绝密★考试结束前
浙江省A9协作体2023-2024学年高三上学期暑假返校联考
数学试题卷
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.
3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分（共60分）
一、单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知双曲线：（，），、分别为左、右焦点，点在双曲线上，，到左焦点的距离是到右焦点的距离的3倍，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C.2 D.
4.已知，，且，则的最小值是（ ）
A.18 B.16 C.10 D.4
5.若函数满足以下条件：①；②在单调递增，则这个函数可以是（ ）
A. B. C. D.
6.已知某生产商5个月的设备销售数据如下表所示：
时间代码 1 2 3 4 5
销售台数（单位：百台） 5 7 8 14 16.5
生产商发现时间代码和销售台数有很强的相关性，决定用回归方程进行模拟，则的值是（ ）
参考数据、公式：；；
若，则
A.3.2 B.3.1 C.3 D.2.9
7.已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记为第次跳跃后对应数轴上的数字（，），则满足，的跳跃方法有多少种（ ）
A.336 B.448 C.315 D.420
二、多选题（每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A.展开式中各项系数之和为256
B.展开式中各项系数绝对值之和为
C.展开式中的奇数项的二项式系数之和为128
D.展开式中的常数项是1120
10.如图，已知正方体的棱长为1，、、、分别为棱、、、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.面
B.，，，四点共面
C.三棱锥的外接球的半径是
D.平面经过三棱锥的外接球的球心
11.已知函数，直线：，若有且仅有一个正整数，使得点在直线的上方，则下列说法正确的是（ ）
A.直线恒过定点 B.
C. D.实数的取值范围是
12.已知数列为正项数列，并项和为，，满足（），则下列说法正确的是（ ）
A.长度为，，1的三条线段可以围成一个内角为的三角形
B.
C.
D.
非选择题部分（共90分）
三、填空题（每小道5分，共20分）
13.已知.（为虚数单位），则______.
14.十个数据：101、103、108、107、106、105、104、109、102、110的第60百分位数是______.
15.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与射线（）重合，则______.
16.已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于、两点，线段的中点为，过作垂直抛物线的准线，垂足为，则的最小值是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
18.（本题满分12分）已知正项数列的前项和为，.
（1）记，证明：数列的前项和，
（2）若（），求证：数列为等差数列，并求的通项公式.
19.（本题满分12分）中国的CT机打破了欧美30年的技术垄断，实现了从无到有的突破，中国的CT机不仅在技术上达到了国际水平，而且在价格上也更具竞争力.此外，中国的CT机还具有更好的定制化服务，能够更好地满足不同地区和不同医疗机构的需求，明峰医疗和联影医疗是中国CT机行业中的佼佼者.2023年8月某医院购进甲型CT机2台，乙型CT机1台，该医院决定按照以下方案调试新机器：
每台设备最多进行2次调试，只要调试成功就投入使用，每次调试费用0元：如果两次调试均不成功，则邀请生产商上门调试，生产商调试一台医院调试不成功的CT机需要额外支付1000元，生产商调试后直接投入使用；其中医院对甲机型每次调试成功的概率为，对乙机型每次调试成功的概率为，调试相互独立.
（1）求医院不需要生产商上门调试的概率；
（2）计算医院支付调试费用的分布列.
20.（本题满分12分）如图三棱柱中，是边长为2的正三角形，，二面角的余弦值为.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
21.（本题满分12分）已知函数（），.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数，的图像存在两条公切线，求实数的取值范围.
22.（本题满分12分）类似于圆的垂径定理，椭圆：（）中有如下性质：不过椭圆中心的一条弦的中点为，当，斜率均存在时，，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，使，求四边形的面积.
浙江省A9协作体2023-2024学年高三上学期暑假返校联考
数学参考答案
一、二、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A B B D C A B BCD ABD AD BCD
三、填空题
13. 14.106.5 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）
，
或…………5分（第二个答案1分）
（2）是锐角三角形，
…………7分
…………9分
，
…………10分
18.解：（1）…………2分
…………4分
（2）时，
…………8分
，
是一个首项为1，公差为4的等差数列…………10分
，当时，满足，…………12分
19.解：（1）记一台甲设备调试成功，一台乙设备调试成功，
生产商上门试，只有乙设备调试不成功
，
…………6分
（2）
…………12分
0 1000 2000 3000
20.解：（1）取的中点，连接，，
则，，，…………2分
，
，，
即，，又，平面；…………6分
（2）建系如图：则，，，，
，，，
，设面的法向量
，取…………10分
，…………12分
法二：易证面，，，，
下计算
…………10分
，面…………12分
法三：过作，因为平面，
面
在中，
面，，，…………10分
…………12分
21.解：（1）
①若，则函数的单调减区间是，无单调增区间
②若，则函数的单调准区间是，单调增区间是…………6分
（2）设的数上的切点坐标为，且，
函数上的切点坐标为，且.
又，，则公切线的斜率，则，所以，
则公切线方程为，即，…………10分
代入得：，
则，整理得，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不同的实版，
设，，则，
令得，
当时，，单调递 ，时，，单调递减，
又可得，则时，；
时，，则函数的大致图象如下：
所以，解得，故实数的取值范围为.…………12分
22.解：（1）设，因为，
，代入椭圆得：
：…………4分
（2）设，则
①直线不与坐标轴重合时，为中点
，
直线：，…………7分
代入椭圆：的方程得：
即：，设，，
…………9分
…………11分
它法：利用比例关系转化：，酌情给分
②直线与坐标轴重合时，不妨取，，，
或，，，…………12分
综上所述：四边形的面积是.
