天津市和平区耀华中学2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高一下·和平期中）如果 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．（2020高一下·和平期中）下列各式中不能化简为 的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020高一下·和平期中）下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量 共线的单位向量是 .
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2020高一下·和平期中）高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为（ ）
A．168 B．175 C．172 D．176
5．（2020高一下·和平期中）i是虚数单位，若 ，则乘积 的值是（ ）
A．－15 B．－3 C．3 D．15
6．（2020高一下·和平期中）已知向量 若 与 平行，则实数x的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
7．（2020高一下·和平期中）已知向量 ，且 ，则 等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．（2020高一下·和平期中）△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则 的值为（ ）
A．19 B．14 C．-18 D．-19
9．（2020高一下·和平期中）设复数 （ 为虚数单位），z的共轭复数为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2020高一下·和平期中）在△ABC中， 则m＋n等于（ ）
A． B． C． D．1
11．（2020高一下·和平期中）在 中, = 分别为角 的对应边),则 的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
12．（2020高一下·和平期中）已知向量 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018·天津模拟）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 ．
14．（2020高一下·和平期中）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段 ， ， ， ， ， ， 后画出如图频率分布直方图.估计这次考试的平均分为 .
15．（2020高一下·和平期中）计算 .
16．（2020高一下·尚义期中）已知在 中， ，则 ．
17．（2020高一下·和平期中）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，则 的值为 ．
18．（2020高一下·和平期中）设 是 的重心，且 ，则 .
三、解答题
19．（2019高二下·南宁月考） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
（1）求角C；
（2）若 ， ，求 的周长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】对A项，设 ，则 ，无解
对B项，设 ，则 ，无解
对C项，设 ，则 ，无解
对D项， ，所以两向量为共线向量
故答案为：D
【分析】根据向量共线定理求解即可.
2．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】由向量运算的三角形法则可得 ，所以A能；由于 ，所以B能；又因为 ，所以C能，
故答案为：D．
【分析】利用三角形法则和向量的加、减法的运算法则，从而找出不能化简为 的选项。
3．【答案】A
【知识点】单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为不同的单位向量的方向可能不相同，所以①错误；
相反向量的长度相等，但方向相反，则②错误；
因为共线的单位向量方向可能相反，所以它们不一定相等，则③错误；
与非零向量 共线的单位向量是 或 ，则④错误；
故答案为：A
【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】将7人的身高从低到高排列：
第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为
故答案为：B
【分析】将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可.
5．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的充要条件，从而求出a，b的值，进而求出ab的值。
6．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 由于 与 平行，得 ，解得 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量 与 的坐标表示，再利用向量共线的坐标表示，从而求出实数x的值。
7．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ，所以2m-2=0,解得m=1,所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，从而求出m的值，进而求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算，结合向量的模的坐标表示结合数量积的坐标表示，从而求出 的值。
8．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由于 ， ， ，
则 ，
则
．
故答案为：D．
【分析】运用余弦定理，求得 ，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值．
9．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
故答案为：C．
【分析】利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数 的代数表达式。
10．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】由题意可得：
再结合 ，则：
，
据此可得方程组： ，解得： ，
据此可得： 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和共线定理，再利用两向量相等的充要条件，从而建立出关于m，n的方程组，从而解方程组求出m，n的值，进而求出m+n的值。
11．【答案】B
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】由题可得 = ，所以 ，
由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C为直角。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，从而求出 ，再利用直角三角形的余弦函数定义，从而推出 的形状。
12．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】
，
设 与 的夹角为 ，
，
则 ，即
故答案为：C
【分析】利用诱导公式以及两角差的正余弦公式化简，由向量的数量积公式，即可得出 与 的夹角.
13．【答案】78
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设学校有高三学生x人，则高二学生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，该样本中的高三人数为 ×390＝78人．
【分析】本题利用分层抽样的方法求出高三学生占总数的比例，从而求出样本中的高三学生人数。
14．【答案】71
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】这次考试的平均分
故答案为：71
【分析】由频率分布直方图中的数据，结合平均数的求法，求解即可.
15．【答案】1+3i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：
【分析】由复数的除法和乘法化简 ， ，再求 即可.
16．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】由于 ，
所以由正弦定理可得： ，即： ，解得： ，
由于在 中， ，根据大边对大角可知： ，则 ,
由 ，解得： ，
故答案为
【分析】由正弦定理求出 ，然后利用公式 ，即可求得
17．【答案】14
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴cos∠BAC= ；又△ACD是等边三角形，∴AD=AC=10，cos∠CAD= ，∴ = （ ﹣ ）= ﹣
=10×10× ﹣10×6× =14．
【分析】根据三角形的边角关系，求得各个边长和角度；根据向量数量积求得 的值．
18．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】∵ 是 的重心，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
且 不共线，∴ ，
∴ ，而 是三角形内角，∴ ，∴ .
故答案为： .
【分析】利用重心的性质： 及平面向量基本定理得结论.
19．【答案】（1）解：由已知可得
（2）解：
又
，
的周长为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理与两角和的直线公式，化简得到，即可求出角C的值；
（2）利用余弦定理与三角形的面积公式列式，得到 ， 即可求出 的周长.
天津市和平区耀华中学2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高一下·和平期中）如果 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】对A项，设 ，则 ，无解
对B项，设 ，则 ，无解
对C项，设 ，则 ，无解
对D项， ，所以两向量为共线向量
故答案为：D
【分析】根据向量共线定理求解即可.
2．（2020高一下·和平期中）下列各式中不能化简为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【解答】由向量运算的三角形法则可得 ，所以A能；由于 ，所以B能；又因为 ，所以C能，
故答案为：D．
【分析】利用三角形法则和向量的加、减法的运算法则，从而找出不能化简为 的选项。
3．（2020高一下·和平期中）下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量 共线的单位向量是 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为不同的单位向量的方向可能不相同，所以①错误；
相反向量的长度相等，但方向相反，则②错误；
因为共线的单位向量方向可能相反，所以它们不一定相等，则③错误；
与非零向量 共线的单位向量是 或 ，则④错误；
故答案为：A
【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可.
4．（2020高一下·和平期中）高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为（ ）
A．168 B．175 C．172 D．176
【答案】B
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】将7人的身高从低到高排列：
第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为
故答案为：B
【分析】将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可.
5．（2020高一下·和平期中）i是虚数单位，若 ，则乘积 的值是（ ）
A．－15 B．－3 C．3 D．15
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的充要条件，从而求出a，b的值，进而求出ab的值。
6．（2020高一下·和平期中）已知向量 若 与 平行，则实数x的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 由于 与 平行，得 ，解得 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量 与 的坐标表示，再利用向量共线的坐标表示，从而求出实数x的值。
7．（2020高一下·和平期中）已知向量 ，且 ，则 等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ，所以2m-2=0,解得m=1,所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，从而求出m的值，进而求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算，结合向量的模的坐标表示结合数量积的坐标表示，从而求出 的值。
8．（2020高一下·和平期中）△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则 的值为（ ）
A．19 B．14 C．-18 D．-19
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由于 ， ， ，
则 ，
则
．
故答案为：D．
【分析】运用余弦定理，求得 ，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值．
9．（2020高一下·和平期中）设复数 （ 为虚数单位），z的共轭复数为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
故答案为：C．
【分析】利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数 的代数表达式。
10．（2020高一下·和平期中）在△ABC中， 则m＋n等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】由题意可得：
再结合 ，则：
，
据此可得方程组： ，解得： ，
据此可得： 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和共线定理，再利用两向量相等的充要条件，从而建立出关于m，n的方程组，从而解方程组求出m，n的值，进而求出m+n的值。
11．（2020高一下·和平期中）在 中, = 分别为角 的对应边),则 的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】由题可得 = ，所以 ，
由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C为直角。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，从而求出 ，再利用直角三角形的余弦函数定义，从而推出 的形状。
12．（2020高一下·和平期中）已知向量 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】
，
设 与 的夹角为 ，
，
则 ，即
故答案为：C
【分析】利用诱导公式以及两角差的正余弦公式化简，由向量的数量积公式，即可得出 与 的夹角.
二、填空题
13．（2018·天津模拟）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 ．
【答案】78
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设学校有高三学生x人，则高二学生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，该样本中的高三人数为 ×390＝78人．
【分析】本题利用分层抽样的方法求出高三学生占总数的比例，从而求出样本中的高三学生人数。
14．（2020高一下·和平期中）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段 ， ， ， ， ， ， 后画出如图频率分布直方图.估计这次考试的平均分为 .
【答案】71
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】这次考试的平均分
故答案为：71
【分析】由频率分布直方图中的数据，结合平均数的求法，求解即可.
15．（2020高一下·和平期中）计算 .
【答案】1+3i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：
【分析】由复数的除法和乘法化简 ， ，再求 即可.
16．（2020高一下·尚义期中）已知在 中， ，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】由于 ，
所以由正弦定理可得： ，即： ，解得： ，
由于在 中， ，根据大边对大角可知： ，则 ,
由 ，解得： ，
故答案为
【分析】由正弦定理求出 ，然后利用公式 ，即可求得
17．（2020高一下·和平期中）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，则 的值为 ．
【答案】14
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴cos∠BAC= ；又△ACD是等边三角形，∴AD=AC=10，cos∠CAD= ，∴ = （ ﹣ ）= ﹣
=10×10× ﹣10×6× =14．
【分析】根据三角形的边角关系，求得各个边长和角度；根据向量数量积求得 的值．
18．（2020高一下·和平期中）设 是 的重心，且 ，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】∵ 是 的重心，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
且 不共线，∴ ，
∴ ，而 是三角形内角，∴ ，∴ .
故答案为： .
【分析】利用重心的性质： 及平面向量基本定理得结论.
三、解答题
19．（2019高二下·南宁月考） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
（1）求角C；
（2）若 ， ，求 的周长.
【答案】（1）解：由已知可得
（2）解：
又
，
的周长为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理与两角和的直线公式，化简得到，即可求出角C的值；
（2）利用余弦定理与三角形的面积公式列式，得到 ， 即可求出 的周长.
