案】（1）设该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率为x，
依题意，得：125（1+x）2=180，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
∴180×（1+x）=180×（1+20%）=216．
答：按照这个增长速度该小区2019年底家庭电动自行车将达到216辆．
（2）设该小区可建室内车位m个，则可建露天车位（40-m）个，
依题意，得：1000m+200（40-m）≤20000，
解得：m≤15．
答：该小区最多可建室内车位15个．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率为x，根据该小区2016年底及2018年底家庭电动自行车的拥有量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再将其代入180（1+x）中即可求出结论；（2）设该小区可建室内车位m个，则可建露天车位（40-m）个，根据总价=单价×数量结合投资费用不超过20000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
26．【答案】（1）证明：如图1中，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠ADB=∠DBC，
∴∠CAB=∠ACB，
∴AB=CB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）证明：如图2中，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠AFC=2∠AEC-∠BAC，
∴∠AFC+∠ACB=2∠AEC，
∵∠CAF+∠AFC+∠ACB=180°，∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，
∴∠AFC+∠ACB=∠AEC+∠ACE=2∠AEC，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AE=AC．
（3）解：如图3中，作KJ⊥BA交BA水电延长线于J，CI⊥AB于I，设BD交AC于O．
∵AB=AE=AC，
∴△BCE的外接圆的圆心为A，
∵∠BEC=150°，
∴∠EBC+∠BCE=30°，
∵∠EAC=2∠EBC，∠EAB=2∠BCE，
∴∠BAC=2（∠EBC+∠BCE）=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，BO⊥AC，CJ⊥AB，
∴BO=CJ，
∵S△BCG= BG CI，S△ABK= AK BO，
∵BG=AK，CI=BO，
∴S△BCG=S△ABK，
∴S△BCG-S△AKH=S△ABK-S△AKH=S△BHK= BH KJ，
在Rt△AKJ中，∵∠KAJ=∠BAC=60°，
∴KJ=AK sin60°= AK= BG，
∴S△BCG-S△AKH= BH KJ= BH BG= BH BG= ×24=6 ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）首先证明AB=BC，AB=AD，推出AD=BC，可证四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．（2）欲证明AE=AC，只要证明∠ACE=∠AEC即可．（3）如图3中，作KJ⊥BA交BA的延长线于J，CI⊥AB于I，设BD交AC于O．首先证明△ABC是等边三角形，易知BO⊥AC，CJ⊥AB，推出BO=CJ，因为S△BCG= BG CI，S△ABK= AK BO，由BG=AK，CI=BO，推出S△BCG=S△ABK，推出S△BCG-S△AKH=S△ABK-S△AKH=S△BHK= BH KJ，再证明JK= AK= BG即可解决问题。
27．【答案】（1）由题意可知B（4，0），C（0，4），
∴CO=BO，
∴∠CBO=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAO=45°，
∵A（-2，0），
∴AD的直线解析式为y=x+2；
（2）如图，过点P作x轴、y轴垂线，相交于点M，过点Q作y轴垂线，交于点N，
∵∠PCQ=90°，∠MCN=90°，
∴∠MCP=∠NCQ，
∵CP=CQ，∠CNQ=∠CMP=90°，
∴△CQN≌△DMP（AAS），
∴QN=MP，CM=CN
∵P的坐标为（m，- m2+m+4），
∴CM=m，MP=4-（- m2+m+4）= m2-m，
∴Q（- m2+m，4-m）；
（3）如图，
∵PH垂直于x轴，
∴G点横坐标为m，
∵G点在直线BC上，
∴G（m，4-m），
∵QG=GF，
∴ m2=4-m-yF，
∴F（m，4-m- m2）
∴CF所在直线解析式为y=-（1+ m）x+4，
∴E（ ，4-m），
过点E作ET垂直x轴，过点G作GS垂直PH，交PB于点S，
∴ET=4-m，HB=4-m，
∴ET=HB，
∵BE=BP，
∴△ETB≌△HBP（HL），
∴∠EBT=∠BPH，
∵QG∥OB，
∴∠EBT=∠GEB，
∴∠GEB=∠BPG，
∠EGB=∠PGB=90°+45°=135°，
∴△EGB≌△PGB（AAS），
∴EG=PG，
∴m- =- m2+m+4-（4-m），
∴m=± ，
∵P为直线BC右侧第一象限内一点，
∴m= ，
∴P（ ， ）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由已知可得∠DAO=45°，进而得到AD直线的k=1，将点A（-2，0）代入即可；
（2）过点P作x轴、y轴垂线，相交于点M，过点Q作y轴垂线，交于点N，由已知条件可证明△CQN≌△DMP（AAS），所以有QN=MP，CM=CN，即可求Q点坐标；
（3）由题意可求G（m，4-m），因此GQ与y轴垂直，由QG=GF，可求F（m，4-m- m2），求出CF所在直线解析式为y=-（1+ m）x+4，确定点E（ ，4-m）；过点E作ET垂直x轴，过点G作GS垂直PH，交PB于点S，可证明△ETB≌△HBP（HL），由平行的性质和等腰直角三角形的性质可知∠EGB=∠PGB=90°+45°=135°，得到△EGB≌△PGB（AAS），故有EG=PG，将点的坐标代入有m- =- m2+m+4-（4-m），求出m即可．
黑龙江省哈尔滨市松雷中学2018-2019学年八年级下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2019八下·哈尔滨期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的定义
【解析】【解答】解：A、 是一次函数，故本选项不符合题意；
B、 是正比例函数，故本选项符合题意；
C、 是二次函数，故本选项不符合题意；
D、 当k=0时，不是正比例函数，是常数函数，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
2．（2019八下·哈尔滨期中）下列图形中，是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，共有3个轴对称图形.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
3．（2019八上·句容期末）已知一次函数y=x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到k＞0，b＞0，然后对选项进行判断．
【解答】∵一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b)．
4．（2019八下·哈尔滨期中）如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．8 B．10 C．64 D．136
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
则字母B所代表的正方形的面积=CD2=AC2-AD2=100-36=64，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
5．（2020八下·奉化期中）将方程x2－6x＋1＝0配方后，原方程变形（ ）
A．(x－3)2＝8 B．(x－3)2＝－8
C．(x－3)2＝9 D．(x－3)2＝－9
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得：x2－6x＝-1，
配方得：x2－6x +9=-1+9，
即(x－3)2＝8，
故答案为：A
【分析】首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式.
6．（2019八下·哈尔滨期中）下列四个命题中错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．有两边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；
B、邻边相等的平行四边形才是菱形，故符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
7．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 （在原点 上）、 、 的坐标分别如图所示，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD AB=6，
∴CD=6，
∵D点的横坐标为1，
∴C点的横坐标为1+6=7，
∵AB∥CD，
∴D点和C点的纵坐标相等为3，
∴C点的坐标为（7，3）．
故答案为：C．
【分析】平行四边形的对边相等且互相平行，所以AB=CD，AB=6，D的横坐标为1，加上6为7，所以C的横坐标为7，因为CD∥AB，D的纵坐标和C的纵坐标相同为3．
8．（2019八下·哈尔滨期中）如图，直线 与坐标轴相交于 ， 两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b交x轴于A（-2，0），
结合函数图形可知不等式kx+b＞0解集对应直线在x轴上方部分图象上点的横坐标的集合；
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞-2，
故答案为：D．
【分析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
9．（2018八下·长沙期中）已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则函数y=kx﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，一k>0，
∴一次函数y=kx-k的图像经过一、二、四象限
故答案为：D.
【分析】先根据正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论.
10．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FEGH，且点E落在AD上，连接BE，BG，交CE于点H，连接FH，若FH平分∠EFG，则下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，作BM⊥EC于M．
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠MEB，
∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，
∴△BEA≌△BEM（AAS），
∴AE=EM，AB=BM．
∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，
∴△BMH≌△GCH（AAS），
∴MH=CH，BH=HG，
∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③符合题意，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴2∠AEB+2∠ABE=180°，
∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，
∴∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC=2∠ABE，故②符合题意，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=45°，
∵∠FEH=90°，
∴AB=EF=EH，
∵EH＞HM=CH，
∴CH＜AB，故④不符合题意．
故答案为：C．
【分析】如图，作BM⊥EC于M．证明△BEA≌△BEM（AAS），△BMH≌△GCH（AAS），利用全等三角形的性质即可一一判断．
二、填空题
11．（2016八上·平阳期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠2
【知识点】分式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
12．（2019八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中，若 与 的度数之比为 ，则 的度数为 ．
【答案】100°.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∠A，∠B的度数之比为5：4，
∴∠A=100°，∠B=80°，
∴∠C=∠A=100°
故答案为：100°
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等．
13．（2019八下·哈尔滨期中）如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4，
故答案为4.
【分析】根据中位线的性质定理，即可求解.
14．（2019八下·哈尔滨期中）方程 是关于x的一元二次方程，则m= ．
【答案】±1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴2|m|=2且m+2≠0
解得：m=±1
故答案为：±1．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，2|m|=2，求出即可．
15．（2019八下·哈尔滨期中）已知，函数 与 的图像交于点A，则点A的坐标为 ．
【答案】（2，2）.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：联立y=-2x+6与y=3x-4得：
-2x+6=3x-4，解得：x=2，
y=-2x+6=-2×2+6=2，
故两图象的交点A坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）
【分析】联立y=-2x+6与y=3x-4即可求解．
16．（2019八下·哈尔滨期中）菱形两邻角的比为 ，边长为2．则该菱形的面积为 ．
【答案】2 .
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB于点E．
∵菱形ABCD的两个邻角∠A与∠B的比是1：3，
∴∠A=45°，而∠DEA=90°，
∴ 为等腰直角三角形.
∴AD= DE，
又∵AB=AD=2，
∴DE= = ，
∴菱形ABCD的面积=AB DE=2× =2 ，
故答案为：2 .
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，由两个邻角∠A与∠B的比是1：3，可求得∠A=45°，然后由等腰直角三角形的三边关系，求得DE的长，继而求得这个菱形的面积．
17．（2019八下·哈尔滨期中）如图，正方形ABCD中， ， ，则 的角度为 ．
【答案】55°
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：过点N作NH⊥BC交BC于H，
∴∠NHM=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠A=∠B=90°，
∴∠NHM=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHN为矩形，
∴AB=NH，
∴BC=NH，
在 和 中
,
∴ (HL)
∴∠MCE=∠MNH∴
又∵∠MNH+∠ANM=90°，
∴∠ANM=90°-∠MCE，而 ，
∴∠ANM=90°-35°=55°
故答案为：55°
【分析】过点N作NH⊥BC交BC于H，根据直角三角形的HL判定方法证明 ，从而得到∠MCE=∠MNH，而∠MNH+∠ANM=90°，所以∠ANM=90°-∠MCE=90°-35°=55°
18．（2019八下·哈尔滨期中）如图，矩形纸片ABCD中， ， ，折叠纸片使A的对应点E落在对角线BD上，折痕为DF，则AF的长为 ．
【答案】 .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=4，AD=3，
∴BD= ，
∵△DFE是由△DFA翻折得到，
∴DE=AD=3，BE=2，设AF=EF=x，
在Rt△BEF中，∵FB2=EF2+BE2，
∴（4-x）2=x2+22，
∴x= ，
∴AF= ，
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求出BD，设AF=EF=x，则由折叠的性质有BF=4-x,BE=2，在Rt△BEF中，由EB2=EF2+BF2，列出方程即可解决问题．
19．（2019八下·哈尔滨期中）在 中， ，以BC为斜边作等腰直角 ，连接DA，若 ， ，则DA的长为 ．
【答案】6或2.
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=2 ，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=4 +2 =6
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（6 ）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=2 ，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=4 -2 =2
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【分析】由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
20．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在 中， ，点 在 上，连接 ，点 在 上，连接 ， ， ，若AB=5，则AC的长为 ．
【答案】5.
【知识点】三角形的外角性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设∠DEB=∠ACD=x，∠ECB=y，则∠DBE=2y，∠EBC=∠DEB-∠ECB=x-y，
又∵ ，
∴∠DBE+∠EBC=45°，
∴2y+x-y=45°，
即x+y=45°，
∴∠ACD+∠ECB=45°，
即∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB=5，
【分析】设∠DEB=∠ACD=x，∠ECB=y，根据已知条件，推导出∠ABC=x+y=45° ，而x+y=
∠ACD+∠ECB=∠ACB，从而得到∠ACB=∠ABC，进而有AC=AB=5，问题得解.
三、解答题
21．（2019八下·哈尔滨期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
∴ 或
（2）
∴
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）移项后，提取公因式3，将左边因式分解，据此进一步求解可得；
22．（2019八下·哈尔滨期中）下图是两张相同的每个正方形边长均为1的方格纸，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上；
（1）在下图中画出以AB为一边的锐角等腰 ，点F在在小正方形的顶点上，且 的面积为10；
（2）在下图中画出以CD为对角线的矩形CGDH，且矩形CGDH的面积为10，G、H点都必须在小正方形的顶点上，并直接写出矩形 的周长为 ．
【答案】（1）△ABF即为所求；
（2）矩形CGDH即为所求；矩形CGDH的周长=2（ ）= ．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【分析】（1）作AF=AB=5即可；（2）以 为边构造矩形即可，再利用勾股定理即可解决问题；
23．（2019八上·金水月考）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，BC=4，CD=4 ，AD=2 ，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，AB=2，BC=4，
∴AC= ，
∵CD=4 ，AD=2 ，
∴(2 )2+(4 )2＝(2 )2，
∴AC2+CD2=AD2.，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积= ×2×4+ ×2 ×4 ＝4+4
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 连接AC，如图所示： 首先根据勾股定理算出AC的长，再根据勾股定理判断出 △ACD是直角三角形， 且∠ACD是直角，然后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积即可算出答案.
24．（2019八下·哈尔滨期中）如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，若 ， ，在不添加任何辅助的情况下，请直接写出图2中与四边形 面积相等的所有的平行四边形（四边形 除外）.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△OAE与△OCF中，
∴△OAE≌△OCF，
∴OE=OF，
同理OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有 GBCH， ABFE， EFCD， EGFH；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD，
∵EF∥AB,GH∥BC，
∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，
∵EF过点O，GH过点O，
∵OE=OF，OG=OH，
∴ GBCH, ABFE, EFCD, EGFH, ACHD它们面积= ABCD的面积，
∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有 GBCH， ABFE， EFCD， EGFH.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论．
25．（2019八下·哈尔滨期中）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2016年底拥有家庭电动自行车125辆，2018年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率相同，按照这个增长速度该小区2019年底家庭电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定再建40个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个，考虑到实际因素，该小区计划投资费用不超过20000元，则该小区最多可建室内车位多少个？
【答案】（1）设该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率为x，
依题意，得：125（1+x）2=180，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
∴180×（1+x）=180×（1+20%）=216．
答：按照这个增长速度该小区2019年底家庭电动自行车将达到216辆．
（2）设该小区可建室内车位m个，则可建露天车位（40-m）个，
依题意，得：1000m+200（40-m）≤20000，
解得：m≤15．
答：该小区最多可建室内车位15个．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率为x，根据该小区2016年底及2018年底家庭电动自行车的拥有量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再将其代入180（1+x）中即可求出结论；（2）设该小区可建室内车位m个，则可建露天车位（40-m）个，根据总价=单价×数量结合投资费用不超过20000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
26．（2019八下·哈尔滨期中）如图，四边形ABCD中， ，AC平分 ，BD平分 ．
（1）如下图，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如下图，点 为四边形 外一点，连接 、 、 ， 交 于点 ， ，求证： ；
（3）如下图，在（2）的条件下， ，点 为 上一点，连接 ，点 为 延长线上一点， ，连接 ， 为 上一点，连接 ，若 ，求 的值．
【答案】（1）证明：如图1中，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠ADB=∠DBC，
∴∠CAB=∠ACB，
∴AB=CB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）证明：如图2中，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠AFC=2∠AEC-∠BAC，
∴∠AFC+∠ACB=2∠AEC，
∵∠CAF+∠AFC+∠ACB=180°，∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，
∴∠AFC+∠ACB=∠AEC+∠ACE=2∠AEC，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AE=AC．
（3）解：如图3中，作KJ⊥BA交BA水电延长线于J，CI⊥AB于I，设BD交AC于O．
∵AB=AE=AC，
∴△BCE的外接圆的圆心为A，
∵∠BEC=150°，
∴∠EBC+∠BCE=30°，
∵∠EAC=2∠EBC，∠EAB=2∠BCE，
∴∠BAC=2（∠EBC+∠BCE）=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，BO⊥AC，CJ⊥AB，
∴BO=CJ，
∵S△BCG= BG CI，S△ABK= AK BO，
∵BG=AK，CI=BO，
∴S△BCG=S△ABK，
∴S△BCG-S△AKH=S△ABK-S△AKH=S△BHK= BH KJ，
在Rt△AKJ中，∵∠KAJ=∠BAC=60°，
∴KJ=AK sin60°= AK= BG，
∴S△BCG-S△AKH= BH KJ= BH BG= BH BG= ×24=6 ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）首先证明AB=BC，AB=AD，推出AD=BC，可证四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．（2）欲证明AE=AC，只要证明∠ACE=∠AEC即可．（3）如图3中，作KJ⊥BA交BA的延长线于J，CI⊥AB于I，设BD交AC于O．首先证明△ABC是等边三角形，易知BO⊥AC，CJ⊥AB，推出BO=CJ，因为S△BCG= BG CI，S△ABK= AK BO，由BG=AK，CI=BO，推出S△BCG=S△ABK，推出S△BCG-S△AKH=S△ABK-S△AKH=S△BHK= BH KJ，再证明JK= AK= BG即可解决问题。
27．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点．直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ， ，垂足为 ，交 轴负半轴于点 ，且点 坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）点 为直线 右侧第一象限内一点，连接 、 ，将线段 绕点 顺时针旋转90°，得到线段 ，点 落在点 处，设点 的坐标为 ，求点 的坐标（用含 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，过点 作 垂直于 轴于点 ，交 于点 ，连接 ，点 为 延长线上一点，连接 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，求点 的坐标．
【答案】（1）由题意可知B（4，0），C（0，4），
∴CO=BO，
∴∠CBO=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAO=45°，
∵A（-2，0），
∴AD的直线解析式为y=x+2；
（2）如图，过点P作x轴、y轴垂线，相交于点M，过点Q作y轴垂线，交于点N，
∵∠PCQ=90°，∠MCN=90°，
∴∠MCP=∠NCQ，
∵CP=CQ，∠CNQ=∠CMP=90°，
∴△CQN≌△DMP（AAS），
∴QN=MP，CM=CN
∵P的坐标为（m，- m2+m+4），
∴CM=m，MP=4-（- m2+m+4）= m2-m，
∴Q（- m2+m，4-m）；
（3）如图，
∵PH垂直于x轴，
∴G点横坐标为m，
∵G点在直线BC上，
∴G（m，4-m），
∵QG=GF，
∴ m2=4-m-yF，
∴F（m，4-m- m2）
∴CF所在直线解析式为y=-（1+ m）x+4，
∴E（ ，4-m），
过点E作ET垂直x轴，过点G作GS垂直PH，交PB于点S，
∴ET=4-m，HB=4-m，
∴ET=HB，
∵BE=BP，
∴△ETB≌△HBP（HL），
∴∠EBT=∠BPH，
∵QG∥OB，
∴∠EBT=∠GEB，
∴∠GEB=∠BPG，
∠EGB=∠PGB=90°+45°=135°，
∴△EGB≌△PGB（AAS），
∴EG=PG，
∴m- =- m2+m+4-（4-m），
∴m=± ，
∵P为直线BC右侧第一象限内一点，
∴m= ，
∴P（ ， ）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由已知可得∠DAO=45°，进而得到AD直线的k=1，将点A（-2，0）代入即可；
（2）过点P作x轴、y轴垂线，相交于点M，过点Q作y轴垂线，交于点N，由已知条件可证明△CQN≌△DMP（AAS），所以有QN=MP，CM=CN，即可求Q点坐标；
（3）由题意可求G（m，4-m），因此GQ与y轴垂直，由QG=GF，可求F（m，4-m- m2），求出CF所在直线解析式为y=-（1+ m）x+4，确定点E（ ，4-m）；过点E作ET垂直x轴，过点G作GS垂直PH，交PB于点S，可证明△ETB≌△HBP（HL），由平行的性质和等腰直角三角形的性质可知∠EGB=∠PGB=90°+45°=135°，得到△EGB≌△PGB（AAS），故有EG=PG，将点的坐标代入有m- =- m2+m+4-（4-m），求出m即可．
