广东省中山纪念中学2020届高三上学期理数12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高三上·中山月考）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2019高三上·中山月考）已知命题
：函数 在R为增函数，
：函数 在R为减函数，
则在命题 ： ， ： ， ： 和 ： 中，真命题是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2019高一上·泉港月考）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 （ ）．
A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
4．（2019高一下·韶关期末）把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019高二下·绍兴期中）已知数列 的前 项和 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2018·全国Ⅱ卷理）在 中， 则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2019高三上·中山月考）已知函数 是 上的奇函数，且 的图象关于 对称，当 时， ，则 的值为 ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
8．（2019高三上·中山月考）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2019高三上·中山月考）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·漳州模拟）若 ，则 ， ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2019高三上·中山月考）若函数 在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019高三上·中山月考）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度,药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的个数是（ ）
①首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
13．（2019高三上·中山月考）函数 的定义域是 ．
14．（2019高一上·南阳月考）已知函数 （ 且 ）恒过定点 ，则 .
15．（2019高三上·中山月考）函数 是奇函数，则 等于 ；
16．（2019高三上·中山月考）设函数 是公差为 的等差数列， ，则 ．
三、解答题
17．（2019高三上·中山月考）已知函数 , .
（Ⅰ）求函数 的最大正周期与单调增区间值;
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值与最小值.
18．（2019高三上·中山月考）在锐角 中，A，B，C的对边分别为a，b，c且 ， ， 成等差数列.
（1）求角B的值；
（2）若 且 ，求b的取值范围.
19．（2017高一上·南通开学考）已知函数f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．
20．（2019高三上·中山月考）已知数列 的前 项和为 ， ， （ 且 ），数列 满足： ，且 （ 且 ）.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列 为等比数列；
（Ⅲ）求数列 的前 项和的最小值.
21．（2019高三上·中山月考）已知函数 （ ）
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）若 且 存在两个极值点，记作 ， ，若 ，求a的取值范围；
（3）求证：当 时， （其中e为自然对数的底数）
22．（2019高三上·中山月考）以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，（ 为参数).
（1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，求 .
23．（2019高三上·中山月考）已知关于x的不等式 的解集不是空集，记m的最小值为t.
（1）求t的值；
（2）若不等式 的解集包含 ，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 集合 ，
，
．
故答案为：B．
【分析】先分别求出集合 和 ，由此能求出 ．
2．【答案】C
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】 是真命题， 是假命题，∴ ： ， ： 是真命题，
故答案为：C.
【分析】利用指数函数的单调性和函数单调性的判断方法，从而判断出命题p和命题q的真假性，再利用复合命题的真假判断方法，从而找出真命题的选项。
3．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ， ， 且 ，所以a>b>c。
故答案为：D
【分析】利用对数的运算法则和换底公式，将a，b，c中的不同底对数转化成同底的对数，再利用对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小关系。
4．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 向左平移 个单位得：
将 横坐标缩短为原来的 得：
故答案为：
【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.
5．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】由 ，可得 ，
两式相减可得： ，
即 ，
数列 是从第二项起的等比数列，公比为4，
又 所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用与的关系式结合已知条件，再利用等比数列定义，推出数列 是从第二项起的等比数列，公比为4，再利用等比数列的性质，从而求出数列 的第七项的值。
6．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵
∴AB2=1+52-2×5×（ ）=26+6=32
∴AB=
故答案为：A
【分析】先由 用二倍角公式可求 ，再由余弦定理可得。
7．【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】根据题意，函数 的图象关于 对称，则 ，又由函数 是 上的奇函数，则 ，则有 ，变形可得 ，即函数是周期为4的周期函数，则 ，又由函数 是 上的奇函数，则 ，故 .
故答案为：C
【分析】先根据函数 的图象关于 对称且 是 上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由 时， ，即可求出结果.
8．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵tan（α ） ，则tanα ，
∵tanα ，sin2α+cos2α＝1，α∈（ ，0），
可得 sinα ．
∴
2 sinα＝2 （ ） ．
故答案为：A．
【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得 的值．
9．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 的定义域为 ，
为偶函数，排除C；
当x 时， ，排除B，D；
故答案为：A。
【分析】利用函数的定义域的求解方法、偶函数的定义和偶函数的图象特征、极限的知识，从而结合排除法找出函数的大致图象。
10．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 , .
综上 ；故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再利用1和0对应的指数函数的值和对数函数的值以及 ， ， ， 与1和0大小关系的比较，从而比较出 ， ， ， 的大小关系。
11．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题 ，
令 解得 ；令 解得 ，
由此得函数在 上是减函数，在 上是增函数，
故函数在 处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（ 上的最小值， 解得 ，
又当 时， ，故有 ，
综上知 ，
故答案为：C。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，进而通过比较求出函数的最小值，再利用已知条件函数 在区间 上有最小值，从而结合特殊值法和一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数a的取值范围。
12．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；
②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；
③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；
④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．
故答案为：D．
【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，得： ，解得 即函数定义域为 。
【分析】利用对数型函数的定义域求解方法结合分式函数定义域求解方法，从而结合交集的运算法则求出函数 的定义域。
14．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】令指数 ，则： ，
据此可得定点的坐标为： ，
则： 。
【分析】利用指数函数恒过定点的性质结合函数 （ 且 ）的图象，再利用平移变换，从而求出函数恒过的定点A的坐标，从而求出m,n的值，再利用对数与指数的互化公式求出。
15．【答案】
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意， ，
若函数 为奇函数，则有 ，
即 ，
故 ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，化简 的解析式可得 ，结合正弦函数的性质可得若函数 为奇函数，则有 ，进一步求 即可．
16．【答案】
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由已知， 是公差为 的等差数列，则 ，由和差化积公式得，
，
则 ，
比较两边等式得， 且 ，解得 ，
所以 。
【分析】由已知， 是公差为 的等差数列，则 ，由和差化积公式得，，再利用已知条件 ， 得出，比较两边等式得， 且 ，解得 ，从而利用代入法结合函数解析式化简求出的值。
17．【答案】解：（Ⅰ）
的最小正周期是: ,
令 得, ,
所以 单调增区间为 ;
（Ⅱ）因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
当且仅当 时, 取最小值, ,
当且仅当 时,即 时 取最大值, .
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（Ⅰ）利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为 ，故而可得周期，解不等式 可得单调增区间；（Ⅱ）根据 的范围，计算出 的范围，结合正弦函数的性质可得其最值.
18．【答案】（1）解：因为 , , 成等差数列,所以
由正弦定理得 ，即
因为 ， ，又 ，所以
（2）解： ， ，
，
，又 是锐角三角形， ,
， .
【知识点】等差数列的性质；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数，即可求角 的值；（2）利用正弦定理，结合三角形的内角和，转化求解 的范围．
19．【答案】（1）解：函数f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．
由于ax﹣1≠0，
则ax≠1，
∴x≠0，
故得函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
（2）对于定义域内任意的x，有
f（﹣x）=（ ）（﹣x）3= = = =f（x）
∴f（x）是偶函数．
（3）①当a＞1时，对x＞0，∴ax＞1，即ax﹣1＞0，∴ + ＞0．又x＞0时，x3＞0，f（x）= ＞0．
即 a＞1时，f（x）＞0．
由（2）知，f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），则当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＞0成立．综上可知，当a＞1时，f（x）＞0在定义域上恒成立．
②当0＜a＜1时，f（x）=
当x＞0时，0＜ax＜1，此时f（x）＜0，不满足题意；当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＜0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a＞1．
即a的取值范围为（1，+∞）．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判定；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据分母不为零可求出函数的定义域即可。（2）由奇偶性的定义判断即可。（3）对a分情况讨论，再根据函数解析式的特点求出满足题意的函数的取值范围进而得到a的取值范围
20．【答案】解：（Ⅰ）由 得
即 （ 且 ）
则数列 为以 为公差的等差数列
因此
（Ⅱ）证明：因为 （ ）
所以 （ ）
（ ）
（ ）
所以 （ ）
因为
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
所以
（ ）
所以 是递增数列.
因为当 时， ，当 时，
当 时，
所以数列 从第3项起的各项均大于0，故数列 的前2项之和最小.
记数列 的前 项和为 ，则 .
【知识点】数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由 得 ，所以 。（2） （ ） （ ）
所以 （ ）且 。所以得证。（3）（Ⅱ）得 所以 ，所以 是递增数列
和最小，即所有的负数项的和，只需求到 。
21．【答案】（1）解：
（※）
当 时， ， ，函数 在 上是增函数
当 时,由 得 ,解得 （舍去）
所以当 时, ,从而 ,函数 在 上是减函数;
当 时, ,从而 ,函数 在 上是增函数
综上，当 时,函数 在 上是增函数;
当 时,函数 在 上是减函数,在 上是增函数
（2）解：由（1）知,当 时, ,函数 无极值点
若 存在两个极值点,又由 为正数必有 ，由（1）极值点为 ,
依题意 即 化为 ,得
所以 的取值范围是
由（※）式得
不等式 化为
令 所以
当 时, , , ,所以 ,不合题意
当 时, ,
所以 在 上是减函数,所以 ,适合题意,即
综上,a的取值范围是 .
（3）证明：当 时,
不等式 可化为 ，即证 .
设 ,则 在 上, , 是减函数;在 上, , 是增函数,所以 ,
设 ,则 是减函数,所以 ,
所以 ，即 所以当 时，不等式
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出 ， ，得到 的解析式，问题转化为 ，令 ， ，所以 ，令 ，根据函数的单调性判断即可；（3）问题转化为证明 ，即证 ，设 ，根据函数的单调性证明即可．
22．【答案】（1）解：由 ，得 ，
令 ， ，得 .
因为 ，消去 得 ，
所以直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 .
（2）解：点 的直角坐标为 ，点 在直线 上.
设直线 的参数方程为 ，（ 为参数），代入 ，得 .
设点 对应的参数分别为 ， ，则 ， ，
所以 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】(1) 展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对 消去 后得到直角坐标方程.(2)求出直线 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得 的值.
23．【答案】（1）解：因为 ,当且仅当 时取等号，故 ，即 .
（2）解： ，则 ， .
由已知得 在 上恒成立
在 上恒成立，
.
实数a的取值范围是 .
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义，转化求解 的值；（2）利用不等式的解集，以及已知条件转化不等式恒成立，推出 的范围即可．
广东省中山纪念中学2020届高三上学期理数12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高三上·中山月考）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 集合 ，
，
．
故答案为：B．
【分析】先分别求出集合 和 ，由此能求出 ．
2．（2019高三上·中山月考）已知命题
：函数 在R为增函数，
：函数 在R为减函数，
则在命题 ： ， ： ， ： 和 ： 中，真命题是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】 是真命题， 是假命题，∴ ： ， ： 是真命题，
故答案为：C.
【分析】利用指数函数的单调性和函数单调性的判断方法，从而判断出命题p和命题q的真假性，再利用复合命题的真假判断方法，从而找出真命题的选项。
3．（2019高一上·泉港月考）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 （ ）．
A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ， ， 且 ，所以a>b>c。
故答案为：D
【分析】利用对数的运算法则和换底公式，将a，b，c中的不同底对数转化成同底的对数，再利用对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小关系。
4．（2019高一下·韶关期末）把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 向左平移 个单位得：
将 横坐标缩短为原来的 得：
故答案为：
【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.
5．（2019高二下·绍兴期中）已知数列 的前 项和 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】由 ，可得 ，
两式相减可得： ，
即 ，
数列 是从第二项起的等比数列，公比为4，
又 所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用与的关系式结合已知条件，再利用等比数列定义，推出数列 是从第二项起的等比数列，公比为4，再利用等比数列的性质，从而求出数列 的第七项的值。
6．（2018·全国Ⅱ卷理）在 中， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵
∴AB2=1+52-2×5×（ ）=26+6=32
∴AB=
故答案为：A
【分析】先由 用二倍角公式可求 ，再由余弦定理可得。
7．（2019高三上·中山月考）已知函数 是 上的奇函数，且 的图象关于 对称，当 时， ，则 的值为 ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】根据题意，函数 的图象关于 对称，则 ，又由函数 是 上的奇函数，则 ，则有 ，变形可得 ，即函数是周期为4的周期函数，则 ，又由函数 是 上的奇函数，则 ，故 .
故答案为：C
【分析】先根据函数 的图象关于 对称且 是 上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由 时， ，即可求出结果.
8．（2019高三上·中山月考）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵tan（α ） ，则tanα ，
∵tanα ，sin2α+cos2α＝1，α∈（ ，0），
可得 sinα ．
∴
2 sinα＝2 （ ） ．
故答案为：A．
【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得 的值．
9．（2019高三上·中山月考）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 的定义域为 ，
为偶函数，排除C；
当x 时， ，排除B，D；
故答案为：A。
【分析】利用函数的定义域的求解方法、偶函数的定义和偶函数的图象特征、极限的知识，从而结合排除法找出函数的大致图象。
10．（2020·漳州模拟）若 ，则 ， ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 , .
综上 ；故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再利用1和0对应的指数函数的值和对数函数的值以及 ， ， ， 与1和0大小关系的比较，从而比较出 ， ， ， 的大小关系。
11．（2019高三上·中山月考）若函数 在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题 ，
令 解得 ；令 解得 ，
由此得函数在 上是减函数，在 上是增函数，
故函数在 处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（ 上的最小值， 解得 ，
又当 时， ，故有 ，
综上知 ，
故答案为：C。
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，进而通过比较求出函数的最小值，再利用已知条件函数 在区间 上有最小值，从而结合特殊值法和一元二次不等式求解集的方法，从而求出实数a的取值范围。
12．（2019高三上·中山月考）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度,药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的个数是（ ）
①首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；
②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；
③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；
④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．
故答案为：D．
【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．
二、填空题
13．（2019高三上·中山月考）函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，得： ，解得 即函数定义域为 。
【分析】利用对数型函数的定义域求解方法结合分式函数定义域求解方法，从而结合交集的运算法则求出函数 的定义域。
14．（2019高一上·南阳月考）已知函数 （ 且 ）恒过定点 ，则 .
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】令指数 ，则： ，
据此可得定点的坐标为： ，
则： 。
【分析】利用指数函数恒过定点的性质结合函数 （ 且 ）的图象，再利用平移变换，从而求出函数恒过的定点A的坐标，从而求出m,n的值，再利用对数与指数的互化公式求出。
15．（2019高三上·中山月考）函数 是奇函数，则 等于 ；
【答案】
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意， ，
若函数 为奇函数，则有 ，
即 ，
故 ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，化简 的解析式可得 ，结合正弦函数的性质可得若函数 为奇函数，则有 ，进一步求 即可．
16．（2019高三上·中山月考）设函数 是公差为 的等差数列， ，则 ．
【答案】
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由已知， 是公差为 的等差数列，则 ，由和差化积公式得，
，
则 ，
比较两边等式得， 且 ，解得 ，
所以 。
【分析】由已知， 是公差为 的等差数列，则 ，由和差化积公式得，，再利用已知条件 ， 得出，比较两边等式得， 且 ，解得 ，从而利用代入法结合函数解析式化简求出的值。
三、解答题
17．（2019高三上·中山月考）已知函数 , .
（Ⅰ）求函数 的最大正周期与单调增区间值;
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值与最小值.
【答案】解：（Ⅰ）
的最小正周期是: ,
令 得, ,
所以 单调增区间为 ;
（Ⅱ）因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
当且仅当 时, 取最小值, ,
当且仅当 时,即 时 取最大值, .
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；三角函数的值域与最值
【解析】【分析】（Ⅰ）利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为 ，故而可得周期，解不等式 可得单调增区间；（Ⅱ）根据 的范围，计算出 的范围，结合正弦函数的性质可得其最值.
18．（2019高三上·中山月考）在锐角 中，A，B，C的对边分别为a，b，c且 ， ， 成等差数列.
（1）求角B的值；
（2）若 且 ，求b的取值范围.
【答案】（1）解：因为 , , 成等差数列,所以
由正弦定理得 ，即
因为 ， ，又 ，所以
（2）解： ， ，
，
，又 是锐角三角形， ,
， .
【知识点】等差数列的性质；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用等差中项的性质以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数，即可求角 的值；（2）利用正弦定理，结合三角形的内角和，转化求解 的范围．
19．（2017高一上·南通开学考）已知函数f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．
【答案】（1）解：函数f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．
由于ax﹣1≠0，
则ax≠1，
∴x≠0，
故得函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
（2）对于定义域内任意的x，有
f（﹣x）=（ ）（﹣x）3= = = =f（x）
∴f（x）是偶函数．
（3）①当a＞1时，对x＞0，∴ax＞1，即ax﹣1＞0，∴ + ＞0．又x＞0时，x3＞0，f（x）= ＞0．
即 a＞1时，f（x）＞0．
由（2）知，f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），则当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＞0成立．综上可知，当a＞1时，f（x）＞0在定义域上恒成立．
②当0＜a＜1时，f（x）=
当x＞0时，0＜ax＜1，此时f（x）＜0，不满足题意；当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＜0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a＞1．
即a的取值范围为（1，+∞）．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判定；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据分母不为零可求出函数的定义域即可。（2）由奇偶性的定义判断即可。（3）对a分情况讨论，再根据函数解析式的特点求出满足题意的函数的取值范围进而得到a的取值范围
20．（2019高三上·中山月考）已知数列 的前 项和为 ， ， （ 且 ），数列 满足： ，且 （ 且 ）.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列 为等比数列；
（Ⅲ）求数列 的前 项和的最小值.
【答案】解：（Ⅰ）由 得
即 （ 且 ）
则数列 为以 为公差的等差数列
因此
（Ⅱ）证明：因为 （ ）
所以 （ ）
（ ）
（ ）
所以 （ ）
因为
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
所以
（ ）
所以 是递增数列.
因为当 时， ，当 时，
当 时，
所以数列 从第3项起的各项均大于0，故数列 的前2项之和最小.
记数列 的前 项和为 ，则 .
【知识点】数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由 得 ，所以 。（2） （ ） （ ）
所以 （ ）且 。所以得证。（3）（Ⅱ）得 所以 ，所以 是递增数列
和最小，即所有的负数项的和，只需求到 。
21．（2019高三上·中山月考）已知函数 （ ）
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）若 且 存在两个极值点，记作 ， ，若 ，求a的取值范围；
（3）求证：当 时， （其中e为自然对数的底数）
【答案】（1）解：
（※）
当 时， ， ，函数 在 上是增函数
当 时,由 得 ,解得 （舍去）
所以当 时, ,从而 ,函数 在 上是减函数;
当 时, ,从而 ,函数 在 上是增函数
综上，当 时,函数 在 上是增函数;
当 时,函数 在 上是减函数,在 上是增函数
（2）解：由（1）知,当 时, ,函数 无极值点
若 存在两个极值点,又由 为正数必有 ，由（1）极值点为 ,
依题意 即 化为 ,得
所以 的取值范围是
由（※）式得
不等式 化为
令 所以
当 时, , , ,所以 ,不合题意
当 时, ,
所以 在 上是减函数,所以 ,适合题意,即
综上,a的取值范围是 .
（3）证明：当 时,
不等式 可化为 ，即证 .
设 ,则 在 上, , 是减函数;在 上, , 是增函数,所以 ,
设 ,则 是减函数,所以 ,
所以 ，即 所以当 时，不等式
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出 ， ，得到 的解析式，问题转化为 ，令 ， ，所以 ，令 ，根据函数的单调性判断即可；（3）问题转化为证明 ，即证 ，设 ，根据函数的单调性证明即可．
22．（2019高三上·中山月考）以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，（ 为参数).
（1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，求 .
【答案】（1）解：由 ，得 ，
令 ， ，得 .
因为 ，消去 得 ，
所以直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 .
（2）解：点 的直角坐标为 ，点 在直线 上.
设直线 的参数方程为 ，（ 为参数），代入 ，得 .
设点 对应的参数分别为 ， ，则 ， ，
所以 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程
【解析】【分析】(1) 展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对 消去 后得到直角坐标方程.(2)求出直线 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得 的值.
23．（2019高三上·中山月考）已知关于x的不等式 的解集不是空集，记m的最小值为t.
（1）求t的值；
（2）若不等式 的解集包含 ，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：因为 ,当且仅当 时取等号，故 ，即 .
（2）解： ，则 ， .
由已知得 在 上恒成立
在 上恒成立，
.
实数a的取值范围是 .
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义，转化求解 的值；（2）利用不等式的解集，以及已知条件转化不等式恒成立，推出 的范围即可．
