山东省济宁市微山县2022-2023学年八年级下学期期中
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．3÷＝2
3．若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
4．△ABC中，∠B＝90°，AC＝4cm，则AB的长为（ ）
A． B．5cm C．5cm或7cm D．5cm或
5．下列四组数分别作为一个三角形的边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，6，8 C．5，12，13 D．
6．如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，AB＝1，以点A为圆心，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知：如图， ABCD中，BE⊥CD于E，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
8．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，则四边形AGCH的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．在3×2的网格中（如图所示），每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，CD交于点O，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
10．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC的中点，分别连接DE，DF，AE
①；
②S△DEF＝S△ABC；
③当AB＝AC时，点O到四边形ADEF四条边的距离相等；
④当∠ABC＝90°时，点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在二次根式中，x的取值范围 ．
12．已知为最简二次根式，且能够与，则a的值是 ．
13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，C，D的面积依次为5，7，20 ．
14．如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC，∠C＝105°，∠BDC＝45° ．
15．如图，矩形CEFD中，CE＝15，使CA＝CD，在CE上取一点B，连接DB并延长，交FE延长线于点G（不与点D，F重合）．当HE＝AD时，则HG的长是 ．
三、解答题：本大题共7题，满分55分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.
16．（6分）计算：
（1）；
（2）．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）若∠A＝42°，求∠DBC的度数；
（2）若CD＝1，，求BD，AB的长．
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，DF＝BE，连接AF
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5
19．（8分）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝9m，BC＝8m，CD＝17m．
（1）求出空地ABCD的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
20．（8分）在学习三角形的中位线后，小刚同学写出了一个命题“经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”．
（1）这个命题是 （填真命题或假命题）；
（2）若你判断是真命题，请完成下面的证明；若你判断是假命题
已知：在△ABC中，点E为BC中点，DE∥AC交AB．
求证：AD＝BD．
证明：
21．（9分）阅读材料
学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质可知，判断两个数或式子的大小时
如果两个数或式子分别为m和n，那么
当m＞n时，一定有m﹣n＞0；
当m＝n时，一定有m﹣n＝0；
当m＜n时，一定有m﹣n＜0．
反过来也正确，即
当m﹣n＞0时，一定有m＞n；
当m﹣n＝0时，一定有m＝n；
当m﹣n＜0时，一定有m＜n．
例如：比较a2+1与2a﹣1的大小．
解：因为（a2+1）（2a﹣1）＝（a﹣1）2+1＞0，所以a2+1＞2a﹣1．
解决问题
（1）用“＞”或“＜”填空：3﹣ 4﹣2；
（2）制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，6块B型钢板．方案2：用3块A型钢板，一块B型钢板的面积为y，则从省料的角度考虑
（3）已知a＞0，比较a与的大小．
22．（11分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接AE交BD于点M，过点B作BF⊥AE于点P，交CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）当OM＝2时，求OG的长；
（3）当点E运动到使AE平分∠BAC位置时，BM与OM是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明，请说明理由．
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．中的﹣3＜5，不是二次根式；
B．的根指数是6，故本选项不符合题意；
C．a＜1，无意义，故本选项不符合题意；
D．符合二次根式的定义，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如（a≥0）的式子叫二次根式．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．3÷＝2
【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
【解答】解：A． 与不能合并；
B．与不能合并；
C． ＝＝，所以C选项符合题意；
D．7÷＝5；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3．若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据二次根式双重非负性，直接解答即可．
【解答】解：∵，
即x﹣3≥0，
解得x≥5，
故选：B．
【点评】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
4．△ABC中，∠B＝90°，AC＝4cm，则AB的长为（ ）
A． B．5cm C．5cm或7cm D．5cm或
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解答】解：△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，
∴AB＝（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．下列四组数分别作为一个三角形的边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，6，8 C．5，12，13 D．
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可．
【解答】解：A、32+52＝52，能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、42+72≠84，不能构成直角三角形，此选项符合题意；
C、52+123＝132，能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、24+32＝（）5，能构成直角三角形，此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
6．如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，AB＝1，以点A为圆心，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为﹣1，可得该点表示的数．
【解答】解：在长方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣4）＝4，
∴，
则点A到该交点的距离为，
∵点A表示的数为﹣1，
∴该点表示的数为：，
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
7．已知：如图， ABCD中，BE⊥CD于E，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠AFB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF＝DAB＝30°，求得∠BAF＝∠AFB＝30°，求得∠EBF＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF＝DAB＝30°，
∴∠BAF＝∠AFB＝30°，
∴AB＝BF，
∵BE＝AB，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵DAB＝60°，
∴∠C＝∠DAB＝60°，
∴∠EBF＝30°，
∴∠BFE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠EFA＝∠BFE﹣∠BFA＝45°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，则四边形AGCH的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】先证明四边形AGCH是平行四边形，然后证明AH＝AG，证得四边形AGCH是菱形，再求出AG即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形，
∴AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∠AGB＝∠GCH＝∠AHF，
在△AFH和△AGB中，
，
∴△AFH≌△AGB（AAS），
∴AH＝AG，
∴平行四边形AGCH是菱形，
∴AG＝GC＝CH＝HA，
∵∠AGB＝30°，AB＝2，
∴AB＝4，
∴四边形AGCH的周长为2×4＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等．
9．在3×2的网格中（如图所示），每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，CD交于点O，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】取格点E，连接AE，BE，可证∠BAE＝∠BOD，根据勾股定理和逆定理可判断△ABE为等腰直角三角形，即可解答．
【解答】解：取格点E，连接AE，则AE∥CD，
∴∠BAE＝∠BOD，
由勾股定理，得AB2＝15+22＝3，EB2＝15+22＝5，AE2＝17+32＝10，
∴AB2+BE2＝AE2，AB＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠BOD＝∠BAE＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
10．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC的中点，分别连接DE，DF，AE
①；
②S△DEF＝S△ABC；
③当AB＝AC时，点O到四边形ADEF四条边的距离相等；
④当∠ABC＝90°时，点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【分析】①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理，进而可以解决问题；
③证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题；
④证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题．
【解答】解：①∵点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DF＝BCAC，
∴AO＝EO，
∴OD是△ABE的中位线，
∴OD＝BE；
②∵点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝，BE＝CE，EF∥AD，
∴四边形ADEF和四边形DBEF和四边形DECF是平行四边形，
∴S△ADF＝S△DEF＝S△BDE＝S△CEF，
∴S△DEF＝S△ABC，故②正确；
③∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故③正确；
④∵∠ABC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离不相等，故④错误．
综上所述：正确的是②③，共2个，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在二次根式中，x的取值范围 x≥﹣ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x+1≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：2x+1≥7，
解得：x≥﹣，
故答案为：x≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12．已知为最简二次根式，且能够与，则a的值是 1 ．
【分析】根据同类二次根式的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝2，，且能够与，
∴a+3＝2，
解得：a＝1，
故答案为：3．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，C，D的面积依次为5，7，20 8 ．
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为5、7，
∴S正方形B+3＝20﹣7，
∴S正方形B＝8．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
14．如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC，∠C＝105°，∠BDC＝45° + ．
【分析】过点C作CH⊥BD于点H，根据题意求出∠BDC＝45°，CH＝DH，∠BCH＝60°，∠HBC＝30°，解直角三角形求出CH＝BC＝1＝DH，BH＝，则BD＝BH+DH＝1+，根据平行四边形的性质得到 ABCD的面积＝2S△BCD，据此求解即可．
【解答】解：过点C作CH⊥BD于点H，
∴∠DHC＝∠BHC＝90°，
∵∠BDC＝45°，
∴DCH＝90°﹣45°＝45°＝∠BDC，
∴CH＝DH，
∵∠BCD＝105°，
∴∠BCH＝∠BCD﹣∠DCH＝60°，
∴∠HBC＝30°，
∴CH＝BC＝2＝DH，
∴BH＝，
∴BD＝BH+DH＝1+，
∴S△BCD＝BD CH＝）×6＝+，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD的面积＝2S△BCD，AE⊥BC，
∴BC AE＝8×（+），
∴AE＝+，
故答案为：+．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到 ABCD的面积＝2S△BCD是解题的关键．
15．如图，矩形CEFD中，CE＝15，使CA＝CD，在CE上取一点B，连接DB并延长，交FE延长线于点G（不与点D，F重合）．当HE＝AD时，则HG的长是 3 ．
【分析】以C为原点，CE所在直线为x轴建立直角坐标系，由CE＝15，CD＝9，得E（15，0），D（0，9），F（15，9），而CA＝CD，CB＝CD，知A（﹣9，0），B（9，0），AD＝9，求出直线BD函数表达式为y＝﹣x+9，可得G（15，﹣6），设H（m，9），根据HE＝AD，有＝9，解得H（6，9），故HG＝＝3．
【解答】解：以C为原点，CE所在直线为x轴建立直角坐标系
∵CE＝15，CD＝9，
∴E（15，0），7），9），
∵CA＝CD，CB＝CD，
∴AC＝BC＝9，
∴A（﹣2，0），0），
∴AD＝＝9，
由D（6，9），0）得直线BD函数表达式为y＝﹣x+4，
在y＝﹣x+9中，令x＝15得y＝﹣6，
∴G（15，﹣7），
∵四边形CDFE是矩形，
∴直线DF函数表达式为y＝9，
设H（m，9），
∵E（15，7），
∴＝9，
解得m＝5或m＝24（此时H不在边DF上，舍去），
∴H（6，9），
∴HG＝＝3，
故答案为：2．
【点评】本题考查矩形的性质，涉及直角坐标系，两点间的距离公式及一次函数等知识，解题的关键是求出G，H的坐标．
三、解答题：本大题共7题，满分55分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.
16．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）；
＝4﹣+
＝；
（2）
＝6﹣2+2
＝7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）若∠A＝42°，求∠DBC的度数；
（2）若CD＝1，，求BD，AB的长．
【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠C＝69°，再根据三角形外角的性质进行求解即可；
（2）先利用勾股定理求出BD＝，设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣1，在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+（）2，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，
∴，
∵BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝21°；
（2）∵在Rt△DBC中，，
∴BD＝＝＝，
设AB＝AC＝x，则AD＝AC﹣CD＝x﹣1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝AD6+BD2，
∴x2＝（x﹣8）2+（）2，
解得x＝4，
∴AB＝4．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设未知数构建方程是解题的关键．
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，DF＝BE，连接AF
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5
【分析】（1）根据平行四边形的性质可以得到DF∥EB，再根据DF＝EB，可以得到四边形BFDE是平行四边形，然后根据DE⊥AB，即可证明结论成立；
（2）根据勾股定理可以得到AD的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到∠DAF＝∠DFA，从而可以得到AD＝FD，然后即可得到DF的值，最后根据矩形的面积＝DF DE计算即可．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
又∵DF＝EB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵DE⊥AB，
∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝FD＝5，
∵AB＝CD，DF＝BE，
∴AE＝CF＝3，
∴DE＝＝4，
∴矩形BFDE的面积是：DF DE＝7×4＝20，
即矩形BFDE的面积是20．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝9m，BC＝8m，CD＝17m．
（1）求出空地ABCD的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
【分析】（1）连接BD，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BCD为直角三角形，四边形ABCD面积等于三角形ABD面积+三角形BCD面积，求出即可；
（2）由（1）求出的面积，乘以350即可得到结果．
【解答】解：（1）连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD8＝92+124＝152，
在△CBD中，CD2＝176，BC2＝87，
而82+152＝172，
即BC2+BD7＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
则S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC，
＝ AD AB+
＝×12×9+
＝114（平方米）；
答：空地ABCD的面积114（平方米）；
（2）需费用114×350＝39900（元），
答：总共需投入39900元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
20．（8分）在学习三角形的中位线后，小刚同学写出了一个命题“经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”．
（1）这个命题是 真命题 （填真命题或假命题）；
（2）若你判断是真命题，请完成下面的证明；若你判断是假命题
已知：在△ABC中，点E为BC中点，DE∥AC交AB．
求证：AD＝BD．
证明：
【分析】（1）这个命题为真命题；
（2）取AB的中点D′，连接ED′，如图，则D′E为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得到D′E∥AC，而DE∥AC，由于经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以可判断点D与点D′重合，从而得到结论．
【解答】（1）这个命题为真命题；
故答案为：真命题；
（2）证明：取AB的中点D′，连接ED′，
∵点E为BC中点，
∴D′E为△ABC的中位线，
∴D′E∥AC，
∵DE∥AC，
∴D′E与DE为同一条直线，
即点D与点D′重合，
∴点D为AB的中点，
∴AD＝BD．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了三角形的中位线性质．
21．（9分）阅读材料
学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质可知，判断两个数或式子的大小时
如果两个数或式子分别为m和n，那么
当m＞n时，一定有m﹣n＞0；
当m＝n时，一定有m﹣n＝0；
当m＜n时，一定有m﹣n＜0．
反过来也正确，即
当m﹣n＞0时，一定有m＞n；
当m﹣n＝0时，一定有m＝n；
当m﹣n＜0时，一定有m＜n．
例如：比较a2+1与2a﹣1的大小．
解：因为（a2+1）（2a﹣1）＝（a﹣1）2+1＞0，所以a2+1＞2a﹣1．
解决问题
（1）用“＞”或“＜”填空：3﹣ ＞ 4﹣2；
（2）制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，6块B型钢板．方案2：用3块A型钢板，一块B型钢板的面积为y，则从省料的角度考虑
（3）已知a＞0，比较a与的大小．
【分析】（1）根据“求差法”进行求解即可；
（2）先表示出两种方案所用的面积，再作差比较即可；
（3）作差比较，再分析即可．
【解答】解：（1）3﹣﹣（7﹣2）
＝7﹣﹣4+5
＝﹣1+＞0，
即3﹣＞4﹣2，
故答案为：＞；
（2）选用方案2，理由如下：
方案1的面积为：4x+6y，
方案2的面积为：6x+7y，
4x+6y﹣（3x+7y）
＝3x+6y﹣3x﹣6y
＝x﹣y，
∵一块A型钢板的面积比一块B型钢板的面积大，
∴x﹣y＞0，
即4x+3y＞3x+7y，
故选择方案2；
（3）a﹣＝，
∵a＞0，
∴当0＜a＜2时，＜2；
当a＝1时，＝0；
当a＞1时，＞0．
【点评】本题考查了整式加减的应用，二次根式的加减，分式的大小比较，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．（11分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接AE交BD于点M，过点B作BF⊥AE于点P，交CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）当OM＝2时，求OG的长；
（3）当点E运动到使AE平分∠BAC位置时，BM与OM是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明，请说明理由．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，结合直角三角形的性质推出∠BAE＝∠CBF，利用ASA即可证明△ABE≌△BCF；
（2）根据正方形的性质，证明△AOM≌△BOG，根据全等三角形的性质即可得解；
（3）作MN⊥AB于点N，先证明OM＝MN，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA）；
（2）解：在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOM＝∠BOG＝90°，
∴∠MAO+∠AMO＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠GBO+∠BMP＝90°，
又∵∠BMP＝∠AMO，
∴∠MAO＝∠GBO，
在△AOM和△BOG中，
，
∴△AOM≌△BOG（ASA），
∴OM＝OG，
∵OM＝2，
∴OG＝2；
（3）解：BM6＝2OM2，理由如下：
如图，作MN⊥AB于点N，
∵AC⊥BD，AE平分∠BAC，
∴OM＝MN，
又∵∠ABD＝45°，∠ANM＝90°，
∴∠NMB＝45°＝∠ABD，
∴BN＝MN，
在Rt△BMN中，BM3＝BN2+MN2＝5MN2＝2OM2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是根据正方形的性质推出△AOM≌△BOG．
