第14章：整式的乘法与因式分解（选择题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、单选题
1．已知中不含的二次项，则的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中, 要按照先乘方后乘除再加减的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似；若多项式中不含某一项，则该项系数为0．
【详解】解：
∵原式中不含的二次项，
∴，解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟记运算规则是关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方的计算法则，逐一判断，即可解答．
【详解】解：，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，熟知计算法则是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方以及幂的乘方、平方差公式、多项式除以单项式等运算法则分别进行判断即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
4．如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据4个长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解．
【详解】解：图1阴影的面积为：，
图2阴影的面积为：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键．
5．已知满足，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，两式相加可得，根据完全平方式将其变形为，由非负数的性质即可得出，的值，以此即可求解．
【详解】解：，，
，，
两式相加得：，
即，
，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题关键是熟练掌握完全平方公式：．
6．计算的结果是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先根据平方差公式计算，再按照有理数的加减法计算即可．
【详解】，
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式的运用，解题关键是掌握平方差公式．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
8．若，则和的值分别是（ ）
A．6，0 B．9，3 C．6，2 D．9，0
【答案】B
【分析】利用完全平方公式将等式右侧展开，再根据等式左右两边对应项的系数相等，即可求出和的值．
【详解】解：，
，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是掌握．
9．如图，把一块面积为的大长方形木板分割成个正方形①、②、③和个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为，则标号为②的正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】设标号为①的正方形的边长为，标号为②的正方形的边长为，根据图形及已知条件可将④⑤长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为及大长方形的面积为，得出与的数量关系，然后解得即可．
【详解】解：设标号为①的正方形的边长为，标号为②的正方形的边长为，则标号为④⑤的长方形长为，宽为，
∵每个小长方形的面积均为，
∴，
∴，
∴．
∵大长方形的长等于标号为⑤的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为⑤的小长方形的宽与标号为③的正方形的边长的和，
∴大长方形的长为：宽为：，
∵大长方形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
即标号为②的正方形的面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式在几何图形面积计算中的应用，数形结合并理清题中的数量关系是解题的关键．
10．已知，则t的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】将展开得到，得到，，化简求值可得t的值．
【详解】，
由题意，
，，
，
，
得，
，
或，
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
11．若，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据，即可求出．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方式的变形，灵活运用所学知识是关键．
12．若，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】设，则，，根据即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全个公式，以及会用换元法是代数式更加简洁．
13．计算正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算负指数幂，再计算积的乘方，幂的乘方即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的运算：负指数幂、积的乘方、幂的乘方．，，，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．已知，，则代数式的值为（ ）
A．20 B．18 C．19 D．25
【答案】A
【分析】由，，可得，将，代入即可求解．
【详解】解：，，
，
故选A．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握与之间的关系．
15．若，为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先依据乘法的意义个相加得到，然后根据积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】解：，
，选项符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
16．已知，长方形的长宽分别为a和b，长方形的周长和面积分别为20和24，那么（ ）.
A．64 B．52 C．48 D．44
【答案】B
【分析】用a和b表示出长方形的周长和面积，列出等式，利用完全平方公式，整体求出的值．
【详解】解：由于长方形的周长和面积分别为20和24，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，以及长方形的周长和面积的求法，掌握完全平方公式是解题的关键．
17．若二次三项式是一个完全平方式，则k的值是( )
A．5 B． C． D．5或
【答案】D
【分析】根据首末两项是x和的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍也就是，由此对应求得的数值即可．
【详解】解：∵是一个多项式的完全平方，
∴，即，解得：或．
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式问题，关键要根据完全平方公式的结构特征进行分析，两数和的平方加上或减去它们乘积的2倍，就构成完全平方式，在任意给出其中两项的时候，未知的第三项均可求出，要注意积的2倍符号，有正负两种情形，不可漏解．
18．已知，则的值是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据完全平方公式即可解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练运用利用整体思想是解题的关键．
19．有2张边长为的正方形纸片，4张边长分别为，（）的矩形纸片，5张边长为的正方形纸片，从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使正方形的面积最大，要用边长为的正方形个数最多，且能组合成完全平方公式，由，即可求解．
【详解】解：2张边长为a的正方形纸片的面积是，
4张边长分别为a、b ()的矩形纸片的面积是，
5张边长为b的正方形纸片的面积是，
因为要使正方形的面积最大，
所以要用边长为的正方形个数最多，且能组合成完全平方公式，
所以，
所以拼成的正方形的边长最长可以为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，掌握正方形的面积与完全平方公式之间的关系是解题的关键．
20．下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】平方差公式：，据此对各种变形进行判断即可求解．
【详解】解：①，符合平方差公式形式，故此项符合题意；
②，符合平方差公式形式，故此项不符合题意；
③，符合平方差公式形式，故此项不符合题意；
④符合平方差公式形式，故此项符合题意；
所以能用平方差公式计算的有①④，共个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，理解公式是解题的关键．
21．若关于x的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含x项，则m、n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把与的乘积结果化简后令项、x项的系数为0求解即可．
【详解】
∵结果化简后令项、x项，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了利用多项式的不含某项问题求字母的值，解答的关键是先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程组求解即可．
22．利用乘法公式判断，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式进行展开，逐一判断即可．
【详解】解：，故选项A、B错误；
，故选项C错误，选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用完全平方公式进行简算．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
23．观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，，设，用含的式子表示这组数据的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据即可求得答案．
【详解】根据题意，得
将代入，得
原式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘方，能运用同底数幂的乘方的逆运算分析问题是解题的关键．
24．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（ ）
A． B． C．15 D．
【答案】A
【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，并结合勾股定理，得出关于AB为未知数的一元二次方程，最后可解得的长．
【详解】
解：如图，设内切圆的圆心为O、为内切圆的半径，
则四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，
∴①，
∵小正方形内切圆半径为，
∴小正方形的边长为7，
∴小正方形的面积为49，
∴，
∴
即②，
把①代入②中得
，
∴，
∴(负值舍去)，
∴大正方形内切圆半径为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高,解题的关键是利用完全平方公式变形求解．
25．杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项的系数直观地体现了出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示：
的展开式
…
根据上述材料，则的展开式中含项的系数为 （ ）
A．10 B． C．40 D．
【答案】B
【分析】由计算规律可得，的展开式中字母部分因式依次为，，，，，，结合“杨辉三角”得出的各项系数，然后考虑符号计算即可．
【详解】解：结合“杨辉三角”可得的各项系数（不考虑符号）为：1，5，10，10，5，1；
是由可得，符号为负号，系数为第三个系数10，
∴项的系数为；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算规律，理解题目中的“杨辉三角”是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第14章：整式的乘法与因式分解（选择题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、单选题
1．已知中不含的二次项，则的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知满足，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．计算的结果是（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则和的值分别是（ ）
A．6，0 B．9，3 C．6，2 D．9，0
9．如图，把一块面积为的大长方形木板分割成个正方形①、②、③和个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为，则标号为②的正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知，则t的值为（ ）
A． B． C．或 D．
11．若，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．4
12．若，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
13．计算正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
14．已知，，则代数式的值为（ ）
A．20 B．18 C．19 D．25
15．若，为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知，长方形的长宽分别为a和b，长方形的周长和面积分别为20和24，那么（ ）.
A．64 B．52 C．48 D．44
17．若二次三项式是一个完全平方式，则k的值是( )
A．5 B． C． D．5或
18．已知，则的值是：（ ）
A． B． C． D．
19．有2张边长为的正方形纸片，4张边长分别为，（）的矩形纸片，5张边长为的正方形纸片，从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A． B． C． D．
20．下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．若关于x的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含x项，则m、n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
22．利用乘法公式判断，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
23．观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，，设，用含的式子表示这组数据的和是（ ）
A． B． C． D．
24．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（ ）
A． B． C．15 D．
25．杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项的系数直观地体现了出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示：
的展开式
…
根据上述材料，则的展开式中含项的系数为 （ ）
A．10 B． C．40 D．
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