第三单元 倍数与因数
1、倍数与因数的意义。
（1）如果a×b=c(A.B.c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。
（2）一个数的倍数大于或等于这个数的因数，一个数的因数小于或等于这个数的倍数。
（3）只在自然数（0除外）的范围内研究倍数和因数。
2、求一个数的倍数的方法。
用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积都是这个数的倍数。
3、判断两个数成倍数关系的方法。
(1)列乘法算式，用积判断。
(2)列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。
1．对于算式4×8＝32，下面说法错误的是（ ）。
A．4和8都是因数，32是倍数 B．32是4和8的倍数
C．4和8是32的因数 D．B、C说法都正确
2．（2021秋·山西运城·五年级统考期末）选哪种包装盒能正好把80瓶饮料装完？（ ）。
①每6瓶装一盒 ②每5瓶装一盒 ③每4瓶装一盒 ④每9瓶装一盒
A．①和② B．②和③ C．③和①
3．一个数的最小倍数是9，这个数是( )，一个数最大因数是15，这个数是( )。
4．（2022秋·山西吕梁·五年级校考期末）请你根据给出的自然数5，9，45，写出一道乘法算式( )，从乘法算式中可以看出5和9都是45的( )。
5．有大小不同的一些箱子，把24瓶饮料分装在箱子里，要求至少要装两箱，每个箱子里的瓶数相同，有多少种不同的包装方式？请列举出来。
6．（2022秋·陕西咸阳·五年级统考期末）五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？
7．（2021秋·广东河源·五年级统考期末）有45瓶饮料﹐用下面的一种包装盒包装，哪种包装盒能把它们正好装完？
1、2的倍数的特征。
位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2、5的倍数的特征。
个位上是0或5的数，都是5的倍数。判断一个数是不是5的倍数，就看这个数的个位上是不是0或5。
3、偶数和奇数。
像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。
像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。
4、同时是2，5的倍数的特征。
个位上是0的数。
5、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
6、同时是2，3的倍数的特征。
个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数。
7、同时是3和5的倍数的特征。
个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数。
8、同时是2、3、5的倍数的特征。
各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。
1．三个连续的偶数，中间一个是n，最大的为（ ）。
A．n＋1 B．n＋2 C．n＋3
2．（2023秋·陕西汉中·五年级统考期末）在1，2，4，5，10，34，68，109这八个数中，偶数有（ ）个。
A．4 B．5 C．6 D．7
3．在下面各数中，同时是2，3和5的倍数的数是（ ）。
A．402 B．105 C．510
4．（2023秋·辽宁沈阳·五年级统考期末）已知一个五位数□691□，它同时是2、3和5的倍数，所有符合题意的五位数的个数是（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若一个正方形的边长是一个奇数，则这个正方形的周长是( )数。
6．（2023春·江苏宿迁·五年级校考期末）要使265＋37□的和为奇数，□里可以填的数字有( )。
7．574至少加上( )才能成为5的倍数，至少减去( )才能成为3的倍数。
8．（2023春·陕西西安·五年级统考期末）奇思的微信里有205元钱，至少增加 元就是3的倍数，至少增加 元就同时是2和5的倍数。
9．妈妈在水果超市买来62个芒果，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？
10．（2021秋·陕西咸阳·五年级统考期末）便民超市新运进365瓶无菌消毒洗手液，如果每2瓶装一提，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？
11．学校买来65盆鲜花，每5盆摆一个圆圈，能整好摆完吗？如果每3盆摆一个圆圈，至少需要拿走几盆花？如果每9盆摆一个圆圈，至少需要再买多少盆花？
12．（2022秋·五年级单元测试）体育课上，五（1）班50名同学站成一列，同学们从前往后报数：1、2、3……49、50。
（1）所报的数是2的倍数的同学去跳绳，参加跳绳的有多少人？
（2）余下的同学中，所报的数是3的倍数的同学去踢毽子，参加踢毽子的有多少人？
1、找一个数的全部因数，看哪两个数相乘等于这个数，这两个数就是这个数的因数。
2、最小因数都是1。
3、最大因数是自己。
4、写出一个数的全部因数要按顺序从小到大写出，做到不重复，不遗漏。
5、因数在实际生活中应用很多，如装修房子时粘地板砖，需要 根据地板砖的大小计算粘几行、几列，学生们战队的时候要计算站几行，每行几人等。
6、质数。
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。最小的质数是2。
7、一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。最小的合数是4。
8、判断一个数是质数还是合数的方法:看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。
9、100以内的质数:2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。
1．下面（ ）的最大因数与最小因数的差是99。
A．101 B．100 C．99 D．98
2．2～15的自然数中，质数有（ ）个。
A．6 B．7 C．8
3．（2021秋·广东揭阳·五年级统考期末）下列说法正确的是（ ）。
A．如果既是2的倍数，又是3的倍数，在□里可以填2、5、8
B．质数乘质数的积一定是合数
C．，所以7，6是因数，42是倍数
4．（2023春·辽宁营口·六年级校考期中）边长为整数厘米，面积为165平方厘米的形状不相同的长方形共有（ ）种。
A．2 B．3 C．4 D．无数
5．既是24的因数，又是6的倍数的数有( )个。
6．( )和( )这两个质数的和是22，积是85。
7．（2023秋·辽宁大连·五年级统考期末）1—10中，既是奇数又是合数的是( )，既不是奇数也不是合数的是( )。
8．（2023秋·五年级课时练习）36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，……36的全部因数：( )
9．有大小不同的一些箱子，把30瓶饮料分装在箱子里，要求至少要装两箱，每个箱子里的瓶数相同，有多少种不同的包装方式？请列举出来．
10．新冠肺炎流行期间，学校停课不停学，采用钉钉直播的方式在线学习。依依的钉钉密码是一个8位数，你能猜出她的密码吗？
从左边起，第一位是最小的合数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是10以内最大的奇数，第五位的最大的因数是8，第六位是10以内3的倍数的同时又是偶数，第七位是10以内最大的合数，第八位是偶数中唯一的质数。
11．（2020秋·辽宁·五年级校考期末）已知是A质数，而且A+4，A+6，A+10都是质数，求符合条件的最小的质数是几？
11．（2022秋·陕西咸阳·五年级统考期末）为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？
参考答案
考点1 倍数与因数
1．A
【解析】
【分析】
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。
【详解】
因为4×8＝32，则32÷8＝4，所以4和8是32的因数，32是4和8的倍数，不能说成4和8都是因数，32是倍数，因数和倍数是相互依存的，是两个数之间的关系。
答案：A
此题考查因数和倍数的意义，因数和倍数是两个数之间的关系。
2．B
【分析】要把80瓶饮料正好装完，需要每盒装的瓶数是80的因数，据此解答。
【详解】80÷6＝13……2；80÷5＝16；80÷4＝20；80÷9＝8……8
5和4是80的因数。
故选择：B
此题考查了因数和倍数的认识，属于基础类题目。
3．9 15
【解析】
【分析】
一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，据此解答。
【详解】
一个数的最小倍数是9，这个数是9，一个数最大因数是15，这个数是15。
此题考查了因数和倍数的认识，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
4．5×9＝45（或9×5＝45） 因数
【分析】如果a×b＝c(a、b、c都是非0的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
【详解】请你根据给出的自然数5，9，45，写出一道乘法算式5×9＝45，从乘法算式中可以看出5和9都是45的因数。
根据因数和倍数的意义即可解答。
5．见详解
【解析】
【分析】
根据题意，至少要装两箱，每个箱子的瓶数相同，那么把24分解成两个数的积，其中的一个数必须大于或等于2，这两个因数中一个是每箱的瓶子数，另一个就是需要装的箱子数。
【详解】
24＝2×12＝3×8＝4×6
答：一共有6种包装，可以是：每箱2瓶，需要12箱；
每箱12瓶，需要2箱；
每箱3瓶，需要8箱；
每箱8瓶，需要3箱；
每箱4瓶，需要6箱
每箱6瓶，需要4箱。
解决本题先理解题意，然后把24分解成两个数的乘积，从而解决问题。
6．47名
【分析】根据题意可知，这个班的学生人数在40~50人之间，而这个班的学生比40~50人之间的8的倍数少1，根据求一个数的倍数方法解答。
【详解】在40－50人之间8的倍数是48，
48－1＝47（人）
答：五（1）班有47名学生。
此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法及应用。
7．装3瓶和5瓶的包装盒
【分析】依据整除的意义，谁能整除45，也就是45是哪种包装盒上数字的整数倍，就选那种包装盒。据此解答即可。
【详解】45÷2＝22（盒）……1（瓶）
45÷3＝15（盒）
45÷5＝9（盒）
所以，用装3瓶和5瓶的包装盒能把它们正好装完。
此题主要依据整除的意义解决问题。
考点2 2、5、3的倍数的特征
1．B
【解析】
【分析】
相邻的两个偶数相差2，中间的为n，则最小的为n－2；最大的为n＋2，据此解答。
【详解】
根据分析可知，三个连续的偶数，中间一个是n，最大的为n＋2。
答案：B
本题主要考查用字母表示数，同时要明确相邻的两个偶数相差2。
2．B
【分析】能被2整除的数叫做偶数。偶数的个位上是0、2、4、6或8，据此解答。
【详解】根据偶数的特点，2、4、10、34、68是偶数，偶数有5个。
故答案为：B
掌握偶数个位上的数的特点是解题的关键。
3．C
【解析】
【分析】
根据2、3、5的倍数特征进行解答：2的倍数特征必须被2整除，也就是说是偶数；3的倍数特征每个数位上的数相加可以被3整除；5的倍数特征是末尾有0和5的数，那么同时满足2和5的倍数特征这个数末尾必须是0，并且各个数位上的数相加的和可以被3整除。
【详解】
根据分析：同时满足2，3和5的倍数特征这个数末尾必须是0，并且各个数位上的数相加的和可以被3整除，符合条件的是510。
答案：C
牢记2，3和5的倍数特征是解答本题的关键。
4．C
【分析】2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数，3的倍数特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，由于这个数同时是2、3、5的倍数，那么个位上是0，之后根据3的倍数特征找出万位的数即可。
【详解】由分析可知：
个位上的数是0
6＋9＋1＋0＝16
16＋2＝18
16＋5＝21
16＋8＝24
所以这个五位数可以是：26910、56910、86910；共3个。
故答案为：C
本题主要考查2、3、5的倍数特征，熟练掌握它们的特征并灵活运用。
5．偶
【解析】
【分析】
根据正方形周长公式：正方形周长＝边长×4；4是偶数；根据：奇数×偶数＝偶数；正方形边长是奇数，它的周长一定是偶数，据此解答。
【详解】
根据分析可知，若一个正方形的边长是一个奇数，则这个正方形的周长是偶数。
本题考查正方形周长公式的应用，以及奇偶数的运算性质。
6．0、2、4、6、8
【分析】奇数是指整数中不能被2整除的数，它们的个位数字为：1、3、5、7、9；偶数是指整数中能被2整除的数，它们的个位数字为：0、2、4、6、8；奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，因为265的个位是5，为奇数，所以要使265＋37□的和为奇数，那么37□为偶数，所以□里可以填的数字有：0、2、4、6、8。
【详解】由分析可知：
要使265＋37□的和为奇数，□里可以填的数字有0、2、4、6、8。
本题考查奇数和偶数的定义，以及它们和的奇偶性。
7．1 1
【解析】
【分析】
5的倍数特征：个位上是0或者5的数；
3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。
【详解】
574的个位是4，只有个位是0或5时，才是5的倍数，4＋1＝5，至少加上1；
5＋7＋4＝16，15是3的倍数，16－15＝1，至少减去1。
解答本题的关键是明确3、5倍数的特征。
8．2 5
【分析】3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除；
2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：个位上的数字是0和5的数是5的倍数。
同时是2和5的倍数的数的特征：个位上是0，据此解答。
【详解】由分析可得：
205＋2＝207
2＋0＋7＝9
9是3的倍数，所以207能能被3整除，是3的倍数。
205＋5＝210
210个位上是0，所以同时是2和5的倍数。
综上所述：奇思的微信里有205元钱，至少增加2元就是3的倍数，至少增加5元就同时是2和5的倍数。
本题考查了2、3和5的倍数特征，若一个数该数是2和5的倍数，也就是既要符合2的倍数特征，也要符合5的倍数特征，缺一不可。
9．如果每2个装一袋，能正好装完；如果每5个装一袋，不能正好装完
【解析】
【分析】
根据题意，用62除以2，如果没有余数，就正好装完，如果有余数，就不能装完；再用62除以5，如果没有余数，就正好装完，如果有余数，就不能装完，据此解答。
【详解】
62÷2＝31（袋）
没有余数，正好装完；
62÷5＝10（袋）……2（个）
有余数，不能正好装完。
答：如果每2个装一袋，能正好装完，如果每5个装一袋，不能正好装完。
此题考查能被2、5整除的数的特征及其运用。
10．见详解
【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数。据此解答。
【详解】答：因为365不是2的倍数，所以每2瓶装一提，不能正好装完。因为365是5的倍数，所以每5瓶装一箱，能正好装完。
此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。
11．见详解
【解析】
【分析】
根据是5的倍数的特征，即可判断每5盆摆一个圆圈，能否正好摆完；用花盆的数量除以3，可得余数是2，所以如果每3盆摆一圈，至少要拿走2盆花；最后65不能被9整除，而大于65且是9的整数倍的最小数是72，所以每9盆摆一个圆圈，至少需要再买（72－65）盆花，据此解答即可。
【详解】
（1）因为65是5的13倍，所以每5盆摆一个圈，能正好摆完；
（2）因为65÷3＝21……2（盆），
所以如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花；
（3）因为大于65且是9的整数倍的最小数是72，72－65＝7（盆）
所以如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。
答：每5盆摆一个圈，能正好摆完；如果每3盆摆一圈，至少需要拿走2盆花；如果每9盆摆一圈，至少需要再买7盆花。
此题主要考查了公倍数应用题，解答此题的关键是熟练掌握是6、5、9的倍数的特征。
12．（1）25人；（2）8人
【分析】先找出50以内偶数有多少个，再找出50以内的奇数是3的倍数的有几个，即可解答。
【详解】（1）50以内是2的倍数的有2、4、6、8、10、12、14、16、18……48、50，共有25个；
答：参加跳绳的有25人。
（2）50以内的奇数中是3的倍数的有3、9、15、21、27、33、39、45，共8个；
答：参加踢毽子的有8人。
此题主要考查的是能被2整除的数的特征和能被3整除的数的特征，要熟练掌握。
考点3 找因数和找质数
1．B
【解析】
【分析】
一个数最大的因数是它本身，最小的因数是1，用最大的因数减最小的小数，得到的结果是99即可选择。
【详解】
A．101最大的因数是101，最小的因数是1；差值：101－1＝100；不符合题意；
B．100最大的因数是100，最小的因数是1；差值：100－1＝99，符合题意；
C．99最大的因数是99，最小的因数是1；差值：99－1＝98，不符合题意；
D．98最大的因数是98，最小的因数是1；差值：98－1＝97，不符合题意。
答案：B。
本题主要考查因数的意义，注意一个数的最大因数是它本身，最小的因数是1。
2．A
【解析】
【分析】
质数是除了1和它本身以外不再有其他的因数的数，2～15的自然数中选择即可。
【详解】
在2－15的自然数，质数有2、3、5、7、11、13；
答案：A
明确质数的意义，是解答此题的关键。
3．B
【分析】根据2的倍数特征：个位数是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数，A选项据此解答；
一个数只要1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数除以1和它本身，还有其他因数，这样的数叫做合数；合数最少有3个因数，B选项据此解答；
根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整数（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，C选项据此解答。
【详解】A．28□，□内填2；282；282是2的倍数，是3的倍数
□内填5，285；285不是2的倍数，是3的倍数；
□内填8，288是2的倍数，是3的倍数，
如果28□既是2的倍数，又是3的倍数，在□内可以填2、8；
原题干说法错误；不符合题意；
B．两个质数相乘，积的因数除了1和它本身，还有质数，积一定是合数；
原题干说法正确，符合题意；
C．7×6＝42，所以7、6是42的因数，42是7、6的倍数；
原题干说法错误，不符合题意。
下列说法正确的是质数乘质数的积一定是合数。
故答案为：B
熟练掌握2的倍数特征、3的倍数特征，质数与合数的意义以及因数与倍数意义是解答本题的关键。
4．C
【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。据此可知长方形的长和宽是165的因数，根据长方形的面积＝长×宽，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，能写出几组算式就是有几种这样的长方形。据此解答。
【详解】165＝1×165＝3×55＝5×33＝11×15
边长为整数厘米，面积为165平方厘米的形状不相同的长方形共有4种。
故答案为：C
此题是考查因数的意义和找因数的方法，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。
5．3
【解析】
【分析】
先找出24的因数，然后找出24以内（包括24）的6的倍数，进而结合题意，得出结论。
【详解】
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
24以内的6的倍数有：6，12，18，24；
所以既是24的因数，又是6的倍数的数有：6，12，24共3个。
明确找一个数因数的方法和找一个数倍数的方法，是解答此题的关键。
6．5 17
【解析】
【分析】
把85分解质因数即可得出结论。
【详解】
85＝5×17
所以，两个质数的和是22，积是85，这两个质数是5和17。
此题考查了分解质因数的方法。
7．9 2
【分析】自然数中不能被2整除的数叫奇数；合数是自然数中除能被1和本数整除外，还能被其他数整除的数。1既不是质数也不是合数。
【详解】1—10中，既是奇数又是合数的是（9），既不是奇数也不是合数的是（2）。
掌握奇数和合数的概念是解答本题的关键。
8．1，2、3，4，6，9，12，18，36。
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；由此解答即可。
【详解】36÷1＝36；1和36是36的因数；
36÷2＝18；2和18是36的因数；
36÷3＝12；3和12是36的因数；
36÷4＝9；4和9是36的因数；
36÷6＝6；6是36的因数。
36的因数有：1，2、3，4，6，9，12，18，36。
36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，……36的全部因数：1，2、3，4，6，9，12，18，36。
解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可。
9．有7种；
装2箱，每箱装15瓶；
装3箱，每箱装10瓶；
装5箱，每箱装6瓶；
装6箱，每箱装5瓶
装10箱，每箱装3瓶；
装15箱，每箱装2瓶；
装30箱，每箱装1瓶
10．43198692
【解析】
【分析】
最小的合数是4；因数只有1和3的数是3；既不是合数也不是质数的数是1；10以内最大的奇数是9；最大的因数是8的数是8；10以内3的倍数的同时又是偶数的数是6；10以内最大的合数是9；偶数中唯一的质数是2；据此解答。
【详解】
由分析可知：从左面起，第一位是4；第二位是3；第三位是1；第四位是9；第五位的最大的因数是8；第六位是10以内3的倍数，是6；第七位是9；第八位是2；
所以这个八位数是43198692。
此题考查的目的是理解掌握奇数、偶数、倍数、质数、合数的概念及意义，明白密码是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字组成的。
11．7
【详解】已知是A质数，而且A+4，A+6，A+10都是质数，
当A＝2时，2+4＝6，是合数，不合题意；
当A＝3时，3+4＝7，3+6＝9，9是合数，不合题意；
当A＝5时，5+4＝9，9是合数，不合题意；
当A＝7时，7+4＝11，7+6＝13，7+10＝17，11、13、17都是质数，符合题意；
符合条件的最小的质数是7；
答：符合条件的最小的质数是7．
12．6种
【分析】列乘法算式找出40的所有因数，即：40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，可得，40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，注意“40＝1×40”不符合题意，据此解题即可。
【详解】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8
所以，可以排成：2行每行20人；20行每行2人；4行每行10人，10行每行4人；5行每行8人；8行每行5人；
答：一共有6种排法。
找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个乘数都是这个数的因数。（2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。
