2022-2023学年江西省部分学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平行四边形中，( )
A. B. C. D.
2. 下列函数为偶函数且在上为减函数的是( )
A. B. C. D.
3. 已知，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
4. 已知一扇形的面积为，所在圆的半径为，则扇形的周长为( )
A. B. C. D.
5. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
6. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为( )
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
8. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂的历史按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化如图所示的漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图所示，若以为始边，射线绕着点逆时针旋转，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数，则( )
A. 的图象关于对称 B. 的图象关于直线对称
C. 为奇函数 D. 为偶函数
10. 在中，，，，，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
11. 已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，，满足此条件的三角形只有一个，则的值可能为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 既是周期函数又是奇函数 D. 的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的最小正周期为______ ，最小值为______ ．
14. 已知函数的图象关于点对称，则 ______ ．
15. 已知为线段上的任意一点，为直线外一点，关于点的对称点为，关于点的对称点为，若，则 ______ ．
16. 如图，某公园内有一个边长为的正方形区域，点处有一个路灯，，，现过点建一条直路分别交正方形区域两边，于点和点，若对五边形区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角；
若，的周长为，求．
18. 本小题分
已知平面向量，，，且．
求的坐标；
求向量在向量上的投影向量的模．
19. 本小题分
已知角的始边为轴非负半轴，终边过点．
求的值．
已知角的始边为轴非负半轴，角和的终边关于轴对称，求的值．
20. 本小题分
赵爽是我国古代数学家，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知．
证明：为的中点．
求向量与夹角的余弦值．
21. 本小题分
如图，在平面四边形中，，．
若，，，求的面积；
若，，求的最大值．
22. 本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
将函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上无零点，求正数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：平行四边形，
．
故选：．
利用平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：的定义域为，为奇函数，不满足条件．
B.在上为增函数，不满足条件．
C.是偶函数，在上是减函数，满足条件，
D.为偶函数，在上为增函数，不满足条件．
故选：．
根据函数奇偶性和单调性分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，分别判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，三点共线，．
，，
，．
故选：．
由题意，利用三点共线、两个向量共线的性质，求得的值．
本题主要考查三点共线、两个向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题知：由扇形的面积，且，为弧长，
所以弧长，
则扇形的周长为．
故选：．
根据扇形面积公式求弧长，进而求扇形的周长．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：已知，，分别为三个内角，，的对边，且，
利用正弦定理：，
化简得：，
由于、，
所以，
故，
所以．
故选：．
直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换判断三角形的形状．
本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，即．
故选：．
利用三角函数单调性结合中间值即可比较大小．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知海里，，，
所以，
所以，，所以，
在中，由正弦定理可得，
即，解得海里，
故选：．
由题意可知的角和边，再由正弦定理可得的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，，
则
．
故选：．
根据题意可得，，，然后结合余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果．
本题以新情景为载体，主要考查了和差角公式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，A错误；
，B正确；
，所以是奇函数，C正确；
易知，所以不是偶函数，D错误．
故选：．
利用余弦型函数的图象及其性质，逐一分析选项即可．
本题考查了余弦函数的图象性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由正弦定理得，则，又，
且满足条件的三角形只有一个，即有唯一的角与其对应，所以
故．
故选：．
由正弦定理及三角函数的图象与性质可判定结果．
本题考查了正弦定理及三角函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由于函数，对于，因为，
所以的图象关于直线对称，故A正确．
对于，因，
所以的图象关于点对称，故B正确．
对于，，，
则，所以不是奇函数，故C错误．
对于，令，则，
当时，；当或时，，
当且仅当时，等号成立，此时函数取得最大值，故D正确．
故选：．
对于，验证即可；对于，验证即可；对于，找反例即可判断；对于，令，则原函数可化为，分，结合基本不等式即可判断．
本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：的最小正周期，最小值为．
故答案为：，．
由已知利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为的图象关于点对称，
所以，所以，
因为，所以．
故答案为：．
由正切函数的图象关于点对称求解．
本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，
，
，
，，三点共线，
，．
故答案为：．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算，平面向量基本定理，三点共线的运用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，，
，
的面积为，
的面积为，
而的面积，
，即，
，，
由基本不等式得，解得，即，当且仅当，即，时，等号成立，
的面积的最小值为，
五边形面积的最大值．
故答案为：．
设和的长，使的面积最小，即可使五边形面积最大，结合基本不等式求解即可．
本题考查了三角形的面积计算，基本不等式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由余弦定理可得，
解得，因为是的一个内角，故；
因为，的周长为，所以，
由正弦定理，可得，
解得．
【解析】由余弦定理计算即可；
由正弦定理计算即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：设，，，且，
，，
；
，，
在上的投影向量的模为：．
【解析】设，根据可得出，再根据即可求出，的值；
可求出的坐标，然后可求出的值，然后根据投影向量模的计算公式即可求出投影向量的模．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，投影向量的模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：由题可知，则，
所以．
因为角和的终边关于轴对称，
所以，，
所以．
【解析】由三角函数定义得，值，然后由诱导公式化简后代入计算．
写出，关系，求出，的值，再代入两角差的正弦公式求解即可．
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
20.【答案】解：证明：根据题意，在中，根据正弦定理，，
，
，
为的中点；
设，则由知，且，
在中，根据余弦定理得，，，
．
【解析】根据条件，在中，根据正弦定理即可得出，从而得出为的中点；
可设，，在中，根据余弦定理即可求出，根据进行数量积的运算即可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出向量与夹角的余弦值．
本题考查了正余弦定理，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量数量积的计算公式，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：在中，
，，，
则，
，
，
的面积为；
设，，
则，，
在中，，即，
在中，，则，
，
当时，的最大值为．
【解析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解；
根据已知条件，结合正弦定理，推出，，再结合三角函数的恒等变换，即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为，
可得，
因为在处附近单调递增，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为在处附近单调递减，且当时，在处的第一次取值为，
所以，可得，即
将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图象，
再把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
则，
因为，
所以，，
则，，解得，，
由，
可得，即正数的取值范围为．
【解析】由，可求得，进而可求，又由题意可求，进而可求的值，即可得解函数的解析式；
由题意利用函数的图象变换可求，进而利用余弦函数的性质即可求解．
本题考查了函数的图象变换，由的部分图象确定其解析式以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
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