浙江省杭州市浙江工业大学附属实验学校2022-2023学年八年级下学期第二次月考数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)
1．（2022八下·镇海区期末）2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，将中国传统文化和奥林匹克元素巧妙结合.下面是历届奥运会会徽中的部分图形，其中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（2023八下·杭州月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·杭州月考）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·镇海区期末）方程经配方后，可化为( )
A． B． C． D．
5．（2023八下·杭州月考）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 B．每一个内角都小于
C．有一个内角大于 D．有一个内角小于
6．（2023八下·杭州月考）如图，在四边形ABCD中，，将沿MN翻折，得到.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八下·镇海区期末）已知点，，都在反比例函数（m为常数）的图象上，那么的大小关系是( )
A． B． C． D．
8．（2023八下·杭州月考）如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为于点，于点，连接BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八下·杭州月考）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点，交AC于点，反比例函数的图象经过线段DC的中点，若，则AG的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八下·杭州月考）如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，D在直线MN上，连接AC.设点是直线MN上的一点，且满足，下列结论：①若点在射线AM上（不与点A重合），则②若点P在线段AD上（不与点重合），则；(3)若点在射线DN上（不与点重合），则.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．（2023八下·杭州月考）已知式子有意义，则的取值范围是 .
12．（2023八下·萧山期中） 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 .
13．（2023八下·杭州月考）已知一组数据1，2，3，5，5，6.则这组数据的中位数和众数分别是 ， .
14．（2023八下·杭州月考）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为-1.这个一元二次方程可以是 (写出一个即可).
15．（2023八下·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，点A是第一象限内一点，反比例函数的图象经过点A，与BC边交于点D，若△OCD与△MBD的面积相等，则△OAD的面积为 .
16．（2023八下·杭州月考）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F.△BCE和△AEF的面积分别为和，若，则的长 .
三、解答题(本大题有7小题，共66分)
17．（2023八下·杭州月考）计算：
（1）；
（2）.
18．（2023八下·杭州月考）解方程：
（1）；
（2）.
19．（2023八下·杭州月考）如图是由边长为1的小正方形构成的6x6的网格，点A，B均在格点上.
（1）在图1中画出以AB为对角线的正方形ACBD，点C，D为格点.
（2）在图2中画出以AB为边且周长最大的平行四边形ABCD，点C，D为格点(画一个即可).
20．（2023八下·杭州月考）为了响应市“科学应对、群防群控、增强体质、战胜疫情”的号召，学校决定开展多项体育活动比赛，从八年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图(成绩均为整数，满分为10分).
甲组成绩统计表
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组成绩的众数是 ；
（2）m= ，乙组成绩的中位数是 ；
（3）已知甲组成绩的方差，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
21．（2023八下·杭州月考）如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，点E是CD边上一点，将四边形ADEB沿着BE翻折得到四边形A'D'EB，若点D'恰好落在边DC的中点处，且BD'=22，求菱形ABCD的周长.
22．（2023八下·杭州月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标；-
（3）求不等式的解集.(请直接写出答案)
23．（2023八下·杭州月考）在正方形ABCD中，点在AD边上，（不与点A，点重合).连接BE，作于点，交CD边于点，连接CF.
（1）求证：BE=AG.
（2）若点E是边的中点，.
①分别求AF，BF的长.
②求证：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B.，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，是最简二次根式，符合题意；
故选：D.
【分析】 根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式是指同时满足被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式。
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解： 解：设该反比例函数的解析式为：k≠0).
把(-1，3)代入，得
解得k=-3
则该函数解析式为：
故选：A.
【分析】 只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式。
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】 解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：B.
【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿MN翻折，得到 ，
∴∠B=∠E，
又 ，
则∠D=∠E=∠B，
∵∠D+∠E+∠C+∠A=360°，
，
∴2∠D+190°=360°，
∴∠D=85°
故选：D.
【分析】根据折叠的性质：翻折前后图形的对应边，对应角相等得到∠B=∠E，再根据平行线的性质得到∠D=∠E=∠B，最后由四边形的内角和为360°，即可解出答案.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，是正数，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小.
∵点，，都在反比例函数图象上，
∴，，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，据此进行比较.
8．【答案】C
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°
∴∠DAE=∠BCF，
又DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴∠CFB=∠AED，
可证△ADE≌△CBF，
∵四边形ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，
∴可设AB为2，AD为1，
∵△ABC为直角三角形，
∴
因为∠BFC=∠ABC，
所以△ABC∽△BFC，
所以，
BF=，
CF=，
EF=AC-2CF=
DEBF=EF·DE=
∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为
故答案为：.
【分析】 由AAS证明△ADE≌△CBF得出BF=DE，由BF∥DE，即可得出四边形DEBF是平行四边形，设AD=x，则AB=2x，由勾股定理求出AC，再求出DE、CF、EF的长，计算出四边形DEBF与矩形ABCD的面积，再作比值即可。
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用；菱形的性质
【解析】【解答】 解：∵BD=8，
∴DO=4，
∵点E是线段DC的中点，
∴点E的纵坐标为2，
将y=2代入反比例函数，
可得，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC=8，
∵AD=DB，DF⊥AB，
∴DF是AB的垂直平分线，
∴AF=4，
∵DF⊥AB，
∴∠AOB=∠AFG=90°，
又∠OAB=∠OAB
∴，
∴，
，
故选：B.
【分析】根据反比例函数的性质，得到点E的坐标；再运用勾股定理得到DC；根据菱形的性质：菱形的四条边相等得到AB；然后运用等腰三角形中线的性质，得到AF的长；最后根据三角形对应两角相等，证明三角形相似；作比即可得到AF的长.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：①若点在射线AM上（不与点A重合），
此时∠ABP<90°或，故①错误，
②若点P在线段AD上（不与点重合）
则∠ABC<90°，故②正确，
③若点在射线DN上（不与点重合）
则∠ABC>90°。故③正确，
故选：B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，首先画出每种情况的图象，并使PB=AC，即可分析出不同情况下，∠B满足的条件.
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】 解：根据题意，得x-1≥0，
解得，2≥1，
故答案为：x≥1.
【分析】 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x-1>0，通过解该不等式即可求得x的取值范围。
12．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
13．【答案】4；5
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】 解：这组数据中5出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为5，
中位数为，
故答案为：4；5
【分析】 此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：由题意可得，方程可以为：(x+1)(x-1)=0，
即x2-1=0，
故答案为：x2-1=0.
【分析】 直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案。
15．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】 【解答】 解：过点A作AP垂直x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，
∵△OCD与△ABD的面积相等，
∴CD=BD，
∴点D是BC中点，
∵反比例函数的图象经过点A，与BC边交于点D，
设D(，n)，则A(，2n），
∴
=6.
故答案为：6.
【分析】先作过点A作AP垂直x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，根据平行四边形的性质得到OA∥BC，再根据反比例函数的性质表示出A，D，最后根据题中图形写出等式，即可得到答案 .
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】 解：如图，作MN过点E，且MN∥AB，再过点E作OE⊥DC，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ECN=45°，
∴EN=CN，
∵MN∥AB，
∴DM=CN，
∴CN=CO，
∵CD=CB，
∴DO=BN，ME=BN，
∵∠NBE+∠NEB=90°，
∠NEB+∠NEB=90°，
∴∠MEF=∠NBE，
∵ME=BN
∠EMF=∠ENB，
∴，
则设EH=x，MF=x，DM=x，
∴AF=6-2x，ME=6-x，
得，
解得：x=2，
∴CE=.
【分析】 首先作出辅助线，再根据正方形对角线的性质，得到∠ECN=45°，然后根据平行线的性质得到DM=CN，再因为正方形的性质可以得到∠MEF=∠NBE，再运用ASA证明，最后设EH为x，根据题目条件列出关于x的方程，解出即可得到答案.
17．【答案】（1）原式=
=.
（2）原式=.
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先进行分母有理化，化简二次根式，再进行加减运算.
18．【答案】（1）解：将x提出来，
x(x+3)=0，
解得：x1=-3，x2=0，
（2）解：x2-2x-1=(x-1)2-2=0
所以 (x-1)2=2 ，
，
解得： x1= x2=，
【知识点】因式分解﹣提公因式法；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）提取公因式法的一般步骤：
①确定应提取的公因式；
②多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式.
（2）本题利用配方法解方程，首先把常数项移到右边，在两边同时加上一次项系数的一半，然后开方即可。
配方法的一般步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解.
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据题目要求，及正方形对角线的定义先画出正方形的两条对角线CD，再连接四个点，画出图形即可.
（2）根据题目要求，及平行四边形定义先画出AB的对边，并将对边平移到距离AB最远的位置，因为AB上方的面积大于下方的面积，所以将对边向上方移动，即可得到周长最大的平行四边形，画出图形即可.
20．【答案】（1）8
（2）3；8
（3）乙组表现更稳定。
【知识点】利用统计图表分析实际问题；中位数；方差；众数
【解析】【解答】 解：（1）甲组成绩出现次数最多的是8，
所以甲组成绩的众数是8，
故答案为：8；
(2)m=20-2-9-6=3(人），
乙组成绩的中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是，
故答案为：3，8；
(3)乙组平均成绩=×(2×7+9×8+6×9+3×10)=8.5（分），
乙组的方差是：S乙2=×[2×(7-8.5)2+9×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+3×(10-8.5)2]=0.75；
∵S乙2
【分析】（1）根据众数的性质即可求出答案，众数是一组数据中出现次数最多的数.
（2）运用总人数-其他样本所占人数即可求得m；再根据中位数即可求出乙组成绩的中位数，中位数是按顺序排序的一组数据中居于中间位置的数.
（3）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案。
21．【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠CAB=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
又∵AD=AB，
∴CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：设DE为x，
CE=3x，DC=4x，
∴，
∵BD’=，
可列出方程：
，
解得：x=1或-1（负值舍去）
可得DE=1，
∴DC=4，
.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】 （1）先证四边形ABCD是平行四边形，由AD=AB，即可得出结论；
(2)由折叠的性质得出BE⊥CD，设DE=x，CE=3x，DC=4x，由勾股定理求出BE=x，再由运用勾股定理列出关于x的方程，解出方程得x=1，则BC=4，再根据菱形的周长公式即可得出结果。
22．【答案】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数，
解得：m=2，
则反比例函数解析式为：，
将点B的横坐标x代入反比例函数，
可得点B的坐标为（-2，-1），
将点A点B的坐标带入一次函数中，
得解得：k=1，b=1.
（2）解：当x=0时，代入y=x+1中，
得y=1，即M(0，1)，
，
∴MN=6，
∴N(0，7)或(0，-5)
（3）和
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】 解：（3）如图，当和时，
一次函数图象位于反比例函数下面，
则当和时，
不等式成立，
故解集为：和.
【分析】 (1)待定系数法解题步骤：①先设出函数的一般形式；②代入解析式得出方程或方程组；③通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值；④写出该函数的解析式；
(2)运用一次函数的性质解出点M坐标，再根据三角形的面积公式列出等式，解方程即可得到答案；
(3)根据图象可直接得出解集.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE= ∠ADG=90°， AB=DA，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠AFE=90°，
∴∠DAG+∠AEB=90°，
∴∠ABE= ∠DAG，
则证明△ABE≌△DAG(ASA)，
∴BE=AG；
（2）解：①∵△ABE≌△DAG，
∴∠ABE=∠EAF，
又AG⊥BE，∴∠AFE=∠BAE，
∴，
∵AD=10，点E是D边的中点，
四边形ABCD是正方形，
∴AE=5，
，
∵，
AF=，
∵，
∴，
∵
∴AF的长为，BF的长为.
②过点C作CH⊥BF于点H，则∠CHB=90°
∵∠CHB=90°，
∴∠CBH+∠BCH=90°，
∵ ∠ABC= ∠ABF+ ∠CBH=90°
∴∠ABF=∠BCH，
∵∠BFA=90°，
∴∠BFA=∠CHB.
则可证△ABF≌△BCH(AAS)，
∴AF=BH=，
∵BF=，
∴FH=BF-BH=
∴BH=FH=
∵CH⊥BF，
∴CH是线段BF的垂直平分线，
∴CB=CF.
【知识点】正方形的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAE= ∠ADG=90°， AB=DA，再根据垂线的性质得出∠ABE=∠DAG，然后运用ASA得出△ABE≌△DAG，即可得解；
(2)①先运用两角相等，证明，然后根据正方形的性质得到AE=5，再运用勾股定理得出BE的长，最后根据相似三角形的性质作比 ，求解即可；
②过点C作CH⊥BF于点H，先得出∠CHB=90°，再根据正方形的性质，得到∠ABF=∠BCH，∠BFA=∠CHB，再运用AAS证明△ABF≌△BCH，最后利用FH=BF-BH求解，最后根据线段的垂直平分线的性质得到CB=CF.
浙江省杭州市浙江工业大学附属实验学校2022-2023学年八年级下学期第二次月考数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)
1．（2022八下·镇海区期末）2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，将中国传统文化和奥林匹克元素巧妙结合.下面是历届奥运会会徽中的部分图形，其中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．（2023八下·杭州月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B.，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，是最简二次根式，符合题意；
故选：D.
【分析】 根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式是指同时满足被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式。
3．（2023八下·杭州月考）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解： 解：设该反比例函数的解析式为：k≠0).
把(-1，3)代入，得
解得k=-3
则该函数解析式为：
故选：A.
【分析】 只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式。
4．（2022八下·镇海区期末）方程经配方后，可化为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．（2023八下·杭州月考）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 B．每一个内角都小于
C．有一个内角大于 D．有一个内角小于
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】 解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：B.
【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断。
6．（2023八下·杭州月考）如图，在四边形ABCD中，，将沿MN翻折，得到.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿MN翻折，得到 ，
∴∠B=∠E，
又 ，
则∠D=∠E=∠B，
∵∠D+∠E+∠C+∠A=360°，
，
∴2∠D+190°=360°，
∴∠D=85°
故选：D.
【分析】根据折叠的性质：翻折前后图形的对应边，对应角相等得到∠B=∠E，再根据平行线的性质得到∠D=∠E=∠B，最后由四边形的内角和为360°，即可解出答案.
7．（2022八下·镇海区期末）已知点，，都在反比例函数（m为常数）的图象上，那么的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，是正数，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小.
∵点，，都在反比例函数图象上，
∴，，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，据此进行比较.
8．（2023八下·杭州月考）如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为于点，于点，连接BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°
∴∠DAE=∠BCF，
又DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴∠CFB=∠AED，
可证△ADE≌△CBF，
∵四边形ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，
∴可设AB为2，AD为1，
∵△ABC为直角三角形，
∴
因为∠BFC=∠ABC，
所以△ABC∽△BFC，
所以，
BF=，
CF=，
EF=AC-2CF=
DEBF=EF·DE=
∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为
故答案为：.
【分析】 由AAS证明△ADE≌△CBF得出BF=DE，由BF∥DE，即可得出四边形DEBF是平行四边形，设AD=x，则AB=2x，由勾股定理求出AC，再求出DE、CF、EF的长，计算出四边形DEBF与矩形ABCD的面积，再作比值即可。
9．（2023八下·杭州月考）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点，交AC于点，反比例函数的图象经过线段DC的中点，若，则AG的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用；菱形的性质
【解析】【解答】 解：∵BD=8，
∴DO=4，
∵点E是线段DC的中点，
∴点E的纵坐标为2，
将y=2代入反比例函数，
可得，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC=8，
∵AD=DB，DF⊥AB，
∴DF是AB的垂直平分线，
∴AF=4，
∵DF⊥AB，
∴∠AOB=∠AFG=90°，
又∠OAB=∠OAB
∴，
∴，
，
故选：B.
【分析】根据反比例函数的性质，得到点E的坐标；再运用勾股定理得到DC；根据菱形的性质：菱形的四条边相等得到AB；然后运用等腰三角形中线的性质，得到AF的长；最后根据三角形对应两角相等，证明三角形相似；作比即可得到AF的长.
10．（2023八下·杭州月考）如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，D在直线MN上，连接AC.设点是直线MN上的一点，且满足，下列结论：①若点在射线AM上（不与点A重合），则②若点P在线段AD上（不与点重合），则；(3)若点在射线DN上（不与点重合），则.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：①若点在射线AM上（不与点A重合），
此时∠ABP<90°或，故①错误，
②若点P在线段AD上（不与点重合）
则∠ABC<90°，故②正确，
③若点在射线DN上（不与点重合）
则∠ABC>90°。故③正确，
故选：B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，首先画出每种情况的图象，并使PB=AC，即可分析出不同情况下，∠B满足的条件.
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．（2023八下·杭州月考）已知式子有意义，则的取值范围是 .
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】 解：根据题意，得x-1≥0，
解得，2≥1，
故答案为：x≥1.
【分析】 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x-1>0，通过解该不等式即可求得x的取值范围。
12．（2023八下·萧山期中） 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 .
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
13．（2023八下·杭州月考）已知一组数据1，2，3，5，5，6.则这组数据的中位数和众数分别是 ， .
【答案】4；5
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】 解：这组数据中5出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为5，
中位数为，
故答案为：4；5
【分析】 此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数。
14．（2023八下·杭州月考）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为-1.这个一元二次方程可以是 (写出一个即可).
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 解：由题意可得，方程可以为：(x+1)(x-1)=0，
即x2-1=0，
故答案为：x2-1=0.
【分析】 直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案。
15．（2023八下·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，点A是第一象限内一点，反比例函数的图象经过点A，与BC边交于点D，若△OCD与△MBD的面积相等，则△OAD的面积为 .
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】 【解答】 解：过点A作AP垂直x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，
∵△OCD与△ABD的面积相等，
∴CD=BD，
∴点D是BC中点，
∵反比例函数的图象经过点A，与BC边交于点D，
设D(，n)，则A(，2n），
∴
=6.
故答案为：6.
【分析】先作过点A作AP垂直x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，根据平行四边形的性质得到OA∥BC，再根据反比例函数的性质表示出A，D，最后根据题中图形写出等式，即可得到答案 .
16．（2023八下·杭州月考）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F.△BCE和△AEF的面积分别为和，若，则的长 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】 解：如图，作MN过点E，且MN∥AB，再过点E作OE⊥DC，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ECN=45°，
∴EN=CN，
∵MN∥AB，
∴DM=CN，
∴CN=CO，
∵CD=CB，
∴DO=BN，ME=BN，
∵∠NBE+∠NEB=90°，
∠NEB+∠NEB=90°，
∴∠MEF=∠NBE，
∵ME=BN
∠EMF=∠ENB，
∴，
则设EH=x，MF=x，DM=x，
∴AF=6-2x，ME=6-x，
得，
解得：x=2，
∴CE=.
【分析】 首先作出辅助线，再根据正方形对角线的性质，得到∠ECN=45°，然后根据平行线的性质得到DM=CN，再因为正方形的性质可以得到∠MEF=∠NBE，再运用ASA证明，最后设EH为x，根据题目条件列出关于x的方程，解出即可得到答案.
三、解答题(本大题有7小题，共66分)
17．（2023八下·杭州月考）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）原式=
=.
（2）原式=.
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先进行分母有理化，化简二次根式，再进行加减运算.
18．（2023八下·杭州月考）解方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：将x提出来，
x(x+3)=0，
解得：x1=-3，x2=0，
（2）解：x2-2x-1=(x-1)2-2=0
所以 (x-1)2=2 ，
，
解得： x1= x2=，
【知识点】因式分解﹣提公因式法；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）提取公因式法的一般步骤：
①确定应提取的公因式；
②多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式.
（2）本题利用配方法解方程，首先把常数项移到右边，在两边同时加上一次项系数的一半，然后开方即可。
配方法的一般步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解.
19．（2023八下·杭州月考）如图是由边长为1的小正方形构成的6x6的网格，点A，B均在格点上.
（1）在图1中画出以AB为对角线的正方形ACBD，点C，D为格点.
（2）在图2中画出以AB为边且周长最大的平行四边形ABCD，点C，D为格点(画一个即可).
【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据题目要求，及正方形对角线的定义先画出正方形的两条对角线CD，再连接四个点，画出图形即可.
（2）根据题目要求，及平行四边形定义先画出AB的对边，并将对边平移到距离AB最远的位置，因为AB上方的面积大于下方的面积，所以将对边向上方移动，即可得到周长最大的平行四边形，画出图形即可.
20．（2023八下·杭州月考）为了响应市“科学应对、群防群控、增强体质、战胜疫情”的号召，学校决定开展多项体育活动比赛，从八年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图(成绩均为整数，满分为10分).
甲组成绩统计表
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）甲组成绩的众数是 ；
（2）m= ，乙组成绩的中位数是 ；
（3）已知甲组成绩的方差，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
【答案】（1）8
（2）3；8
（3）乙组表现更稳定。
【知识点】利用统计图表分析实际问题；中位数；方差；众数
【解析】【解答】 解：（1）甲组成绩出现次数最多的是8，
所以甲组成绩的众数是8，
故答案为：8；
(2)m=20-2-9-6=3(人），
乙组成绩的中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是，
故答案为：3，8；
(3)乙组平均成绩=×(2×7+9×8+6×9+3×10)=8.5（分），
乙组的方差是：S乙2=×[2×(7-8.5)2+9×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+3×(10-8.5)2]=0.75；
∵S乙2
【分析】（1）根据众数的性质即可求出答案，众数是一组数据中出现次数最多的数.
（2）运用总人数-其他样本所占人数即可求得m；再根据中位数即可求出乙组成绩的中位数，中位数是按顺序排序的一组数据中居于中间位置的数.
（3）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案。
21．（2023八下·杭州月考）如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，点E是CD边上一点，将四边形ADEB沿着BE翻折得到四边形A'D'EB，若点D'恰好落在边DC的中点处，且BD'=22，求菱形ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠CAB=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
又∵AD=AB，
∴CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：设DE为x，
CE=3x，DC=4x，
∴，
∵BD’=，
可列出方程：
，
解得：x=1或-1（负值舍去）
可得DE=1，
∴DC=4，
.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】 （1）先证四边形ABCD是平行四边形，由AD=AB，即可得出结论；
(2)由折叠的性质得出BE⊥CD，设DE=x，CE=3x，DC=4x，由勾股定理求出BE=x，再由运用勾股定理列出关于x的方程，解出方程得x=1，则BC=4，再根据菱形的周长公式即可得出结果。
22．（2023八下·杭州月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标；-
（3）求不等式的解集.(请直接写出答案)
【答案】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数，
解得：m=2，
则反比例函数解析式为：，
将点B的横坐标x代入反比例函数，
可得点B的坐标为（-2，-1），
将点A点B的坐标带入一次函数中，
得解得：k=1，b=1.
（2）解：当x=0时，代入y=x+1中，
得y=1，即M(0，1)，
，
∴MN=6，
∴N(0，7)或(0，-5)
（3）和
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】 解：（3）如图，当和时，
一次函数图象位于反比例函数下面，
则当和时，
不等式成立，
故解集为：和.
【分析】 (1)待定系数法解题步骤：①先设出函数的一般形式；②代入解析式得出方程或方程组；③通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值；④写出该函数的解析式；
(2)运用一次函数的性质解出点M坐标，再根据三角形的面积公式列出等式，解方程即可得到答案；
(3)根据图象可直接得出解集.
23．（2023八下·杭州月考）在正方形ABCD中，点在AD边上，（不与点A，点重合).连接BE，作于点，交CD边于点，连接CF.
（1）求证：BE=AG.
（2）若点E是边的中点，.
①分别求AF，BF的长.
②求证：.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE= ∠ADG=90°， AB=DA，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠AFE=90°，
∴∠DAG+∠AEB=90°，
∴∠ABE= ∠DAG，
则证明△ABE≌△DAG(ASA)，
∴BE=AG；
（2）解：①∵△ABE≌△DAG，
∴∠ABE=∠EAF，
又AG⊥BE，∴∠AFE=∠BAE，
∴，
∵AD=10，点E是D边的中点，
四边形ABCD是正方形，
∴AE=5，
，
∵，
AF=，
∵，
∴，
∵
∴AF的长为，BF的长为.
②过点C作CH⊥BF于点H，则∠CHB=90°
∵∠CHB=90°，
∴∠CBH+∠BCH=90°，
∵ ∠ABC= ∠ABF+ ∠CBH=90°
∴∠ABF=∠BCH，
∵∠BFA=90°，
∴∠BFA=∠CHB.
则可证△ABF≌△BCH(AAS)，
∴AF=BH=，
∵BF=，
∴FH=BF-BH=
∴BH=FH=
∵CH⊥BF，
∴CH是线段BF的垂直平分线，
∴CB=CF.
【知识点】正方形的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAE= ∠ADG=90°， AB=DA，再根据垂线的性质得出∠ABE=∠DAG，然后运用ASA得出△ABE≌△DAG，即可得解；
(2)①先运用两角相等，证明，然后根据正方形的性质得到AE=5，再运用勾股定理得出BE的长，最后根据相似三角形的性质作比 ，求解即可；
②过点C作CH⊥BF于点H，先得出∠CHB=90°，再根据正方形的性质，得到∠ABF=∠BCH，∠BFA=∠CHB，再运用AAS证明△ABF≌△BCH，最后利用FH=BF-BH求解，最后根据线段的垂直平分线的性质得到CB=CF.
