【A级——夯实基础】
1．(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：纽扣上各点绕其中心做圆周运动的角速度相等，已知n＝50 r/s，则an＝ω2r＝
(2πn)2r＝4×π2×502×1×10－2 m/s2≈1×103 m/s2，选项C正确。
答案：C
2．如图所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车道的总宽度约为15 m，内车道边缘间最远的距离为150 m。假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍，则运动的汽车( )
A．所受的合力可能为零
B．只受重力和地面的支持力作用
C．最大速度不能超过25 m/s
D．所需的向心力由重力和支持力的合力提供
解析：汽车在水平路面上做匀速圆周运动，受到重力、支持力和摩擦力作用，重力和地面的支持力平衡，摩擦力提供向心力，由0.7mg＝，R＝0.5×150 m＋15 m＝90 m，联立解得最大速度v≈25 m/s，选项C正确。
答案：C
3．(2022·山东潍坊高三检测)如图所示为一种修正带，其核心结构包括大小两个齿轮、压嘴座等部件，大小两个齿轮是分别嵌合于大小轴孔中的并且齿轮相互吻合良好，a、b点分别位于大小齿轮的边缘且Ra∶Rb＝3∶2，c点位于大齿轮的半径中点。当纸带以速度v匀速运动时b、c点的向心加速度之比是( )
A．1∶3 B．2∶3
C．3∶1 D．3∶2
解析：a、b属于齿轮传动，线速度相等，即va＝vb，因为Ra∶Rb＝3∶2，由v＝ωR可知＝＝，又因为a、c属于同轴传动，它们具有共同的角速度，故ωa＝ωc，则＝，当纸带以速度v匀速运动时b、c点的向心加速度之比＝＝()2×＝3∶1，故选C。
答案：C
4．(2022·江苏扬州模拟)气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光，一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光滑杆上，重物上的触点M与固定在B端的触点N接触后，LED灯就会发光。下列说法正确的是( )
A．感应装置的原理是利用离心现象
B．安装气嘴灯时，应使感应装置A端比B端更靠近气嘴
C．要在较低的转速时发光，可以减小重物质量
D．车速从零缓慢增加，气嘴灯转至最高点时先亮
解析：感应装置的原理是利用离心现象，使两触点接触而点亮LED灯，故A正确；由离心运动原理可知，B端在外侧，所以B端比A端更靠近气嘴，故B错误；转速较小时，向心力较小，则可以增加重物质量或减小弹簧劲度系数，增大转动半径来增大弹力，从而使N点更容易与M点接触来发光，故C错误；当车速缓慢增加时，车轮转至最高点时，弹力最小，在最低点弹力最大，所以应在最低点先亮，故D错误。
答案：A
5．(2022·山东聊城期中)两根长度不同的细线下面分别悬挂着一个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是( )
解析：小球受力情况如图所示，设绳长为L，小球到悬点的高度差为h，由图可知，小球做圆周运动的向心力Fn＝mg tan θ＝mω2L sin θ，解得g＝ω2L cos θ＝ω2h，因两小球运动的角速度ω相同，所以h也相同，故D正确，A、B、C错误。
答案：D
6．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随过山车在竖直平面内旋转。下列说法正确的是( )
A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
解析：人过最高点时，FN＋mg＝m，当v≥时，即使人不用保险带也不会掉下来，当v＝时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B错误；人在最低点时具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故此时人对座位的压力大于mg，C错误，D正确。
答案：D
7．轻杆一端固定有质量为m＝1 kg的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的距离为50 cm，转轴固定在三角形的带电动机(电动机没画出来)的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示。若转轴达到某一恒定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为2 N，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．小球运动到最高点时，小球需要的向心力为10 N
B．小球运动到最高点时，线速度v＝1 m/s
C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8 N
D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点
解析：小球运动到最高点时，杆受到小球的压力为2 N，由牛顿第三定律可知杆对小球的支持力FN＝2 N，在最高点，小球需要的向心力由重力和杆的支持力的合力提供，F＝mg－FN＝8 N，故A错误；在最高点，由F＝m得，v＝ ＝ m/s＝2 m/s，故B错误；小球运动到图示水平位置时，设杆对小球的拉力为FT，则有FT＝m＝F＝8 N，则小球对杆的拉力FT′＝FT＝8 N，据题意知支架处于静止状态，由平衡条件可知地面对支架的摩擦力Ff＝FT′＝8 N，故C正确；把杆换成轻绳，设小球通过最高点的最小速度为v0，由mg＝m得，v0＝＝ m/s＝ m/s>v，所以在同样转速的情况下，小球不能通过图示的最高点，故D错误。
答案：C
8．(2022·江苏盐城模拟)如图所示，餐桌中心有一个圆盘，可绕其中心轴转动，现在圆盘上放相同的茶杯，茶杯与圆盘间动摩擦因数为μ。现使圆盘匀速转动，则下列说法正确的是( )
A．若缓慢增大圆盘转速，离中心轴近的空茶杯先相对圆盘滑动
B．若缓慢增大圆盘转速，到中心轴距离相同的空茶杯比有茶水茶杯先相对圆盘滑动
C．如果是两个不同的空茶杯，到中心轴距离相同，若缓慢增大圆盘转速，可能是质量大的先相对圆盘滑动
D．如果茶杯相对圆盘静止，茶杯受到圆盘的摩擦力沿半径指向圆心
解析：由F＝mω2r可知，当茶杯与圆盘间动摩擦因数相同时，离中心越远的茶杯需要的向心力越大，越容易相对圆盘滑动，故A错误；当mrω2≥μmg即rω2≥μg时，茶杯相对圆盘滑动，与物体质量无关，故B、C错误；如果茶杯相对圆盘静止，静摩擦力提供向心力，则茶杯受到圆盘的摩擦力沿半径指向圆心，故D正确。
答案：D
【B级——能力提升】
9．如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间的弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示，g取10 m/s2，则( )
A．小球的质量为4 kg
B．固定圆环的半径R为1 m
C．小球在最高点的速度为4 m/s时，小球受圆环的弹力大小为20 N，方向向上
D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100 N
解析：对小球在最高点进行受力分析，速度为0时，F－mg＝0，结合图像可知20 N－m·10 m/s2＝0，解得小球质量m＝2 kg，选项A错误；当F＝0时，由重力提供向心力可得mg＝，结合图像可知mg＝，解得固定圆环半径R为0.8 m，选项B错误；小球在最高点的速度为4 m/s时，设小球受圆环的弹力方向向下，由牛顿第二定律得F＋mg＝m，代入数据解得F＝20 N，方向竖直向下，选项C错误；小球经过最低点时，其受力最大，由牛顿第二定律得F－mg＝m，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒定律得mg·2R＝mv2，由以上两式得F＝5 mg，代入数据得F＝100 N，选项D正确。
答案：D
10．(2022·北京东城区高三模拟)如图所示为竖直放置的离心轨道，其中圆轨道半径为r，最低点为A、最高点为B，小球从斜轨道上无初速度释放，可模拟游乐园的“翻滚过山车”。某实验小组同学通过改变释放小球距圆轨道底端的高度h多次实验，发现有时小球能通过B点，有时在到达B点前就脱离轨道。他们结合观察和分析提出了一些猜想，其中正确的是(不考虑摩擦力等阻力的影响，小球视为质点，重力加速度大小记为g)( )
A．若h<2.5r，小球在到达B点前脱离轨道做自由落体运动
B．若h>2.5r，小球对A点和B点都有压力，且h越高，压力之差也越大
C．若h<2.5r，小球在到达B点前脱离了轨道，脱轨前瞬间在指向圆轨道中心方向的加速度比g小
D．若h>2.5r，小球能通过B点且对B点没有压力
解析：小球在这样的一个圆轨道上运行，到达最高点的速度vB≥，根据机械能守恒定律可知mg(h－2r)＝mvB2，解得h≥2.5r。若h<2.5r，则小球不会到达最高点B，而在到达B点前脱离轨道，脱离轨道时，小球是有一定速度的，故它不会做自由落体运动，选项A错误；若h>2.5r，小球对A点和B点都有压力，设压力分别为FA和FB，则FA－mg＝m，同理可得mg＋FB＝m，对A、B两点而言，根据动能定理可知mg×2r＝mvA2－mvB2，以上三式结合可得FA－FB＝6mg，说明小球对两点的压力之差是不变的，与h无关，选项B错误；若h<2.5r，小球在到达B点前脱离轨道，脱轨前瞬间它受重力的作用，而该重力是竖直向下的，并不指向轨道的中心，所以此时在指向圆轨道中心方向的力是重力的一个分力，自然该分力就比重力小，所以此时的向心加速度一定比重力加速度g小，选项C正确；若h>2.5r，小球能通过B点，且对B点有向上的压力，选项D错误。
答案：C
11．如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地面的高度为h＝0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？
(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？
(3)若餐桌的半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？
解析：(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大，有Ffm＝μ1mg，Ffm＝mω2r
联立两式可得ω＝＝2 rad/s。
(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则a＝，Ff＝μ2mg，得a＝μ2g＝2.25 m/s2，
物体在餐桌上滑动的初速度v0＝ωr＝3 m/s，
由运动学公式得0－v02＝－2as，可得s＝2 m，
由几何关系可得餐桌半径的最小值为
R＝＝2.5 m。
(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度vt′，
由题意可得vt′2－v02＝－2as′，
由于餐桌半径为R′＝r，
所以s′＝r＝1.5 m，
可得vt′＝1.5 m/s，
设物体做平抛运动的时间为t，则h＝gt2 ，
解得t＝＝0.4 s，
物体做平抛运动的水平位移为
sx＝vt′t＝0.6 m，
由题意可得L＝s′＋sx＝2.1 m。
答案：(1)2 rad/s (2)2.5 m (3)2.1 m
