陕西省西安市航天中学2020年九年级下学期数学第一次月考试卷
一、选择题(本大题共10小题，共30分)
1．（2020九下·西安月考）下列各数中比-1小的数是（ ）
A．-2 B．-1 C． D．1
2．（2020九下·西安月考）如图是一空心圆柱，其主视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九下·西安月考）如图AB//CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC=42°，则∠AFE的度数为（ ）
A．42° B．65° C．69° D．71°
4．（2020九下·西安月考）已知正比例函数 的图象经过点(1，-3)，则此正比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九下·西安月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020九下·西安月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，AE=3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2020九下·西安月考）直线 向右平移得到 ，平移了（ ）个单位长度.
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．（2020九下·西安月考）如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于（ ）
A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3
9．（2020九下·西安月考）如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD= ，连接AC，OD，若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（ ）
A． B．4 C． D．2
10．（2020九下·西安月考）已知二次函数 的图象经过点 、 和 ，若 ，则（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
二、填空题(本大题共4小题，共12分)
11．（2020九下·西安月考）分解因式： .
12．（2013·遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．
13．（2020九下·西安月考）如图， 和 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数 在第一象限的图象经过点B，则 和 的面积之差为 .
14．（2020九下·西安月考）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足 ，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为 .
三、解答题(共11小题，计78分.)
15．（2020九下·西安月考）计算：
16．（2020九下·西安月考）解分式方程： .
17．（2020九下·西安月考）如图，在 中，∠BAC= 90°，在边AC上求作一点P，使得点P到斜边BC的距离等于AP的长. (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
18．（2020九下·西安月考）如图，已知AB//DE，AC=DF，∠CFB=∠FCE.
求证： AB = DE.
19．（2017·泰州模拟）西安市2016年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．
试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的学生有 分，并补全条形统计图．
（2）样本中，测试成绩的中位数是 分，众数是 分．
（3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．
20．（2020九下·西安月考）
小明学校门前有座山，山上有一电线杆PQ，他很想知道电线杆PQ的高度.于是，有一天，小明和他的同学小亮带着测角器和皮尺来到山下进行测量，测量方案如下：如图，首先，小明站在地面上的点A处，测得电线杆顶端点P的仰角是45°；然后小明向前走6米到达点B处，测得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分则是60°和30°，设小明的眼睛到地面的距离为1.6米，请根据以上测量的数据，计算电线杆PQ的高度(结果精确到1米，参考数据 =1.7， = 1.4).
21．（2020九下·西安月考）甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x（）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲.地的距离y(km)与时间x（）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.
22．（2020九下·西安月考）车辆经过润扬大桥收费站时，有A、B、C、D四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可能性相同，车辆可随机选择一个通过.
（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为 ；
（2）两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求选择不同通道通过的概率.
23．（2020九下·西安月考）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的 与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.
（1）证明： DF是 的切线；
（2）若AC= 3AE，FC= 6，求AF的长.
24．（2020九下·西安月考）如图，已知抛物线 经过 ， ， 三点.
（1）
求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）
E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似 若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（2020九下·西安月考）如图
（1）问题提出：如图1，在四边形ABCD中，AB= BC，AD=
CD=3，∠BAD=∠BCD = 90°，∠ADC= 60°，则四边形ABCD的面积为 .
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，∠ABC=135°，AB= ，BC=3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得 的周长最小，并求出△BEF的最小周长；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：A、-2＜-1，故A不符合题意；
B、-1=-1，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、1＞-1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将各选项中的数与-1比较大小，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵几何体是空心的圆柱，
∴此几何体的主视图为C.
故答案为：C
【分析】抓住已知条件：几何体是空心的圆柱，由此可得圆柱的主视图是矩形，里面有两条母线要用虚线表示，观察各选项可得答案。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠AED=180°-∠AEC=180°-42°=138°
∵EF平分∠AED
∴∠DEF=∠AED=×138°=69°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠DEF=69°.
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的定义可求出∠AED的度数，再利用角平分线的定义求出∠DEF的度数，然后利用两直线平行，内错角相等，就可求出∠AFE的度数。
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：将点（1，-3）代入y=kx得
k=-3.
∴此正比例函数的解析式为：y=-3x.
故答案为：B.
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于k的方程，解方程求出k的值。
5．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，故A不符合题意；
B、（-b2）3=-b6，故B符合题意；
C、2x·2x2=4x3，故C不符合题意；
D、（m-n）2=m2-2mn+n2，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项的法则可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；利用单项式乘以单项式的法则，可对C作出判断；利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可对D作出判断。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB.
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
在Rt△ADE中，
解之：AD=5；
∴AB=5
∴BE=AB-AE=5-3=2.
在Rt△AED中，.
在Rt△BED中，.
故答案为：B.
【分析】利用菱形的四边相等，可证得AD=AB，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AD的长，从而可求出BE的长，利用勾股定理求出DE的长，然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBE的值。
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设将直线y=2x+1向右移m个单位得到y=2x-1.
∴2（x-a）+1=2x-1
解之：a=1.
故答案为：C.
【分析】利用一次函数图象平移规律：左加右减，上加下减，因此设将直线y=2x+1向右移m个单位得到y=2x-1，可得到方程，解方程求出a的值。
8．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图
∵将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，
∴∠A=∠ENH=∠D=∠GMF=90°，∠AEH=∠HEN，∠NEF=∠BEF，AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM
∴AB=2EN
∵∠AEH+∠HEN+∠NEF+∠BEF=180°，
∴∠HEF=90°，
同理可证∠EFG=∠HGF=90°
∴四边形EHGF是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG
∴∠EHN=∠MFG
在△HEN和△FGM中
∴△HEN≌△FGM（AAS）
∴HN=FM=AH
HF=HN+MN+FM=AH+MN+HN=AH+HM=AH+HD=AD
在Rt△HEF中，EH=3，EF=4
∴
∴AD=5；
∵
∴5EN=3×4
解之：
∴
∴，
∴AD：AB=25：24.
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质，易证AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM，∠HEF=∠EFG=∠HGF=90°，利用矩形的判定定理可证得四边形EHGF是矩形，利用矩形的性质可得到EH=FG，EH∥FG，从而可推出∠EHN=∠MFG，再利用AAS证明△HEN≌△FGM，利用全等三角形的对应边相等，可得到HN=FM=AH，继而可以推出AD=HF，利用勾股定理可得到AD的长；然后利用直角三角形的两个面积公式求出EN的长，即可得到AB的长，再求出AD与AB的比值即可。
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵直径AB平分弦CD于点E，
∴AB⊥CD，
∴，，
∴∠BOD=2∠A；
∵∠A与∠BOD互余，
∴∠A+∠BOD=90°即∠A+2∠A=90°
解之：∠A=30°
∴∠BOD=60°，∠ODE=30°
在Rt△BOE中，
OE=DEtan∠ODE=；
∴OD=OB=2OE=4
∴BE=OB-OE=4-2=2.
故答案为：D.
【分析】利用垂径定理的推论可得到AB⊥CD，利用垂径定理可求出DE的长，利用圆周角定理可得到∠BOD=2∠A；再由已知条件建立关于∠A的方程解方程求出∠A的度数，由此可得到∠D，∠DOB的度数，然后利用解直角三角形求出OD，OE的长，继而可求出BE的长。
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（0，m），（4，m）
∴对称轴为直线x=，
∴
∴4a+b=0，故C。D错误；
∵图像经过（1，n）
∴当x=1时，y=n，
∵n＜m
∴抛物线的开口向上，
∴a＞0且4a+b=0，故B不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】由图像经过点（0，m），（4，m），可知这两点为抛物线的对称点，就可求出抛物线 的对称轴，由此可得到a，b的数量关系，再由图像经过（1，n）且n＜m，就可得到抛物线的开口方向，从而可求出a的取值范围，即可求解。
11．【答案】x（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）.
故答案为：x（x+y）（x-y）.
【分析】观察多项式的特点：含有两项，两项的符号相反，且含有公因式x；由此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．【答案】9
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC= =10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= cm，AF= AD= BC=4cm，AE= AO= AC= cm，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．
故答案为：9．
【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
13．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵△AOC和△ABD都是等腰直角三角形，
∴AC=OC，AD=BD，
设AC=OC=m，AD=BD=n，
∴点B（m+n，m-n）
∵点B在反比例函数图象上，
∴（m+n）（m-n）=m2-n2=6
∵S△OAC-S△BAD=.
故答案为：3.
【分析】利用等腰直角三角形的性质，可证得AC=OC，AD=BD，设两直角三角形的直角边分别为m，n，就可得到点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上，就可得到m2-n2的值，然后利用三角形的面积公式就可求出两三角形的面积之差。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】∵动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，AB=5，AD=3，设△APB的AB边上的高为h，
∴
∴，
解之：h=2.
∴点P在与AB平行且距AB的距离为2的直线上运动，
作直线m∥AB，且m与AB的距离为2，作点A关于直线m的对称点A＇，连接BA＇交直线于点P，
∴A＇P=AP，
∴PA+PB=A＇P+PB=A＇B，根据两点之间线段最短，可知此时PA+PB的最小值就是A＇B的长.
∴AA＇=2×2=4
在Rt△A＇BA中
，
∴PA+PB的最小值就是.
故答案为：.
【分析】设△APB的AB边上的高为h，利用三角形的面积公式及矩形的面积公式就可求出h的值，由此可知点P在与AB平行且距AB的距离为2的直线上运动，作直线m∥AB，且m与AB的距离为2，作点A关于直线m的对称点A＇，连接BA＇交直线于点P，利用轴对称的性质及两点之间线段最短，可得到PA+PB的最小值就是A＇B的长，然后利用勾股定理求出A＇B的长，即可解答此题。
15．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，同时代入特殊角的三角函数值，再化简绝对值，然后合并即可。
16．【答案】解：将原方程转化为
方程两边同时乘以（x-3）得
3-（x-3）=-1
3-x+3=-1
解之：x=7
经检验x=7是原方程的解,
∴原方程的解为x=7.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将原方程进行转化，再在方程两边同时乘以最简公分母（x-3）,（左边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可。
17．【答案】解：如图
点P就是所求作的点.
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知只需作出∠ABC的角平分线交AC于点P即可。
18．【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D；
∵AC=DF，
∴AC-FC=DF-FC，即AF=DC；
∵∠CFB=∠FCE，∠CFB+∠AFB=180°，∠FCE+∠ECD=180°，
∴∠AFB=∠ECD；
在△ABF和△DEC中
∴△ABF≌△DEC（ASA）
∴AB=DE.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，可知∠A=∠D；利用等式的性质可得到AF=DC；利用补角的性质可证得∠AFB=∠ECD；再利用ASA易证△ABF≌△DEC，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
19．【答案】（1）14解：补全统计图如下：
（2）98；100
（3）解：∵2000× =800，
∴估计该校九年级中考综合速度测试将有800名学生可以获得满分．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%=50人，
则成绩为98分的人数为50﹣（20+10+4+2）=14（人），
补全统计图如下：
故答案为：14；
⑵次测试成绩的中位数为 =98分，众数100分，
故答案为：98，100；
【分析】（1）先观察两个统计图，根据成绩为96分的人数及百分比求出总人数，就可以得到成绩为98的人数。
（2）根据中位数和众数的定义可得结果。注意：求中位数要先排序，再找中位数。
（3）根据样本中成绩为100分所占百分比乘以该校九年级的总人数即可。
20．【答案】解：由题意得：∠PCH=45°，∠PDH=60°，∠QDH=30°，CD=AB=6，AC=BD=NH=1.6米在Rt△PCH中，∠PCH=45°∴△ACH是等腰直角三角形，∴PH=CH在Rt△DQH中，∠QDH=30°，设QH=x，∴∠DQH=90°-30°=60°，∴DH=QHtan∠DQH=QHtan60°=∴CH=CD+DH=6+；在Rt△DHP中，∠PDH=60°∴PH=DHtan∠PDH=DHtan60°=;∴3x=6+解之：∴PQ=PH-QH=3x-x=2x=.答：电线杆PQ的高度为9米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可得到相关线段的长及角的度数，可证得△ACH是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可得到PH=CH，设QH=x，再在Rt△DQH和Rt△DHP中，利用解直角三角形，分别用含x的代数式表示出PH，CH的长，然后建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可求出PQ的长
21．【答案】（1）0.5
（2）解：∵点D（2.5，80），点E（4.5，300）
∴设线段CD的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴线段CD的函数解析式为y=110x-195.
（3）设线段OA的解析式为y=mx
∵点A（5，300）
∴5m=300
解之：m=60
∴y=60x
∴
解之：
∴轿车从甲地出发后追上货车的时间为：3.9-1=2.9小时.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由图像可知线段CD表示轿车在途中停留的时间，
∴轿车在途中停留的时间为：2.5-2=0.5小时；
故答案为：0.5.
【分析】（1）观察图像可知CD∥x轴，就可求出轿车在途中停留的时间。
（2）观察函数图象可得到点D，E的坐标，再设线段CD的解析式为y=kx+b，将两点坐标代入建立关于k，b的方程组，解方程求出k，b的值，就可得到线段的DE的函数解析式。
（3）利用待定系数法求出线段OA的函数解析式，再将两函数解析式联立方程组，解方程组求出方程组的解，就可得到两函数的交点坐标，再用交点的横坐标减去1就可求出轿车从甲地出发后追上货车的时间。
22．【答案】（1）
（2）解：如图，
一共有16种结果，出现选择不同通道通过的有12种情况，
∴P（选择不同通道通过的）=.
答： 选择不同通道通过的概率为.
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）由题意可知一共有4个收费通道，一辆车经过此收费站时，通过A通道的只有1种情况，再利用概率公式可求解。
（2）由题意可知此事件属于抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及选择不同通道通过的情况数，然后利用概率公式可求解。
23．【答案】（1）证明：连接OD
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C；
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠C+∠FDC=90°
∴∠ODB+∠FDC=90°，
∴∠ODF=180°-90°=90°，
∴OD⊥DF
∴DF是圆O的切线;
（2）解：连接BE，AD，
∵AB是直径
∴∠ADB=∠E=∠DFC=90°，
∴DA⊥BC，
∴DF∥BE，
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD
∴EF=FC；
∵AC=3AE，
设AE=x，则AC=3x，CE=4x，
∴CF=EF=CE=2x=6
解之：x=3，
∴AF=EF-AE=2x-x=x=3.
故答案为：3.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质，可以推出∠ODB=∠C；再根据垂直的定义，可证得∠ODF=90°，即可得到OD⊥DF，然后根据切线的判定定理可证得结论。
（2）连接BE，AD，利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠ADB=∠E=∠DFC=90°，从而可以推出DF∥BE，利用等腰三角形三线合一的性质，可得到BD=CD，利用平行线平行线分线段成比例定理可证得EF=CF，再利用AC=3AE，设AE=x，可用含x的代数式表示出AC，CE，EF，CF及AF的长，然后根据FC=6就可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解。
24．【答案】（1）解：∵抛物线经过点B（4，0），A（-1，0）∴设抛物线的解析式为y=a（x-4）(x+1）将点C（0，2）代入得：-4a=2解之：∴抛物线的解析式为：设直线BC的函数解析式为y=kx+b∴解之：∴直线BC的函数解析式为：;
（2）解：存在
连接AC，
∵△COB是直角三角形，
由图像可知以点A或点B为直角顶点的△ABE不存在，
∴直角△ABE的直角顶点只能是点E
∵点A（-1，0），点B（4，0），C（0，2），
∴AB=|-1-4|=5，OC=2，OA=1
∴AC2=12+22=5
BC2=22+42=20
AB2=52=25
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°
∵∠ACB=∠COB=90°，∠OBC=∠ABC
∴△ABC∽△CBO
∴点E和点C重合，
∴点E2（0，2）
点E2关于对称轴对称的点E1也满足条件；
当y=2时，
解之：x1=0，x2=3
∴点E1（3，2）
∴点E的坐标为（3，2）或（0，2）.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意可知点A，B是抛物线与x轴的两交点，因此设函数解析式为交点式，再将点C的坐标代入求出a的值，可得到抛物线的解析式，再利用待定系数法由点B，C的坐标就可求出直线BC的函数解析式。
（2）由点的坐标可得到OA，OB，OC，AB的长，再利用勾股定理分别求出AC2，AB2，BC2，可得到△ABC是直角三角形，由此可证得△ABC∽△CBO，即点E和点C重合，可得到点E2的坐标，利用二次函数的对称性可知点E2关于对称轴对称的点E1也满足条件，求出当y=2时的x的值，就可得到点E1的坐标，综上所述，可得符合题意的点E的坐标。
25．【答案】（1）
（2）解：作点B关于AD的对称点G，作点B关于CD的对称点M，连接MG交AD于点E，交CD于点F，连接BE，BF，过点G作GN⊥BC于点N交CB的延长线于点N，
∴BF=MF，BE=EG，BG=2BA=，BM=2BC=6
∴△BEF的周长为BE+EF+BF=EG+EF+MF=MG。
两点之间线段最短，此时△BEF的周长最小.
∵∠NBG+∠ABC=180°
∴∠NBG=180°-135°=45°，
∴△NBG是等腰直角三角形，
∴NB=NG=BGsin∠NBG=BGsin45°=
∴MN=BM+BN=6+4=10,
在Rt△MNG中
.
∴△BFE的最小周长为.
【知识点】全等三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD（SSS）
∴∠ABD=∠CBD=∠ADC=30°
在Rt△ABD中，AB=CB=ADtan30°=3×=.
∴S四边形ABCD=2S△ABD=.
故答案为：;
【分析】（1）利用SSS证明△ABD≌△CBD，利用全等三角形的对应角相等，可求出∠ABD的度数，再利用解直角三角形或勾股定理求出AD的长，然后根据S四边形ABCD=2S△ABD，代入计算可求解。
（2）作点B关于AD的对称点G，作点B关于CD的对称点M，连接MG交AD于点E，交CD于点F，连接BE，BF，过点G作GN⊥BC于点N交CB的延长线于点N，就可求出BG，MB的长，同时可证得BF=MF，BE=EG，由此要求△BEF的最小周长就可转化为求出MG的长；利用已知条件证明△NBG是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出NG，NB的长，就可得到MN的长，再根据勾股定理求出MG的长，即可得到△BEF的最小周长。
陕西省西安市航天中学2020年九年级下学期数学第一次月考试卷
一、选择题(本大题共10小题，共30分)
1．（2020九下·西安月考）下列各数中比-1小的数是（ ）
A．-2 B．-1 C． D．1
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：A、-2＜-1，故A不符合题意；
B、-1=-1，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、1＞-1，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将各选项中的数与-1比较大小，即可得出答案。
2．（2020九下·西安月考）如图是一空心圆柱，其主视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵几何体是空心的圆柱，
∴此几何体的主视图为C.
故答案为：C
【分析】抓住已知条件：几何体是空心的圆柱，由此可得圆柱的主视图是矩形，里面有两条母线要用虚线表示，观察各选项可得答案。
3．（2020九下·西安月考）如图AB//CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC=42°，则∠AFE的度数为（ ）
A．42° B．65° C．69° D．71°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠AED=180°-∠AEC=180°-42°=138°
∵EF平分∠AED
∴∠DEF=∠AED=×138°=69°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠DEF=69°.
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的定义可求出∠AED的度数，再利用角平分线的定义求出∠DEF的度数，然后利用两直线平行，内错角相等，就可求出∠AFE的度数。
4．（2020九下·西安月考）已知正比例函数 的图象经过点(1，-3)，则此正比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：将点（1，-3）代入y=kx得
k=-3.
∴此正比例函数的解析式为：y=-3x.
故答案为：B.
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于k的方程，解方程求出k的值。
5．（2020九下·西安月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，故A不符合题意；
B、（-b2）3=-b6，故B符合题意；
C、2x·2x2=4x3，故C不符合题意；
D、（m-n）2=m2-2mn+n2，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项的法则可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；利用单项式乘以单项式的法则，可对C作出判断；利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可对D作出判断。
6．（2020九下·西安月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，AE=3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB.
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
在Rt△ADE中，
解之：AD=5；
∴AB=5
∴BE=AB-AE=5-3=2.
在Rt△AED中，.
在Rt△BED中，.
故答案为：B.
【分析】利用菱形的四边相等，可证得AD=AB，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AD的长，从而可求出BE的长，利用勾股定理求出DE的长，然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBE的值。
7．（2020九下·西安月考）直线 向右平移得到 ，平移了（ ）个单位长度.
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设将直线y=2x+1向右移m个单位得到y=2x-1.
∴2（x-a）+1=2x-1
解之：a=1.
故答案为：C.
【分析】利用一次函数图象平移规律：左加右减，上加下减，因此设将直线y=2x+1向右移m个单位得到y=2x-1，可得到方程，解方程求出a的值。
8．（2020九下·西安月考）如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于（ ）
A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图
∵将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，
∴∠A=∠ENH=∠D=∠GMF=90°，∠AEH=∠HEN，∠NEF=∠BEF，AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM
∴AB=2EN
∵∠AEH+∠HEN+∠NEF+∠BEF=180°，
∴∠HEF=90°，
同理可证∠EFG=∠HGF=90°
∴四边形EHGF是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG
∴∠EHN=∠MFG
在△HEN和△FGM中
∴△HEN≌△FGM（AAS）
∴HN=FM=AH
HF=HN+MN+FM=AH+MN+HN=AH+HM=AH+HD=AD
在Rt△HEF中，EH=3，EF=4
∴
∴AD=5；
∵
∴5EN=3×4
解之：
∴
∴，
∴AD：AB=25：24.
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质，易证AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM，∠HEF=∠EFG=∠HGF=90°，利用矩形的判定定理可证得四边形EHGF是矩形，利用矩形的性质可得到EH=FG，EH∥FG，从而可推出∠EHN=∠MFG，再利用AAS证明△HEN≌△FGM，利用全等三角形的对应边相等，可得到HN=FM=AH，继而可以推出AD=HF，利用勾股定理可得到AD的长；然后利用直角三角形的两个面积公式求出EN的长，即可得到AB的长，再求出AD与AB的比值即可。
9．（2020九下·西安月考）如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD= ，连接AC，OD，若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵直径AB平分弦CD于点E，
∴AB⊥CD，
∴，，
∴∠BOD=2∠A；
∵∠A与∠BOD互余，
∴∠A+∠BOD=90°即∠A+2∠A=90°
解之：∠A=30°
∴∠BOD=60°，∠ODE=30°
在Rt△BOE中，
OE=DEtan∠ODE=；
∴OD=OB=2OE=4
∴BE=OB-OE=4-2=2.
故答案为：D.
【分析】利用垂径定理的推论可得到AB⊥CD，利用垂径定理可求出DE的长，利用圆周角定理可得到∠BOD=2∠A；再由已知条件建立关于∠A的方程解方程求出∠A的度数，由此可得到∠D，∠DOB的度数，然后利用解直角三角形求出OD，OE的长，继而可求出BE的长。
10．（2020九下·西安月考）已知二次函数 的图象经过点 、 和 ，若 ，则（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（0，m），（4，m）
∴对称轴为直线x=，
∴
∴4a+b=0，故C。D错误；
∵图像经过（1，n）
∴当x=1时，y=n，
∵n＜m
∴抛物线的开口向上，
∴a＞0且4a+b=0，故B不符合题意，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】由图像经过点（0，m），（4，m），可知这两点为抛物线的对称点，就可求出抛物线 的对称轴，由此可得到a，b的数量关系，再由图像经过（1，n）且n＜m，就可得到抛物线的开口方向，从而可求出a的取值范围，即可求解。
二、填空题(本大题共4小题，共12分)
11．（2020九下·西安月考）分解因式： .
【答案】x（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）.
故答案为：x（x+y）（x-y）.
【分析】观察多项式的特点：含有两项，两项的符号相反，且含有公因式x；由此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．（2013·遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．
【答案】9
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC= =10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= cm，AF= AD= BC=4cm，AE= AO= AC= cm，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．
故答案为：9．
【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
13．（2020九下·西安月考）如图， 和 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数 在第一象限的图象经过点B，则 和 的面积之差为 .
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵△AOC和△ABD都是等腰直角三角形，
∴AC=OC，AD=BD，
设AC=OC=m，AD=BD=n，
∴点B（m+n，m-n）
∵点B在反比例函数图象上，
∴（m+n）（m-n）=m2-n2=6
∵S△OAC-S△BAD=.
故答案为：3.
【分析】利用等腰直角三角形的性质，可证得AC=OC，AD=BD，设两直角三角形的直角边分别为m，n，就可得到点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上，就可得到m2-n2的值，然后利用三角形的面积公式就可求出两三角形的面积之差。
14．（2020九下·西安月考）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足 ，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】∵动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，AB=5，AD=3，设△APB的AB边上的高为h，
∴
∴，
解之：h=2.
∴点P在与AB平行且距AB的距离为2的直线上运动，
作直线m∥AB，且m与AB的距离为2，作点A关于直线m的对称点A＇，连接BA＇交直线于点P，
∴A＇P=AP，
∴PA+PB=A＇P+PB=A＇B，根据两点之间线段最短，可知此时PA+PB的最小值就是A＇B的长.
∴AA＇=2×2=4
在Rt△A＇BA中
，
∴PA+PB的最小值就是.
故答案为：.
【分析】设△APB的AB边上的高为h，利用三角形的面积公式及矩形的面积公式就可求出h的值，由此可知点P在与AB平行且距AB的距离为2的直线上运动，作直线m∥AB，且m与AB的距离为2，作点A关于直线m的对称点A＇，连接BA＇交直线于点P，利用轴对称的性质及两点之间线段最短，可得到PA+PB的最小值就是A＇B的长，然后利用勾股定理求出A＇B的长，即可解答此题。
三、解答题(共11小题，计78分.)
15．（2020九下·西安月考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，同时代入特殊角的三角函数值，再化简绝对值，然后合并即可。
16．（2020九下·西安月考）解分式方程： .
【答案】解：将原方程转化为
方程两边同时乘以（x-3）得
3-（x-3）=-1
3-x+3=-1
解之：x=7
经检验x=7是原方程的解,
∴原方程的解为x=7.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将原方程进行转化，再在方程两边同时乘以最简公分母（x-3）,（左边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可。
17．（2020九下·西安月考）如图，在 中，∠BAC= 90°，在边AC上求作一点P，使得点P到斜边BC的距离等于AP的长. (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】解：如图
点P就是所求作的点.
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知只需作出∠ABC的角平分线交AC于点P即可。
18．（2020九下·西安月考）如图，已知AB//DE，AC=DF，∠CFB=∠FCE.
求证： AB = DE.
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D；
∵AC=DF，
∴AC-FC=DF-FC，即AF=DC；
∵∠CFB=∠FCE，∠CFB+∠AFB=180°，∠FCE+∠ECD=180°，
∴∠AFB=∠ECD；
在△ABF和△DEC中
∴△ABF≌△DEC（ASA）
∴AB=DE.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，可知∠A=∠D；利用等式的性质可得到AF=DC；利用补角的性质可证得∠AFB=∠ECD；再利用ASA易证△ABF≌△DEC，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
19．（2017·泰州模拟）西安市2016年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．
试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的学生有 分，并补全条形统计图．
（2）样本中，测试成绩的中位数是 分，众数是 分．
（3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．
【答案】（1）14解：补全统计图如下：
（2）98；100
（3）解：∵2000× =800，
∴估计该校九年级中考综合速度测试将有800名学生可以获得满分．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%=50人，
则成绩为98分的人数为50﹣（20+10+4+2）=14（人），
补全统计图如下：
故答案为：14；
⑵次测试成绩的中位数为 =98分，众数100分，
故答案为：98，100；
【分析】（1）先观察两个统计图，根据成绩为96分的人数及百分比求出总人数，就可以得到成绩为98的人数。
（2）根据中位数和众数的定义可得结果。注意：求中位数要先排序，再找中位数。
（3）根据样本中成绩为100分所占百分比乘以该校九年级的总人数即可。
20．（2020九下·西安月考）
小明学校门前有座山，山上有一电线杆PQ，他很想知道电线杆PQ的高度.于是，有一天，小明和他的同学小亮带着测角器和皮尺来到山下进行测量，测量方案如下：如图，首先，小明站在地面上的点A处，测得电线杆顶端点P的仰角是45°；然后小明向前走6米到达点B处，测得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分则是60°和30°，设小明的眼睛到地面的距离为1.6米，请根据以上测量的数据，计算电线杆PQ的高度(结果精确到1米，参考数据 =1.7， = 1.4).
【答案】解：由题意得：∠PCH=45°，∠PDH=60°，∠QDH=30°，CD=AB=6，AC=BD=NH=1.6米在Rt△PCH中，∠PCH=45°∴△ACH是等腰直角三角形，∴PH=CH在Rt△DQH中，∠QDH=30°，设QH=x，∴∠DQH=90°-30°=60°，∴DH=QHtan∠DQH=QHtan60°=∴CH=CD+DH=6+；在Rt△DHP中，∠PDH=60°∴PH=DHtan∠PDH=DHtan60°=;∴3x=6+解之：∴PQ=PH-QH=3x-x=2x=.答：电线杆PQ的高度为9米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可得到相关线段的长及角的度数，可证得△ACH是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可得到PH=CH，设QH=x，再在Rt△DQH和Rt△DHP中，利用解直角三角形，分别用含x的代数式表示出PH，CH的长，然后建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可求出PQ的长
21．（2020九下·西安月考）甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x（）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲.地的距离y(km)与时间x（）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.
【答案】（1）0.5
（2）解：∵点D（2.5，80），点E（4.5，300）
∴设线段CD的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴线段CD的函数解析式为y=110x-195.
（3）设线段OA的解析式为y=mx
∵点A（5，300）
∴5m=300
解之：m=60
∴y=60x
∴
解之：
∴轿车从甲地出发后追上货车的时间为：3.9-1=2.9小时.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由图像可知线段CD表示轿车在途中停留的时间，
∴轿车在途中停留的时间为：2.5-2=0.5小时；
故答案为：0.5.
【分析】（1）观察图像可知CD∥x轴，就可求出轿车在途中停留的时间。
（2）观察函数图象可得到点D，E的坐标，再设线段CD的解析式为y=kx+b，将两点坐标代入建立关于k，b的方程组，解方程求出k，b的值，就可得到线段的DE的函数解析式。
（3）利用待定系数法求出线段OA的函数解析式，再将两函数解析式联立方程组，解方程组求出方程组的解，就可得到两函数的交点坐标，再用交点的横坐标减去1就可求出轿车从甲地出发后追上货车的时间。
22．（2020九下·西安月考）车辆经过润扬大桥收费站时，有A、B、C、D四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可能性相同，车辆可随机选择一个通过.
（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为 ；
（2）两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求选择不同通道通过的概率.
【答案】（1）
（2）解：如图，
一共有16种结果，出现选择不同通道通过的有12种情况，
∴P（选择不同通道通过的）=.
答： 选择不同通道通过的概率为.
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）由题意可知一共有4个收费通道，一辆车经过此收费站时，通过A通道的只有1种情况，再利用概率公式可求解。
（2）由题意可知此事件属于抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及选择不同通道通过的情况数，然后利用概率公式可求解。
23．（2020九下·西安月考）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的 与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.
（1）证明： DF是 的切线；
（2）若AC= 3AE，FC= 6，求AF的长.
【答案】（1）证明：连接OD
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C；
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠C+∠FDC=90°
∴∠ODB+∠FDC=90°，
∴∠ODF=180°-90°=90°，
∴OD⊥DF
∴DF是圆O的切线;
（2）解：连接BE，AD，
∵AB是直径
∴∠ADB=∠E=∠DFC=90°，
∴DA⊥BC，
∴DF∥BE，
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD
∴EF=FC；
∵AC=3AE，
设AE=x，则AC=3x，CE=4x，
∴CF=EF=CE=2x=6
解之：x=3，
∴AF=EF-AE=2x-x=x=3.
故答案为：3.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质，可以推出∠ODB=∠C；再根据垂直的定义，可证得∠ODF=90°，即可得到OD⊥DF，然后根据切线的判定定理可证得结论。
（2）连接BE，AD，利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠ADB=∠E=∠DFC=90°，从而可以推出DF∥BE，利用等腰三角形三线合一的性质，可得到BD=CD，利用平行线平行线分线段成比例定理可证得EF=CF，再利用AC=3AE，设AE=x，可用含x的代数式表示出AC，CE，EF，CF及AF的长，然后根据FC=6就可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解。
24．（2020九下·西安月考）如图，已知抛物线 经过 ， ， 三点.
（1）
求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）
E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似 若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线经过点B（4，0），A（-1，0）∴设抛物线的解析式为y=a（x-4）(x+1）将点C（0，2）代入得：-4a=2解之：∴抛物线的解析式为：设直线BC的函数解析式为y=kx+b∴解之：∴直线BC的函数解析式为：;
（2）解：存在
连接AC，
∵△COB是直角三角形，
由图像可知以点A或点B为直角顶点的△ABE不存在，
∴直角△ABE的直角顶点只能是点E
∵点A（-1，0），点B（4，0），C（0，2），
∴AB=|-1-4|=5，OC=2，OA=1
∴AC2=12+22=5
BC2=22+42=20
AB2=52=25
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°
∵∠ACB=∠COB=90°，∠OBC=∠ABC
∴△ABC∽△CBO
∴点E和点C重合，
∴点E2（0，2）
点E2关于对称轴对称的点E1也满足条件；
当y=2时，
解之：x1=0，x2=3
∴点E1（3，2）
∴点E的坐标为（3，2）或（0，2）.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意可知点A，B是抛物线与x轴的两交点，因此设函数解析式为交点式，再将点C的坐标代入求出a的值，可得到抛物线的解析式，再利用待定系数法由点B，C的坐标就可求出直线BC的函数解析式。
（2）由点的坐标可得到OA，OB，OC，AB的长，再利用勾股定理分别求出AC2，AB2，BC2，可得到△ABC是直角三角形，由此可证得△ABC∽△CBO，即点E和点C重合，可得到点E2的坐标，利用二次函数的对称性可知点E2关于对称轴对称的点E1也满足条件，求出当y=2时的x的值，就可得到点E1的坐标，综上所述，可得符合题意的点E的坐标。
25．（2020九下·西安月考）如图
（1）问题提出：如图1，在四边形ABCD中，AB= BC，AD=
CD=3，∠BAD=∠BCD = 90°，∠ADC= 60°，则四边形ABCD的面积为 .
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，∠ABC=135°，AB= ，BC=3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得 的周长最小，并求出△BEF的最小周长；
【答案】（1）
（2）解：作点B关于AD的对称点G，作点B关于CD的对称点M，连接MG交AD于点E，交CD于点F，连接BE，BF，过点G作GN⊥BC于点N交CB的延长线于点N，
∴BF=MF，BE=EG，BG=2BA=，BM=2BC=6
∴△BEF的周长为BE+EF+BF=EG+EF+MF=MG。
两点之间线段最短，此时△BEF的周长最小.
∵∠NBG+∠ABC=180°
∴∠NBG=180°-135°=45°，
∴△NBG是等腰直角三角形，
∴NB=NG=BGsin∠NBG=BGsin45°=
∴MN=BM+BN=6+4=10,
在Rt△MNG中
.
∴△BFE的最小周长为.
【知识点】全等三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD（SSS）
∴∠ABD=∠CBD=∠ADC=30°
在Rt△ABD中，AB=CB=ADtan30°=3×=.
∴S四边形ABCD=2S△ABD=.
故答案为：;
【分析】（1）利用SSS证明△ABD≌△CBD，利用全等三角形的对应角相等，可求出∠ABD的度数，再利用解直角三角形或勾股定理求出AD的长，然后根据S四边形ABCD=2S△ABD，代入计算可求解。
（2）作点B关于AD的对称点G，作点B关于CD的对称点M，连接MG交AD于点E，交CD于点F，连接BE，BF，过点G作GN⊥BC于点N交CB的延长线于点N，就可求出BG，MB的长，同时可证得BF=MF，BE=EG，由此要求△BEF的最小周长就可转化为求出MG的长；利用已知条件证明△NBG是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出NG，NB的长，就可得到MN的长，再根据勾股定理求出MG的长，即可得到△BEF的最小周长。
