陕西省汉中市镇巴县2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】 解得，， .
故答案为：A
【分析】先求出集合，再根据交集定义求 。
2．复数，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意得，.
故答案为：B
【分析】先根据复数的四则运算求出，再求 。
3．已知，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】充分性：若 ，则或，不是的充分条件；
必要性：若，则，是的必要条件。
故答案为：A
【分析】利用三角函数的运算性质判断。
4．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意得，， ， ，，
.
故答案为：D
【分析】结合二倍角公式化简求解。
5．如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，如图
则，，，，，
，，
，
.
故答案为：A
【分析】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，利用空间向量求解。
6．如图所示为函数的图象，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的判定；函数的图象
【解析】【解答】由图可知函数在有定义且为奇函数，
A、在无意义，A错误；
C、为偶函数，C错误；
BD、由图可知趋于正无穷时趋于0， B错误，D正确。
故答案为：D
【分析】根据图像的定义域、奇偶性和趋于正无穷时的值判断选项。
7．著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如.对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（ ）
A．32 B．36 C．42 D．60
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】， 第一类从中任选3个数是，有3种情况，第二类从中任选3个数是，有3种情况，第三类从中任选3个数是，有3种情况，第四类从中任选3个数是，有3种情况，第五类从中任选3个数是，有3种情况，第六类从中任选3个数是，有3种情况，第七类从中任选3个数是，有种情况，第八类从中任选3个数是，有种情况，第九类从中任选3个数是，有种情况，第十类从中任选3个数是，有种情况，共有个不同三位数。
故答案为：C
【分析】由 ，再利用排列组合计算。
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题知 ，令代入椭圆 和圆，求得，
为的中点 ，即，求得，又，，
，，.
故答案为：C
【分析】利用 求出的关系，进而求解。
9．已知函数在上单调递减，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】 函数在上单调递减，，化简得，
当时，，
，化简得，
，，，即，化简得，。
故答案为：D
【分析】根据题意分析得，，进而求解 。
10．设，是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知在中，，，，又，解得，
在中，，，化简得，又，
，双曲线的离心率.
故答案为：B
【分析】画图分析，由结合，得到，所以求得，在中利用余弦定理求出的关系，进而求离心率.
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则 ，，当时，，在上单调递增，。
故答案为：B
【分析】构造函数，利用单调性比较大小。
12．在长方体中，，，，分别是，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．与平面相交
C．与平面所成角的余弦值为
D．
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量垂直的坐标表示；直线与平面所成的角
【解析】【解答】以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图
则，，，，，，，，，，
A、 ，， ，A正确；
B、设平面法向量为，
， ，则，
令，
， 不与平面平行，即与平面相交 ，B正确；
C、易知平面 法向量为， 又，
与平面所成角的正弦值为， 与平面所成角的余弦值为 ，C错误；
D、 ，， ，D正确.
故答案为：C
【分析】以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量分析求解。
二、填空题
13．已知是两个互相垂直的单位向量，若，则 .
【答案】/
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意得 ，，
.
故答案为：/
【分析】利用平面向量数量积和向量模的公式求夹角。
14．已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】指数函数，满足 ，又当时， ，可以为。
故答案为：
【分析】指数函数，满足 ，写出一个的指数函数即可。
15．在正四棱锥中，底面正方形的边长为2，侧棱长为，则正四棱锥的外接球的体积为 .
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】由题意得正四棱锥顶点在底面投影为正方形中心，
设正四棱锥外接球球心为，外接球半径为，
连接，交于点，连接，则平面，点 在上，连接，
则，，，即，解得
外接球体积.
故答案为：
【分析】 正四棱锥顶点在底面投影为正方形中心，分析求出外接球的半径，再利用球的体积公式求解。
16．在中，内角、、的对边分别是、、，且，则 ；若的角平分线与边交于点，且，则 .
【答案】；
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】如图，
第一问： ，
由正弦定理得，化简得，，
，，；
第二问：由题意得，三角形 面积，
即，，
。
故答案为：；
【分析】第一问利用正弦定理和正弦两角和公式化简求解；第二问利用和正弦的二倍角公式化简求解。
三、解答题
17．已知数列的前项和为（为常数）.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）解：当时，，得
又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，即.
（2）解：当时，，则，
所以是首项为1，公差为4的等差数列，
所以，
所以，所以当时，，
当时，
当时，，
综上，.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）将 代入 整理得，利用等比数列性质求 的通项公式；
（2）将 代入 整理得，利用等差数列性质求数列 的前项和 ，进而求，再利用放缩法、累加法证明 .
18．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以.
因为为的中点，所以，所以两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的一个法向量，则即
令，解得，故，
而是平面的一个法向量，
所以，
设二面角的大小为，则.
【知识点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，则为的中点，通过证明得到平面；
（2）取的中点，连接，并证明两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值.
19．我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.
（1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
（2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求；
（3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中.
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.01 0.005
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）解：调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人），
所以列联表如下所示：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
零假设为：对“夸父一号”卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得，
所以根据小概率值的独立检验，推断不成立，
即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联，此时推断犯错误的概率不大于.
（2）解：依题意，，
所求概率为，或者.
（3）解：按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的男生数为人，女生人数为人，
所以的可能取值为，，，
所以，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
【知识点】变量间的相关关系；独立性检验的应用；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1） 完善列联表， 通过计算来判断；
（2）利用条件概率计算公式进行计算；
（3）的可能取值为，，，求出对应概率写出的分布列，进而求的分布列和数学期望。
20．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，证明：.
【答案】（1）解：当时，，则，
所以，
故所求的切线方程为，即.
（2）解：要证，即证.先证.
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是的最小值点，且，
所以，即成立.
再证.
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是的最小值点，且，
所以.
综上，成立
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法和综合法
【解析】【分析】（1）将代入，分别求出，利用点斜式写曲线在点处的切线方程 ；
（2）要证，即证，先证，构造函数，证明，再证，构造函数进而求导分析证明。
21．在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
（1）求的方程；
（2）若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
【答案】（1）解：若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为；
若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为，
综上，的方程为或
（2）证明：由（1）知抛物线的方程为.
若直线不过点，如图，
设，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
同理直线的方程分别为，
由直线过定点，可得，
由直线过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，
即，
又因为，所以.
令解得故直线恒过定点.
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.
综上，直线过定点.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用抛物线定义分别设焦点在轴和焦点在轴上抛物线方程，代入点求的方程；
(2)设直线过定点得，设直线方程过焦点得，结合直线的方程整理得恒过定点，再证明直线过点时直线也过定点即可。
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）设、是上的两点，且，，求的面积.
【答案】（1）解：对于曲线的参数方程（为参数），，解得，
则，，所以，，即，
所以，曲线表示圆的上半圆，
化为极坐标方程即为，即，其中.
（2）解：设点、的极坐标分别为、，
则，解得，则，，
所以，
，
所以，，
因为，则，所以，，可得，
所以，，，
则，
因此，.
【知识点】极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1) 先将曲线 参数方程转换为普通方程，再将普通方程转换为极坐标方程；
(2)设点、的极坐标分别为、求得，，，结合 ，求出，再求 的面积.
23．（2023高三下·四川模拟）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
当时，则，解得，即，
当时，则恒成立，即，
当时，则，解得，即，
综上所述，原不等式的解集为．
（2）解：因为，
所以，即或，解得或，
A的取值范围为．
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1) 当时，， 分类讨论去绝对值，求解可得不等式f(x)≤6的解集；
(2)利用绝对值不等式的性质构造关于a的不等式，求解可得a的取值范围.
陕西省汉中市镇巴县2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．复数，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示为函数的图象，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如.对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（ ）
A．32 B．36 C．42 D．60
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在上单调递减，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．在长方体中，，，，分别是，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．与平面相交
C．与平面所成角的余弦值为
D．
二、填空题
13．已知是两个互相垂直的单位向量，若，则 .
14．已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 .
15．在正四棱锥中，底面正方形的边长为2，侧棱长为，则正四棱锥的外接球的体积为 .
16．在中，内角、、的对边分别是、、，且，则 ；若的角平分线与边交于点，且，则 .
三、解答题
17．已知数列的前项和为（为常数）.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求证：.
18．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
19．我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.
（1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
（2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求；
（3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中.
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.01 0.005
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
20．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，证明：.
21．在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
（1）求的方程；
（2）若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）设、是上的两点，且，，求的面积.
23．（2023高三下·四川模拟）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】 解得，， .
故答案为：A
【分析】先求出集合，再根据交集定义求 。
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意得，.
故答案为：B
【分析】先根据复数的四则运算求出，再求 。
3．【答案】A
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】充分性：若 ，则或，不是的充分条件；
必要性：若，则，是的必要条件。
故答案为：A
【分析】利用三角函数的运算性质判断。
4．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意得，， ， ，，
.
故答案为：D
【分析】结合二倍角公式化简求解。
5．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，如图
则，，，，，
，，
，
.
故答案为：A
【分析】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，利用空间向量求解。
6．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的判定；函数的图象
【解析】【解答】由图可知函数在有定义且为奇函数，
A、在无意义，A错误；
C、为偶函数，C错误；
BD、由图可知趋于正无穷时趋于0， B错误，D正确。
故答案为：D
【分析】根据图像的定义域、奇偶性和趋于正无穷时的值判断选项。
7．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】， 第一类从中任选3个数是，有3种情况，第二类从中任选3个数是，有3种情况，第三类从中任选3个数是，有3种情况，第四类从中任选3个数是，有3种情况，第五类从中任选3个数是，有3种情况，第六类从中任选3个数是，有3种情况，第七类从中任选3个数是，有种情况，第八类从中任选3个数是，有种情况，第九类从中任选3个数是，有种情况，第十类从中任选3个数是，有种情况，共有个不同三位数。
故答案为：C
【分析】由 ，再利用排列组合计算。
8．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题知 ，令代入椭圆 和圆，求得，
为的中点 ，即，求得，又，，
，，.
故答案为：C
【分析】利用 求出的关系，进而求解。
9．【答案】D
【知识点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】 函数在上单调递减，，化简得，
当时，，
，化简得，
，，，即，化简得，。
故答案为：D
【分析】根据题意分析得，，进而求解 。
10．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知在中，，，，又，解得，
在中，，，化简得，又，
，双曲线的离心率.
故答案为：B
【分析】画图分析，由结合，得到，所以求得，在中利用余弦定理求出的关系，进而求离心率.
11．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则 ，，当时，，在上单调递增，。
故答案为：B
【分析】构造函数，利用单调性比较大小。
12．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量垂直的坐标表示；直线与平面所成的角
【解析】【解答】以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图
则，，，，，，，，，，
A、 ，， ，A正确；
B、设平面法向量为，
， ，则，
令，
， 不与平面平行，即与平面相交 ，B正确；
C、易知平面 法向量为， 又，
与平面所成角的正弦值为， 与平面所成角的余弦值为 ，C错误；
D、 ，， ，D正确.
故答案为：C
【分析】以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量分析求解。
13．【答案】/
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意得 ，，
.
故答案为：/
【分析】利用平面向量数量积和向量模的公式求夹角。
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】指数函数，满足 ，又当时， ，可以为。
故答案为：
【分析】指数函数，满足 ，写出一个的指数函数即可。
15．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】由题意得正四棱锥顶点在底面投影为正方形中心，
设正四棱锥外接球球心为，外接球半径为，
连接，交于点，连接，则平面，点 在上，连接，
则，，，即，解得
外接球体积.
故答案为：
【分析】 正四棱锥顶点在底面投影为正方形中心，分析求出外接球的半径，再利用球的体积公式求解。
16．【答案】；
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】如图，
第一问： ，
由正弦定理得，化简得，，
，，；
第二问：由题意得，三角形 面积，
即，，
。
故答案为：；
【分析】第一问利用正弦定理和正弦两角和公式化简求解；第二问利用和正弦的二倍角公式化简求解。
17．【答案】（1）解：当时，，得
又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，即.
（2）解：当时，，则，
所以是首项为1，公差为4的等差数列，
所以，
所以，所以当时，，
当时，
当时，，
综上，.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）将 代入 整理得，利用等比数列性质求 的通项公式；
（2）将 代入 整理得，利用等差数列性质求数列 的前项和 ，进而求，再利用放缩法、累加法证明 .
18．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以.
因为为的中点，所以，所以两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的一个法向量，则即
令，解得，故，
而是平面的一个法向量，
所以，
设二面角的大小为，则.
【知识点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，则为的中点，通过证明得到平面；
（2）取的中点，连接，并证明两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值.
19．【答案】（1）解：调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人），
所以列联表如下所示：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
零假设为：对“夸父一号”卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得，
所以根据小概率值的独立检验，推断不成立，
即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联，此时推断犯错误的概率不大于.
（2）解：依题意，，
所求概率为，或者.
（3）解：按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的男生数为人，女生人数为人，
所以的可能取值为，，，
所以，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
【知识点】变量间的相关关系；独立性检验的应用；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1） 完善列联表， 通过计算来判断；
（2）利用条件概率计算公式进行计算；
（3）的可能取值为，，，求出对应概率写出的分布列，进而求的分布列和数学期望。
20．【答案】（1）解：当时，，则，
所以，
故所求的切线方程为，即.
（2）解：要证，即证.先证.
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是的最小值点，且，
所以，即成立.
再证.
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是的最小值点，且，
所以.
综上，成立
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法和综合法
【解析】【分析】（1）将代入，分别求出，利用点斜式写曲线在点处的切线方程 ；
（2）要证，即证，先证，构造函数，证明，再证，构造函数进而求导分析证明。
21．【答案】（1）解：若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为；
若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为，
综上，的方程为或
（2）证明：由（1）知抛物线的方程为.
若直线不过点，如图，
设，
由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
同理直线的方程分别为，
由直线过定点，可得，
由直线过焦点，可得，
直线的方程为，
由，得，
所以，
即，
又因为，所以.
令解得故直线恒过定点.
若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.
综上，直线过定点.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用抛物线定义分别设焦点在轴和焦点在轴上抛物线方程，代入点求的方程；
(2)设直线过定点得，设直线方程过焦点得，结合直线的方程整理得恒过定点，再证明直线过点时直线也过定点即可。
22．【答案】（1）解：对于曲线的参数方程（为参数），，解得，
则，，所以，，即，
所以，曲线表示圆的上半圆，
化为极坐标方程即为，即，其中.
（2）解：设点、的极坐标分别为、，
则，解得，则，，
所以，
，
所以，，
因为，则，所以，，可得，
所以，，，
则，
因此，.
【知识点】极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1) 先将曲线 参数方程转换为普通方程，再将普通方程转换为极坐标方程；
(2)设点、的极坐标分别为、求得，，，结合 ，求出，再求 的面积.
23．【答案】（1）解：当时，，
当时，则，解得，即，
当时，则恒成立，即，
当时，则，解得，即，
综上所述，原不等式的解集为．
（2）解：因为，
所以，即或，解得或，
A的取值范围为．
【知识点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1) 当时，， 分类讨论去绝对值，求解可得不等式f(x)≤6的解集；
(2)利用绝对值不等式的性质构造关于a的不等式，求解可得a的取值范围.
