12.2.2 三角形全等的判定（ASA和AAS）（练习）
一、单选题
1．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
2．如图，，点C是的中点，直接应用“”定理证明还需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
4．如图，，要使．则添加的一个条件不能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，BE＝3cm，AD＝7cm，则DE的长是（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
6．如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F，若，则与相等的线段是（ ）
A． B． C． D．
7．在和中，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，能判断这两个三角形全等的条件有（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．④⑤ D．①③
8．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（ ）
A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
9．如图，交于点O，过点O的直线分别交于点E、F，，则图中全等的三角形的对数共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
二、填空题
11．填表．
已知两个对应相等的边或角 应寻找的条件 证明三角形全等的依据
两 边 SAS
SSS
一角及其对边 AAS
一角及其邻边 SAS
AAS或ASA
两 角 ASA或AAS
12．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件，使≌，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
13．在和中，若，，，，则和是否全等？答： ，理由是 ．
14．已知，如图，在△ABC中，，，cm，BD＝3cm，则ED的长为 cm．
15．如图，在中，，平分，于，则△ △ ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝ ．
17．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是 ．
18．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD=∠FCG，∠CBG=∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC=117°；③S△ACE=S△CFD+S△BCG；④AD=DG+BG．其中结论正确的是 （只需要填写序号）．
三、解答题
19．如图，B、C、F、E共线，，，，求证：．
证明：∵，
∴________=________（________________），
∵B、C、F、E共线，
∴________=________（________________），
在________和________中，
，
∴________≌ _______（________），
∴．
20．如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.
21．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.
22．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．
23．如图，已知，，，求证：，．
24．已知：如图，中，D、E为AC边的三等分点，，交BD的延长线于F，求证：点D是BF的中点．
25．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
26．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①如图1若∠BCA=90°，∠=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°， 请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件___ ____使①中的结论仍然成立；
如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠=∠BCA，请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
参考答案：
1．C
【分析】观察每块玻璃形状特征，利用ASA判定三角形全等可得出答案．
【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点睛】本题属于利用ASA判定三角形全等的实际应用，难度不大，但形式较颖，要善于将所学知识与实际问题相结合，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
2．B
【分析】根据平行线的性质推出∠B=∠DCE，再根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
A、根据SAS证△ABC≌△DCE，故本选项错误；
B、∵∠ACB=∠E，CB=CE，∠B=∠DCE，
∴△ABC≌△DCE（ASA），故本选项正确；
C、根据AAS证三角形全等，故本选项错误；
D、根据条件不能证△ABC和△DCE全等，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
3．D
【分析】利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，即可解答．
【详解】∵∠B＝∠E＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°，
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，故D错误；
∴∠A＝∠2，故B正确；
∴∠A+∠D＝90°，故A正确；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
故C正确；
故选：D．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2．
4．A
【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．
【详解】解：在和中，
∴无法证明，
选项A说法错误，符合题意；
在和中，
∴（AAS），
选项B说法正确，不符合题意；
在和中，
∴（ASA），
选项C说法正确，不符合题意；
在和中，
∴（AAS），
选项D说法正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
5．C
【分析】根据同角的余角相等，得∠CBE＝∠ACD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，进而求得DE．
【详解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠BEC＝90°，∠ADC＝90°
∴∠CBE +∠BCE＝90°，
∵∠ACB＝90°
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
在△ACD与△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，本题证明△ACD≌△CBE是关键.
6．B
【分析】由题意得：，，所以可推出，结合其它条件可证明，则可得出．
【详解】解：∵于点D，于点E，，
∴，
∵，∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，倒角是解题的关键．
7．B
【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：第①组满足AAS，能证明△ABC≌△EFD．
第②组不是两角及一边对应相等，不能证明△ABC和△DEF全等．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△FDE．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△FED．
第⑤组满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．
故选B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法—— ， ， ， ．
9．C
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定定理逐个进行判断即可．
【详解】解：，
同理可得：
全等三角形有△AEO≌△BFO，△CEO≌△DFO，△ACO≌△BDO，共3对，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直线平行，内错角相等．
10．A
【分析】延长交于点，证明，可得是的中线，，结合已知条件即可求解．
【详解】如图，延长交于点，
，BP平分∠ABC，
又
，
是的中线
△PAB的面积为，△PBC的面积为，
故选A
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
11．依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边
【详解】试题解析：依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边.
故答案为夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边.
12．（还可以添加∠A=∠D或∠ACB=∠EFD或AC∥DF，答案不唯一）
【分析】根据等式的性质可得BC=EF，再添加AB=DE，可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【详解】添加的条件是，
∵，
∴，
即．
∵在中中，
．
故答案为：．（还可以添加或或，答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13． 是全等 AAS
【分析】根据，，，可利用“AAS”判定全等．
【详解】解：∵，，，
∴≌（AAS），
故答案为：是全等；AAS．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键在于能够熟练掌握三角形全等的判定条件．
14．2
【分析】根据线段的和差关系可得CD的长，利用ASA可证明△ACD≌△AED，可得CD=ED，即可得答案．
【详解】∵cm，BD＝3cm，
∴CD=CB-BD=2cm，
在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED，
∴ED=CD=2cm，
故答案为：2
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形常用的判定定理有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意，应用SAS时，角必须是两边的夹角；AAA和SSA不能判定两个三角形全等，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．
15．
【分析】根据角平分线定理得到，利用直角三角形HL定理证明即可．
【详解】证明：
平分，
，
又 ，
,
在和中，
，
．
故答案为：；．
【点睛】本题考查角平分线性质定理、直角三角形判定定理，能够根据定理推导出相关的条件是解题的关键．
16．1
【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出DE的长，解决问题．
【详解】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴．
故答案为：1
【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质，掌握再全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（-7，3）
【分析】先作辅助线、，通过导角证明，再证明， 得到AD的长度(A的纵坐标长度)、DC长度(加上OC得到A横坐标长度)，根据A点所在象限的符号，确定A点坐标．
【详解】如图，过点A作 于点D，过点B作 于点E
点C的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，5)
OC=2，OE=1，BE=5
在 和 中，
A点的坐标是(-7，3) ．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．
18．①②④
【分析】根据条件求得∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=72°，∠ACE=∠BCE=36°，∠CAF=∠BAF =27°，利用ASA证明△ACF≌△BCG，再根据SAS证明△CDF≌△CDG，据此即可推断各选项的正确性．
【详解】解：在△ABC中，AC=BC，∠ABC=54°，
∴∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=180°-54°-54°=72°，
∵AC=BC，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，
∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=36°，∠CAF=∠BAF=∠BAC=27°，
∵∠ACD=∠FCG=72°，
∴∠BCG=∠FCG-36°=36°，
在△ACF和△BCG中，，
∴△ACF≌△BCG(ASA)；故①正确；
∴∠BGC=∠AFC=180°-36°-27°=117°，故②正确；
∴CF=CG，AF=BG，
在△CDF和△CDG中，，
∴△CDF≌△CDG(SAS)，
∴DF= DG，
∴AD=DF+AF=DG+BG，故④正确；
∵S△CFD+S△BCG= S△CFD+S△ACF = S△ACD，
而S△ACE不等于S△ACD，故③不正确；
综上，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
19．ACF，DFC，两直线平行，内错角相等，ACB，DFE，等角的补角相等，ABC，DFE，B，E，BC，EF，ACB，DFE，ABC，DFE，ASA
【分析】根据平行线的性质及等角的补角相等得ACB=∠DFE，再根据ASA 证ABC≌DEF即可得证．
【详解】证明：∵
∴ACF=DFC（两直线平行，内错角相等），
∵B、C、F、E共线，
∴ ACB=∠DFE（等角的补角相等），
在ABC和DEF中，
，
∴ABC≌DEF（ASA），
∴．
故答案为：ACF，DFC，两直线平行，内错角相等，ACB，DFE，等角的补角相等，ABC，DFE，B，E，BC，EF，ACB，DFE，ABC，DFE，ASA
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质及推理论证，解题关键是掌握全等三角形的判定方法ASA．
20．证明见解析
【分析】先根据题意得出∠DAB=∠CBA，再由ASA定理可得出△ADB≌△BCA，由此可得出结论．
【详解】∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，
∴∠DAB=∠CBA．
在△ADB与△BCA中，
∴△ADB≌△BCA（ASA），
∴BC=AD．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
21．证明见解析.
【分析】由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可．
【详解】证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE=FC．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
22．见解析
【分析】先利用三角形外角性质证明∠ADE=∠B，然后根据“AAS”判断△ABC≌△ADE．
【详解】∵∠ADC＝∠1+∠B，
即∠ADE+∠2＝∠1+∠B，
而∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠B，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
23．证明见解析
【分析】先证明可得：再证明从而可得结论.
【详解】证明： ，，，
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握利用边边边公理，角角边定理判定两个三角形全等是解题的关键.
24．见解析．
【分析】先根据已知条件，利用ASA证明，则有BD=FD，故即可证点D是BF的中点．
【详解】证明：∵中，D、E为AC边的三等分点，
∴AD=DE．
∵，
∴∠BAD=∠FED．
在和中
∠ADB=∠FDE，AD=DE，∠BAD=∠FED，
∴（ASA）．
∴BD=FD．
∴点D是BF的中点．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理和性质，能证明三角形全等是解答此题的关键．
25．证明过程见解析
【分析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC，再结合条件可证明△ABC≌△DEC．
【详解】∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠5+∠4=∠4+∠3，
∴∠5=∠3，且∠B+∠CEA=180°，
又∠7+∠CEA=180°，
∴∠B=∠7，
在△ABC和△DEC中 ,
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
26．（1）①EF、BE、AF的数量关系：(相关等式均可，证明详见解析； ②∠与∠BCA关系：∠+∠BCA=180°（或互补，相关等式均可）；（2）EF、BE、AF的数量关系：(相关等式均可) ，证明详见解析.
【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．
【详解】解：（1）①如图1中，.
.
E点在F点的左侧，.
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.
∴∠BEC=∠AFC=90°，.
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；.
证明：如图2中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE+∠BCE=180°-∠a，∠ACD+∠BCE=180°-∠a，
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
（2）EF=BE+AF．.
理由是：如图3中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.
∴∠EBC=∠ACF，.
在△BEC和△CFA中，.
，.
∴△BEC≌△CFA（AAS），.
∴AF=CE，BE=CF，.
∵EF=CE+CF，.
∴EF=BE+AF．
