第1章：有理数（填空题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、填空题
1．已知实数、满足，则 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根和平方数的非负性可得，然后把a，b的值代入式子中，进行计算即可解答；
【详解】∵，
∴．
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．过去的一年，江西克服了夏秋冬连旱的极端天气影响，“三农”工作又迎来了一个丰收年.2022年全省的粮食产量达到亿斤，连续10年稳定在430亿斤以上.数据430亿用科学记数法可表示为 .
【答案】
【分析】将表示成 （，n为整数）的形式即可．
【详解】解： ．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数表示成 （，n为整数）的形式，确定a和n的值成为解答本题的关键．
3．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则输出的结果为 ．
【答案】8
【分析】根据运算程序依次进行计算每次运算结果即可得解．
【详解】解：由，第1次运算的结果为，
第2次运算的结果为8，
∵，
∴输出的结果为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意，分清运算顺序是解题的关键．
4．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出圆弧所对应的半径长，然后用减去半径即可得．
【详解】解：由勾股定理得：圆弧所对应半径的长为：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，正确利用勾股定理求出半径长是解题的关键．
5．如图，在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C为异于点B的一点，，则点C表示的数为 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件可以确定线段的长度，然后根据，即可求出点C所表示的的数．
【详解】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为和，
∴，
根据题意，得点C（异于点B）表示的数为：
故答案为．
【点睛】本题考查了数轴，关键是根据数轴上的点表示的数求出线段的长度．
6．化简： ， ， ．
【答案】 7
【分析】根据相反数的意义化简即可解答．
【详解】解：，，．
故答案为：7，，．
【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数．
7．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式；①，；②；③；④，⑤．其中正确的有 （填序号）．
【答案】①④⑤
【分析】根据数轴可得，，再根据有理数的运算法则进行判断即可．
【详解】解：①根据数轴可得：，；故①正确；
②∵，∴；故②不正确；
③∵，，∴；故③不正确；
④∵，∴，故④正确；
⑤∵，，∴，∴，故⑤正确；
综上：正确的有①④⑤；
故答案为：①④⑤
【点睛】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数左边<右边；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；以及有理数的运算法则．
8．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为 ．
【答案】0
【分析】数轴上A、C两点间的单位长度是，点C对齐刻度，所以数轴的单位长度是，的长度是，除以得在数轴上的单位长度．
【详解】∵，
∴数轴的单位长度是，
∵，
∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度，
∴点B所对应的数b为．
故答案为：0．
【点睛】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．
9．的相反数 ，倒数 ，绝对值 ．
【答案】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，绝对值的意义计算即可．
【详解】的相反数，倒数，绝对值，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值，熟练掌握定义是解题的关键．
10．若有理数a，b满足，则的值为 ．
【答案】0或2或
【分析】分情况讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：设，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
则的值为0或2或-2．
故答案为∶0或2或．
【点睛】此题考查了有理数的除法，乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．
【答案】0
【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；
【详解】∵由数轴可得：，且
当 时
原式
故答案为0
【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．
12．在数轴上，表示数a的点在表示数b的点的右边，且，，则 ．
【答案】3或9/9或3
【分析】根据，得到，，根据数的点总是在表示数的点的右边，得到，即可，或，，最后代人计算即可．
【详解】解：，，
，，
数的点总是在表示数的点的右边，
，
，或，，
或9，
故答案为：3或9．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，有理数的减法，得到，的值是解题的关键．
13．在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：，，
，且距离原点比较远，，且距离原点比较近，
中点所表示的数在原点的左侧，
，
①正确；
由数轴所表示的数可知，可能大于0，也可能小于0，
符号不确定，
②不正确；
，
表示数的点到表示数的点距离既可以表示为，也可以表示为，
，
③正确；
在原点的左侧，而在原点右侧，
表示数的点到表示数的点距离为，
到的距离为，
即：
④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的定义．掌握数轴表示数的方法以及两点距离的定义是解题的关键，也是本题的难点
14．在数中任取三个数相乘，其中最大的积是 ．
【答案】75
【分析】根据有理数的乘法和有理数的大小比较求出最大的积，取绝对值较大的数相乘，其中两个负数或者全是正数．
【详解】解：最大的积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，熟记运算法则并确定出最大是解题的关键．
15．如图，数轴上有六个点A，B，C，D，E，F，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为，设这六个点表示的数的和为n．
（1）若，则点F表示的数是 ；
（2）已知点F表示的数是8，则m的值为 ，n的值为 ．
【答案】 4 3 3
【分析】（1）根据点B表示的数和m的值即可求出点F表示的数；
（2）根据的长度即可求单位长度m，再分别求出各点表示的数即可求得n．
【详解】（1）解：∵点B表示的数为，，
∴点F表示的数为：，
故答案为：4．
（2）解：点B表示的数为，点F表示的数是8，
∴，
∴相邻两点之间的距离，
∴．
∴点A，B，C，D，E，F表示的数分别为：，2，5，8，
∴这六个点表示的数的和．
故答案为：3，3．
【点睛】本题考查了有理数的加减法、数轴上点之间的距离，根据的长度求单位长度是解题的关键．
16．若，则的值为 ；
【答案】1
【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值进而得出答案．
【详解】∵，
∴，，解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
17．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，且，则C点表示的数是 ．
【答案】或
【分析】设点C表示的数为x，根据点A表示的数为，点B表示的数为6，得到，，根据，或，且， 分类讨论即得．
【详解】设点C表示的数为x，
∵点A表示的数为，点B表示的数为6，
∴，，
∵，
∴，，
或，．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，分类讨论．
18．据统计，疫情期间“钉钉”支持了全国600万老师线上教学．600万精确到 位．
【答案】万
【分析】一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位，由此即可得．
【详解】解：600万，
所以600万精确到万位，
故答案为：万．
【点睛】本题考查了精确度，熟练掌握确定精确度的方法是解题关键．
19．计算 ．
【答案】8
【分析】先去括号，再计算有理数的加减法即可得．
【详解】解：原式
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．
20．的倒数的绝对值的相反数为 ．
【答案】
【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
∴的绝对值是，
∴的相反数为，
∴的倒数的绝对值的相反数为，
故答案为．
【点睛】本题考查了倒数的定义，绝对值的定义，相反数的定义，掌握倒数的定义及相反数的定义是解题的关键．
21．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为 ．
【答案】或或
【分析】根据为不超过x的最大整数且，可知是整数，根据，得到a为0或或，根据，得到，得到x为或或．
【详解】∵不超过x的最大整数为，，
∴是整数，
∵，
∴a为0或或，
∵，
∴，
∴，，
∴x为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了新定义“不超过x的最大整数”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论．
22．已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，则点Р表示的数是 ．
【答案】或
【分析】由得，所以，再由，得，，得，
所以，或，，再求点P表示的数即可．
【详解】∵，，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
∴，或，．
当，时，
∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，
∴点P表示的数为；
当，时，
∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，
∴点P表示的数为；
∴点P表示的数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数及中点的性质，熟练掌握绝对值的相关概念及运算法则是解题的关键．
23．比大而不大于的所有整数为 ，它们的和为 ．
【答案】 0，1，2，3 6
【分析】首先根据题意可求得比大而不大于的所有整数，再求和即可求解．
【详解】解：比大而不大于的所有整数有：0，1，2，3，
它们的和为：，
故答案为：0，1，2，3；6．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较及加法运算，求得所有整数是解决本题的关键．
24．在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，且．下列结论：；；；④．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：∵
∴a是负数且离原点较远，b是正数且离原点较近，
∴中点所表示的数在原点的左侧，
∴，
因此①正确；
由数轴所表示的数可知，，或，
∴不正确，因此②不正确；
∵，
∴表示数a的点到表示数的点距离既可以表示为，也可以表示为，
∴，
因此③正确；
∵表示数的点在原点的左侧，而表示数b的点在原点的右侧，
∴表示数的点到表示数b的点距离为，
∴a与b的对应点间的距离为，也是，
∴，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法以及两点距离的定义是正确解答的前提．
25．已知为任意有理数，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解．
【详解】解：当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
故答案为：
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
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第1章：有理数（填空题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、填空题
1．已知实数、满足，则 ．
2．过去的一年，江西克服了夏秋冬连旱的极端天气影响，“三农”工作又迎来了一个丰收年.2022年全省的粮食产量达到亿斤，连续10年稳定在430亿斤以上.数据430亿用科学记数法可表示为 .
3．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则输出的结果为 ．
4．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ．
5．如图，在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C为异于点B的一点，，则点C表示的数为 ．
6．化简： ， ， ．
7．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式；①，；②；③；④，⑤．其中正确的有 （填序号）．
8．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为 ．
9．的相反数 ，倒数 ，绝对值 ．
10．若有理数a，b满足，则的值为 ．
11．有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．
12．在数轴上，表示数a的点在表示数b的点的右边，且，，则 ．
13．在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
14．在数中任取三个数相乘，其中最大的积是 ．
15．如图，数轴上有六个点A，B，C，D，E，F，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为，设这六个点表示的数的和为n．
（1）若，则点F表示的数是 ；
（2）已知点F表示的数是8，则m的值为 ，n的值为 ．
16．若，则的值为 ；
17．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，且，则C点表示的数是 ．
18．据统计，疫情期间“钉钉”支持了全国600万老师线上教学．600万精确到 位．
19．计算 ．
20．的倒数的绝对值的相反数为 ．
21．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为 ．
22．已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，则点Р表示的数是 ．
23．比大而不大于的所有整数为 ，它们的和为 ．
24．在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，且．下列结论：；；；④．其中所有正确结论的序号是 ．
25．已知为任意有理数，则的最小值为 ．
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