芜湖市名校2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，将条形码贴在答题卷“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3．作答非选择题时必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，写在本试卷上无效。
4．考生必须保证答题卷整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。
一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．安师大附中的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则安师大附中既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占本校学生总数的比例是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角的对边满足，且，则（ ）
A． B． C． D．0
7．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得
8．把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9．已知复数（其中是虚数单位），则下列各选项正确的是（ ）
A． B．的共轭复数在复平面上对应点在三象限
C．的虚部是 D．是方程的复数根
10．高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选两名同学去参加数学竟赛，则（ ）
A．恰有一名参赛学生是男生的概率为 B．至少有一名参赛学生是男生的概率为
C．至多有一名参赛学生是男生的概率为 D．两名参赛学生都是男生的概率为
11．已知分别是三个内角的对边，则下列选项正确的是（ ）
A．若锐角三角形，则
B．若，则有两解
C．内切圆的半径
D．若，则
12．在直三棱柱中，，且为线段上的动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题（本题共4题，每小题4分，共16分．）
13．已知随机事件是互斥事件，且，则_________．
14．若函数为奇函数，则_________．
15．若，且，则的最小值等于_________．
16．四边形中，点分别是的中点，，点满足，则的最大值为_________．
四、解答题（本题共5题，其中17，18，19题各8分，第20，21题各10分）
17．已知．
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且垂直，求的值．
18．在中，角所对的边分别为．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
19．如图所示，在正方体中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）
求证：（1）直线平面；
（2）平面平面．
20．某高校承办了全国大学生运动会志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第60百分位数（精确到；
（3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．
21．如图，在三棱锥中，平面平面为中点．（立体几何证明或求解过程中不可使用向量法，否则不给分）
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小．
芜湖市名校2023-2024学年高二上学期开学考试
参考答案
一、单选题
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A
二、多选题
9．AB 10．AC 11．BC 12．ABD
三、填空题
13．0.6 14．1 15．8 16．2
四、解答题
17．解：
（1），
又与共线，
，即；
（2），
垂直，，则
18．解：
（1），且，
（2）由余弦定理得，即
整理得，解得（负值舍去），
．
19．证明：（1）在正方体中，
因为平面平面，
平面．
（2）在正方体中，
易知平面中，又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
20．解：
（1）因为第三、四、五组得频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以．
由频率分布直方图可得众数为70，
（2）平均数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
（3）第四、五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，
第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，共10种情况，
其中选出的2人来自同一组的有共6种情况，
故选出的2人来自同一组的概率为．
21．（1）
证明：在三棱锥中，因为为中点，且，则，又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
而平面，所以．
（2）因为是边长为1的等边三角形，
所以，则，
因为平面，
所以为三棱锥的高，设为，
所以，所以，
所以，即有，
所以，作于，作于，连，
则，因为平面，所以平面，
又平面，则，
因为平面，
所以平面，而平面，故，则为二面角的平面角．
又，所以，
在中，，所以，
由知，故，
所以，即，所以，从而，
又因为在中，，所以为等腰直角三角形，
所以，即二面角的大小为．
