(共30张PPT)
第4讲 功能关系 能量守恒定律
课 程 标 准
1.了解自然界中存在多种形式的能量．知道不同形式的能量可以相互转化，在转化过程中能量总量保持不变，能量转化是有方向性的．
2．知道利用能量是人类生存和社会发展的必要条件之一．
3．知道合理使用能源的重要性，具有可持续发展观念，养成节能的习惯．
素 养 目 标
物理观念：了解常见的几种功能关系，知道能量守恒定律的内容．
科学思维：掌握应用功能关系或能量守恒定律解决问题的能力．
科学态度与责任：应用能量观念分析生产、生活中的实际问题．
必备知识·自主落实
关键能力·精准突破
必备知识·自主落实
一、功能关系
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是________的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的．
(2)功是能量转化的________．功和能的关系，体现在：①不同的力做功，对应不同形式的能转化；具有一一对应关系
②是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
能量转化
量度
2．常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做功等于重力势能减少量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量 静电力做功等于电势能减少量 分子力做功等于分子势能减少量 动能 合外力做功等于物体动能变化量
机械能 除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量 W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 Q＝Ff·x相对
指相对路程不是相对位移
电能 克服安培力做功等于电能增加量 W电能＝E2－E1＝ΔE
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空________，也不会凭空消失，它只能从一种形式________为其他形式，或者从一个物体________到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量________．
2．表达式：ΔE减＝ΔE增．
产生
转化
转移
保持不变
走进生活
在电影《飞屋环游记》中，主角用一簇气球使他的房子成功升空．小屋从地面静止出发做匀加速运动，它加速上升到h处时，速度达到了v，不计小屋受到的浮力和空气阻力，则在这一过程中
(1)绳对小屋的拉力等于小屋的重力．( )
(2)绳对小屋的拉力做的功等于小屋动能的增量．( )
(3)绳对小屋的拉力做的功等于小屋机械能的增量．( )
(4)绳对小屋的拉力和小屋重力对小屋做的总功等于小屋机械能的增量．( )
×
×
√
×
关键能力·精准突破
考点一 功能关系的理解和应用
1．功能关系的理解
一是不同的力做功，对应不同形式能量的转化，具有一一对应关系；二是力做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．解题时功能关系的选用原则如下．
问题描述 处理方法
涉及动能的变化 用动能定理分析
涉及重力势能的变化 用重力做功与重力势能变化的关系分析
涉及机械能的变化 用除重力和系统内弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析
涉及电势能的变化 用电场力做功与电势能变化的关系分析
2.摩擦力做功的特点
(1)一对静摩擦力所做功的代数和总等于零；
(2)－对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量．
考向1 功能关系的理解
例1 [2023·山东枣庄模拟]如图所示，用轻绳拴一物体，使物体以恒定加速度向下做减速运动，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．物体所受合力对其做正功
B．物体的机械能增加
C．重力对物体做的功小于物体克服拉力做的功
D．物体减少的重力势能一定等于其减少的动能
答案：C
解析：物体在拉力作用下，竖直向下做匀减速直线运动．受力分析可知物体受两个力，重力G及拉力FT，且拉力FT大于重力G，合力F合 ＝FT－G，方向竖直向上．由功的定义式W＝ Fl cos α可知，合力对其做负功，W合<0，A错误．物体以恒定加速度向下做减速运动的过程中，“其他力”即拉力FT对物体做负功，物体的机械能减小，B错误．因G
考向2 功能关系与图像结合问题
例2 (多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
答案：AB
解析：由题图可得Ep0＝mgh＝30 J，其中h＝3 m，则m＝1 kg，动能和重力势能之和减小，机械能不守恒，故A正确；由题图可知，物块到达底端时动能为10 J，由Ek＝，可得v＝2 m/s，由＝m/s2，故C错误；设斜面倾角为θ，有sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，由牛顿第二定律有mg sin θ－μmg cos θ＝ma，解得μ＝0.5，故B正确；下滑2.0 m时，动能、重力势能之和为22 J，故机械能损失8 J，故D错误．故选AB.
规律方法
求解功能关系与图像的综合问题的关键
求解功能关系与图像的综合问题时，不但要熟记常用的功能关系，而且要在“数形结合”思想的引导下，抓住图像“轴、线、斜率、截距、面积、点”六个要素的物理意义．
考向3 摩擦力做功与能量转化
例3 (多选)如图所示，质量为M＝2 kg、长为L＝2 m的木板静止放置在光滑水平面上，在其左端放置一质量为m＝1 kg的小木块(可视为质点)，小木块与长木板之间的动摩擦因数μ＝0.2，先相对静止，后用一水平向右的力F＝4 N作用在小木块上，经过一段时间小木块从木板另一端滑下，g取10 m/s2，则( )
A．小木块在长木板上滑行的时间t＝2 s
B．在整个运动过程中由于摩擦产生的热量为8 J
C．小木块脱离长木板的瞬间，拉力F的瞬时功率为16 W
D．小木块在运动过程中获得的动能为12 J
答案：AC
解析：小木块和长木板之间发生相对滑动，滑动摩擦力大小为2 N，根据牛顿第二定律可知长木板以加速度a1＝1 m/s2向右做匀加速运动，位移x1＝a1t2.小木块以加速度a2＝2 m/s2向右做匀加速运动，位移x2＝a2t2，x2－x1＝L，解得t＝2 s，故选项A正确．由功能关系得因摩擦而产生的热量为Q＝Wf＝FmgL＝4 J，故选项B错误．小木块脱离长木板瞬间的速度v＝4 m/s，根据P＝Fv＝16 W，可知选项C正确．小木块获得的动能Ek＝mv2＝8 J，故选项D错误．
针 对 训 练
1.[2023·山东泰安模拟](多选)如图所示，滑块以一定的初速度冲上足够长的光滑固定斜面，取斜面底端O点为运动的起点，且滑块在O点的重力势能为零，并以滑块由O点出发时为t＝0时刻．在滑块运动到最高点的过程中，下列描述滑块的动能Ek、重力势能Ep、机械能E随位移x、时间t变化的图像中，正确的是( )
答案：ABD
解析：对滑块从开始向上运动的过程，根据动能定理有Ek＝Ek0－mgx sin θ，可知Ek与位移x呈线性关系，A正确；滑块的重力势能为Ep＝mgx sin θ，可知Ep与位移成正比，B正确；由A项的动能表达式可得Ek＝Ek0－mgx sin θ＝Ek0－mg(v0t－g sin θ·t2)sin θ，图像为抛物线，C错误；滑块上滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，D正确．
2．[2023·福建厦门检测](多选)如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机．如图乙所示，皮带输送机倾角为θ＝30°，顺时针匀速转动，在皮带输送机下端A点无初速度放入一件货物．货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像(以A位置所在的水平面为重力势能零点)如图丙所示．货物均可视为质点，质量均为m＝10 kg，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．皮带输送机A、B两端点间的距离为4.9 m
B．货物与皮带输送机间的动摩擦因数为
C．货物从下端A点运动到上端B点的时间为10 s
D．货物从下端A点运动到上端B点的过程，皮带
输送机多消耗的能量为510 J
答案：BCD
解析：由图丙可知，货物沿皮带输送机向上运动s1＝0.2 m后与皮带输送机相对静止，此后货物的动能不变，重力势能增加，由功能关系有mgs2sin 30°＝ΔE＝495 J－15 J＝480 J，解得s2＝9.6 m，则皮带输送机A、B两端点间的距离为s＝s1＋s2＝9.8 m，选项A错误；由图丙可知，货物从开始运动到与皮带输送机相对静止的过程，由功能关系有ΔE1＝μmg cos 30°·s1，解得μ＝，选项B正确；根据牛顿第二定律，可得货物加速阶段的加速度a＝＝2.5 m/s2，则货物的最终速度为v＝＝1 m/s，加速的时间为t1＝＝0.4 s，匀速的时间为t2＝＝9.6 s，故货物从下端A点运动到上端B点的时间为t＝t1＋t2＝10 s，选项C正确；货物从下端A点运动到上端B点的过程，皮带输送机多消耗的能量为E＝μmg cos 30°(vt1－vt1)＋mv2＋mgs sin 30°＝510 J，选项D正确．
考点二 能量守恒定律的理解和应用
1．能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
2．应用能量守恒定律解题的基本步骤
例4 (多选)如图所示，一轻弹簧下端固定在倾角为θ＝37°的固定斜面底端，弹簧处于原长时上端位于斜面上的B点，可视为质点的物体质量为m.从A点由静止释放，将弹簧压缩到最短后恰好能被弹回到B点．已知A、B间的距离为L，物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，此过程中，下列说法正确的是( )
A．物体克服摩擦力做的功为mgL
B．轻弹簧的最大压缩量为L
C．物体的最大速度等于2
D．轻弹簧弹性势能的最大值为mgL
答案：AD
解析：设弹簧最大压缩量为x，物体第一次经过B点到再回到B点过程，由动能定理得－μmg cos θ·2x＝，从A点由静止释放至第一次到B点过程中，由动能定理得mg sin θ·L－μmg cos θ·L＝，解得x＝L，vB＝2，物体克服摩擦力做的功W＝μmg cos θ(2x＋L)＝mgL，故A正确，B错误；物体向下经过B点会继续加速，最大速度大于2，故C错误；由最低点到B点过程中，由能量守恒定律得Ep＝μmg cos θ·x＋mg sin θ·x，解得轻弹簧弹性势能的最大值Ep＝mgL，故D正确．
针 对 训 练
3.如图所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2 kg的长木板，木板上表面与固定的竖直弧形轨道相切．一质量m＝1 kg的小滑块自A点沿弧面由静止滑下，A点距离长木板上表面高度h＝0.6 m．滑块在木板上滑行t＝1 s后，和木板一起以速度v＝1 m/s做匀速运动，g取10 m/s2.求：
(1)滑块与木板间的摩擦力；
(2)滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功；
(3)滑块相对木板滑行的距离．
解析：(1)对木板，据v＝v0＋at得其运动的加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2
根据牛顿第二定律得，滑块与木板间的摩擦力
Ff＝Ma＝2 N.
(2)由牛顿第二定律知，滑块在长木板上运动的加速度大小a2＝－＝－2 m/s2，则滑块离开弧形轨道的速度v0＝v－a2t＝3 m/s
滑块沿弧面下滑的过程中，据动能定理有mgh－Wf＝－0，代入数据计算得Wf＝1.5 J.
(3)根据能量守恒定律有FfΔx＝－(M＋m)v2.
计算得滑块相对木板滑行的距离Δx＝1.5 m.
答案：(1)2 N (2)1.5 J (3)1.5 m课时分层作业(二十四) 功能关系 能量守恒定律
?基础强化练?
1．[2023·东北三省四市联考](多选)第22届哈尔滨冰雪大世界开门迎客了，近400m长的极速大滑梯是大人、孩子最喜欢的娱乐项目．一名游客坐在雪橇上下滑了一段路程，重力对他做功3000J，他克服阻力做功500J，则在此过程中这名游客( )
A．重力势能增加了3000J
B．动能增加了3000J
C．动能增加了2500J
D．机械能减少了500J
2．木块静置于光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向飞来射入木块中．当子弹进入木块的深度达到最大值2.0cm时，木块沿水平面恰好移动距离1.0cm.在上述过程中系统损失的机械能与子弹损失的动能之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2
3.
某同学用如图所示的装置测量一个凹形木块的质量m，弹簧的左端固定，木块在水平面上紧靠弹簧(不连接)将其压缩，记下木块右端位置A点，静止释放后，木块右端恰能运动到B1点．在木块槽中加入一个质量m0＝800g的砝码，再将木块左端紧靠弹簧，木块右端位置仍然在A点．静止释放后木块离开弹簧，右端恰能运动到B2点，测得AB1、AB2长分别为27.0cm和9.0cm，则木块的质量m为( )
A．100gB．200gC．300gD．400g
4.
如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点，当弹簧处于自由状态时，弹簧另一端在A点．用一个金属小球挤压弹簧至B点，由静止释放小球，随即小球被弹簧竖直弹出，已知C点为AB的中点．则( )
A．从B到A过程中，小球的机械能守恒
B．从B到A过程中，小球的动能一直在增大
C．从B到A过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．从B到C过程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程
5．如图甲所示，木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2kg的另一物体B(可看成质点)以水平速度v0＝2m/s滑上原来静止的长木板A的上表面．由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是(g取10m/s2)( )
A.木板获得的动能为2J
B．系统损失的机械能为4J
C．木板A的最小长度为2m
D．A、B间的动摩擦因数为0.1
6.
图示为某商场的室内模拟滑雪机，该机主要由前后两个传动轴及传送带上粘合的雪毯构成，雪毯不断向上运动，使滑雪者产生身临其境的滑雪体验．已知坡道长L＝6m，倾角θ＝37°，雪毯始终以速度v＝5m/s向上运动．一质量m＝70kg(含装备)的滑雪者从坡道顶端由静止滑下，滑雪者没有做任何助力动作，滑雪板与雪毯间的动摩擦因数μ＝，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.不计空气阻力．在滑雪者滑到坡道底端的过程中，求：
(1)滑雪者的加速度大小a以及经历的时间t；
(2)滑雪者克服摩擦力所做的功W；
(3)滑雪板与雪毯间摩擦产生的热量Q.
7．如图甲所示，避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等部分组成．如图乙所示，是某处避险车道的简化示意图．若一辆卡车质量为8t，在直干道上以72km/h的速度向坡下行驶，运动到A处刹车突然失灵，司机发现危险后控制卡车经过一段竖直面内的圆弧车道驶上制动坡床进行减速，再过一段时间，卡车停止且未与防撞设施发生碰撞．若A、C间的高度差为50m，卡车运动到C点时速度为108km/h，制动坡床可视为与水平面间的夹角为θ＝30°的斜面，卡车在制动坡床上运动时受到坡床的阻力大小是其重力大小的，重力加速度为g＝10m/s2.
(1)求卡车从A运动到C的过程中损失的机械能．
(2)为保障该卡车的安全，这条避险车道至少需要多长？
(3)卡车在制动坡床上速度减为零后，受到制动坡床的摩擦力为多大？
?能力提升练?
8．悬崖速降是一种户外运动．如图所示，速降者选择崖面平坦、高度适合的崖壁，用专业的登山绳做保护，由崖壁主体沿绳下跃，通过下降器和一个八字环控制摩擦阻力从而控制下降速度，从崖顶下降到崖底．某次速降中，速降者先从静止开始匀加速至2m/s，接着匀速运动40s，之后匀减速运动，到达地面时速度恰好减为零，总共用时60s．速降者及装备的总质量为60kg，运动方向始终竖直向下，重力加速度大小g取10m/s2，则下列说法正确的是( )
A．在加速下降阶段，速降者及装备的机械能逐渐增大
B．在60s内，速降者下降高度为90m
C．在60s内，速降者及装备克服阻力做功4.8×104J
D．在变速下降的20s内，速降者及装备克服阻力做功1.2×104J
9.
[2022·浙江6月]风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途经之一．如图所示，风力发电机是一种将风能转化为电能的装置．某风力发电机在风速为9m/s时，输出电功率为405kW，风速在5～10m/s范围内，转化效率可视为不变．该风机叶片旋转一周扫过的面积为A，空气密度为ρ，风场风速为v，并保持风正面吹向叶片．下列说法正确的是( )
A．该风力发电机的输出电功率与风速成正比
B．单位时间流过面积A的流动空气动能为ρAv2
C．若每天平均有1.0×108kW的风能资源，则每天发电量为2.4×109kW·h
D．若风场每年有5000h风速在6～10m/s的风能资源，则该发电机年发电量至少为6.0×105kW·h
10.下图为一个简化后的娱乐项目示意图，游客被安全地固定在球形装备(看成质点，图中未画出)内，被弹射系统水平贴地弹出后即刻进入长为L＝5m的水平轨道SO.O点既是水平轨道的末端，也是半圆轨道OA的起点，以O点为坐标原点建立水平向右的x轴．竖直半圆轨道OA与AB(O、A、B在同一条竖直线上，B点为半圆轨道AB的最高点，该处切线水平)的半径均为R＝2m，它们在A点衔接，不计衔接处的缝隙大小和装备运行到此处的能量损失．半圆轨道OA的右侧是一片水域，水面略低于半径r＝2m的水平圆盘，MN是圆盘的竖直支架(它与半圆轨道在同一竖直面内)，N点是圆盘的圆心，M点可以左右移动，水平圆盘不能和半圆轨道OA重叠．若球形装备与SO之间的动摩擦因数μ＝0.2，与两半圆轨道的摩擦不计，圆盘转轴NM的高度H＝2m，不计空气阻力，球形装备的质量为50kg，g取10m/s2，在某次设备测试中，让球形装备空载运行．
(1)为了能让装备安全到达B点，则弹射系统应至少给装备提供多少能量？
(2)若装备恰好能安全到达B点，此后为让装备能落到水平圆盘上，求M点的坐标范围．
(3)若M点的坐标为x＝6m，为让装备能落到水平圆盘上，求弹射系统提供给装备的能量．
课时分层作业（二十四）
1．解析：重力做正功，所以游客的重力势能减少了3000J，A错误；合力做功等于动能的增加，所以动能增加了3000J－500J＝2500J，B错误，C正确；阻力做负功，所以机械能减少了500J，D正确．
答案：CD
2．解析：根据题意，子弹在摩擦力作用下的位移为x1＝（2＋1）cm＝3cm，木块在摩擦力作用下的位移为x2＝1cm；系统损失的机械能转化为内能，根据功能关系，有ΔE系统＝Q＝Ff·Δx；子弹损失的动能等于子弹克服摩擦力做的功，故ΔE子弹＝Ffx1；所以＝，所以C正确，A、B、D错误．
答案：C
3．解析：根据能量守恒定律，有μmg·AB1＝Ep，μ（m0＋m）g·AB2＝Ep，联立解得m＝400g，D正确．
答案：D
4．解析：从B到A过程中，弹簧的弹力对小球做正功，则小球的机械能增加，选项A错误；从B到A过程中，开始时弹力大于重力，小球加速上升，当弹力等于重力时小球速度最大，动能最大；之后弹力小于重力，小球的速度减小，动能减小，则小球的动能先增大后减小，选项B错误；从B到A过程中，弹簧的压缩量一直减小，则弹性势能一直减小，选项C错误；从B到C过程弹簧弹力的平均值大于从C到A过程中弹力的平均值，可知从B到C过程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程，选项D正确．
答案：D
5．解析：由图乙知，A、B的加速度大小都为1m/s2，根据牛顿第二定律知二者质量相等，则M＝m＝2kg，则木板获得的动能Ek＝Mv2＝×2×12J＝1J，A错；系统损失的机械能ΔE＝mv－×2m×v2＝2J，B错；由v t图像可求出二者相对位移Δx＝xB－xA＝1.5m－0.5m＝1m，即木板A的最小长度为1m，C错；对A，据牛顿第二定律μmg＝Ma，可得μ＝0.1，D正确．
答案：D
6．解析：（1）设滑雪者受到雪毯的支持力为FN，摩擦力为Ff
在沿斜面方向，由牛顿第二定律可得
mgsinθ－Ff＝ma
在垂直于斜面方向上：FN＝mgcosθ
滑雪者受到的摩擦力大小为：Ff＝μFN
联立解得：a＝3m/s2
由运动学公式L＝at2可知t＝＝2s
（2）滑雪者克服摩擦力做功
Wf＝μmgLcosθ＝1260J
（3）此过程雪毯运行的距离为
s＝vt＝10m
滑雪板与雪毯间摩擦产生的热量
Q＝μmg（L＋s）cosθ＝3360J
答案：（1）3m/s2 2s （2）1260J （3）3360J
7．解析：（1）卡车从A运动到C的过程，以C点所在水平面为参考平面，根据能量守恒定律有mgh＋mv＝ΔE＋mv
解得ΔE＝2×106J.
（2）卡车经过C点后，在制动坡床上运动的过程，根据动能定理有－mgLsinθ－FfL＝0－mv
解得L＝37.5m
故这条避险车道至少需要37.5m.
（3）由于mgsinθ＝mg
答案：（1）2×106J （2）37.5m （3）4×104N
8．解析：在加速下降阶段，阻力对速降者及装备整体做负功，则速降者及装备的机械能逐渐减小，故A错误；速降者匀速运动的速度为v＝2m/s，设加速、匀速和减速的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t3＝60s－40s＝20s，在60s内，速降者下降高度为：x＝（t1＋t3）＋vt2＝×20m＋2×40m＝100m，故B错误；设在60s内，速降者及装备克服阻力做功为Wf.根据动能定理得mgx－Wf＝0，解得Wf＝6×104J，故C错误；在变速下降的20s内，速降者及装备克服阻力做功等于克服阻力做的总功减去匀速下降阶段克服阻力做功为W′f＝Wf－mgvt2，解得W′f＝1.2×104J，故D正确．
答案：D
9．解析：设Δt内吹到风机旋转形成的圆面上的空气的质量为Δm，则Δm＝ρAvΔt，该部分空气的动能为ΔEk＝v2＝ρAv3Δt，设转化效率为k，则有PΔt＝kΔEk，解得P＝kρAv3，可知风力发电机的输出功率与风速的三次方成正比，A、B错误；由于风力发电机的效率一定小于100%，所以若每天平均有1.0×108kW的风能资源，每天的发电量一定小于2.4×109kW·h，C错误；风力发电机在风速为9m/s时，输出电功率为405kW，若风场每年有5000h风速在6～10m/s的风能资源，按照最低风速6m/s计算，由上述分析可知风速为6m/s时，输出电功率为×405kW＝120kW，该发电机年发电量至少为5000h×120kW＝6.0×105kW·h，D正确．
答案：D
10．解析：（1）装备恰好能安全到达B点，在最高点B根据牛顿第二定律可得mg＝m
根据能量关系可得E＝μmgL＋mg·4R＋mv
解得E＝5000J.
（2）根据平抛运动的知识可得，竖直方向上有4R－H＝gt2
计算可得落到圆盘上需要时间t＝s
水平方向上有x＝vBt
解得x＝2m
由于水平圆盘不能和半圆轨道OA重叠，水平圆盘的半径为2m，所以M点的坐标范围为4m≤xM≤（2＋2）m.
（3）M点的坐标为x＝6m时，圆盘在坐标上的范围为（4m，8m），由于4m<2m<8m，故最小能量为E1＝5000J.
若装备恰好落在圆盘右侧边缘，根据x′＝v′Bt可得，B点的速度为v′B＝＝8m/s
最大能量为E2＝μmgL＋mg·4R＋mv′＝J≈5833J
弹射系统提供给装备的能量范围为5000J≤E≤5833J.
答案：（1）5000J （2）4m≤xM≤（2＋2）m
（3）5000J≤E≤5833J第4讲 功能关系 能量守恒定律
课 程 标 准
1.了解自然界中存在多种形式的能量．知道不同形式的能量可以相互转化，在转化过程中能量总量保持不变，能量转化是有方向性的．
2．知道利用能量是人类生存和社会发展的必要条件之一．
3．知道合理使用能源的重要性，具有可持续发展观念，养成节能的习惯．
素 养 目 标
物理观念：了解常见的几种功能关系，知道能量守恒定律的内容．
科学思维：掌握应用功能关系或能量守恒定律解决问题的能力．
科学态度与责任：应用能量观念分析生产、生活中的实际问题．
必备知识·自主落实
一、功能关系
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是________的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的．
(2)功是能量转化的________．功和能的关系，体现在：①不同的力做功，对应不同形式的能转化；具有一一对应关系
②是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做功等于重力势能减少量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能 合外力做功等于物体动能变化量 W＝Ek2－Ek1＝
机械能 除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量 W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 Q＝Ff·x相对 指相对路程不是相对位移
电能 克服安培力做功等于电能增加量 W电能＝E2－E1＝ΔE
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空________，也不会凭空消失，它只能从一种形式________为其他形式，或者从一个物体________到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量________．
2．表达式：ΔE减＝ΔE增．
走进生活
在电影《飞屋环游记》中，主角用一簇气球使他的房子成功升空．小屋从地面静止出发做匀加速运动，它加速上升到h处时，速度达到了v，不计小屋受到的浮力和空气阻力，则在这一过程中
(1)绳对小屋的拉力等于小屋的重力．( )
(2)绳对小屋的拉力做的功等于小屋动能的增量．( )
(3)绳对小屋的拉力做的功等于小屋机械能的增量．( )
(4)绳对小屋的拉力和小屋重力对小屋做的总功等于小屋机械能的增量．( )
关键能力·精准突破
考点一 功能关系的理解和应用
1．功能关系的理解
一是不同的力做功，对应不同形式能量的转化，具有一一对应关系；二是力做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．解题时功能关系的选用原则如下．
问题描述 处理方法
涉及动能的变化 用动能定理分析
涉及重力势能的变化 用重力做功与重力势能变化的关系分析
涉及机械能的变化 用除重力和系统内弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析
涉及电势能的变化 用电场力做功与电势能变化的关系分析
2.摩擦力做功的特点
(1)一对静摩擦力所做功的代数和总等于零；
(2)－对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量．
考向1 功能关系的理解
例1[2023·山东枣庄模拟]如图所示，用轻绳拴一物体，使物体以恒定加速度向下做减速运动，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．物体所受合力对其做正功
B．物体的机械能增加
C．重力对物体做的功小于物体克服拉力做的功
D．物体减少的重力势能一定等于其减少的动能
[教你解决问题]
[解题心得]
考向2 功能关系与图像结合问题
例2 (多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
[解题心得]
规律方法
求解功能关系与图像的综合问题的关键
求解功能关系与图像的综合问题时，不但要熟记常用的功能关系，而且要在“数形结合”思想的引导下，抓住图像“轴、线、斜率、截距、面积、点”六个要素的物理意义．
考向3 摩擦力做功与能量转化
例3 (多选)如图所示，质量为M＝2 kg、长为L＝2 m的木板静止放置在光滑水平面上，在其左端放置一质量为m＝1 kg的小木块(可视为质点)，小木块与长木板之间的动摩擦因数μ＝0.2，先相对静止，后用一水平向右的力F＝4 N作用在小木块上，经过一段时间小木块从木板另一端滑下，g取10 m/s2，则( )
A．小木块在长木板上滑行的时间t＝2 s
B．在整个运动过程中由于摩擦产生的热量为8 J
C．小木块脱离长木板的瞬间，拉力F的瞬时功率为16 W
D．小木块在运动过程中获得的动能为12 J
[解题心得]
针 对 训 练
1.[2023·山东泰安模拟](多选)如图所示，滑块以一定的初速度冲上足够长的光滑固定斜面，取斜面底端O点为运动的起点，且滑块在O点的重力势能为零，并以滑块由O点出发时为t＝0时刻．在滑块运动到最高点的过程中，下列描述滑块的动能Ek、重力势能Ep、机械能E随位移x、时间t变化的图像中，正确的是( )
2．[2023·福建厦门检测](多选)如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机．如图乙所示，皮带输送机倾角为θ＝30°，顺时针匀速转动，在皮带输送机下端A点无初速度放入一件货物．货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械能E与位移s的关系图像(以A位置所在的水平面为重力势能零点)如图丙所示．货物均可视为质点，质量均为m＝10 kg，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．皮带输送机A、B两端点间的距离为4.9 m
B．货物与皮带输送机间的动摩擦因数为
C．货物从下端A点运动到上端B点的时间为10 s
D．货物从下端A点运动到上端B点的过程，皮带输送机多消耗的能量为510 J
考点二 能量守恒定律的理解和应用
1．能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
2．应用能量守恒定律解题的基本步骤
例4 (多选)如图所示，一轻弹簧下端固定在倾角为θ＝37°的固定斜面底端，弹簧处于原长时上端位于斜面上的B点，可视为质点的物体质量为m.从A点由静止释放，将弹簧压缩到最短后恰好能被弹回到B点．已知A、B间的距离为L，物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，此过程中，下列说法正确的是( )
A．物体克服摩擦力做的功为mgL
B．轻弹簧的最大压缩量为L
C．物体的最大速度等于2
D．轻弹簧弹性势能的最大值为mgL
[解题心得]
针 对 训 练
3.如图所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2 kg的长木板，木板上表面与固定的竖直弧形轨道相切．一质量m＝1 kg的小滑块自A点沿弧面由静止滑下，A点距离长木板上表面高度h＝0.6 m．滑块在木板上滑行t＝1 s后，和木板一起以速度v＝1 m/s做匀速运动，g取10 m/s2.求：
(1)滑块与木板间的摩擦力；
(2)滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功；
(3)滑块相对木板滑行的距离．
第4讲 功能关系 能量守恒定律
必备知识·自主落实
一、
1．(1)能量转化 (2)量度
二、
1．产生 转化 转移 保持不变
走进生活
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
关键能力·精准突破
考点一
例1 解析：物体在拉力作用下，竖直向下做匀减速直线运动．受力分析可知物体受两个力，重力G及拉力FT，且拉力FT大于重力G，合力F合 ＝FT－G，方向竖直向上．由功的定义式W＝ Fl cos α可知，合力对其做负功，W合<0，A错误．物体以恒定加速度向下做减速运动的过程中，“其他力”即拉力FT对物体做负功，物体的机械能减小，B错误．因G
例2 解析：由题图可得Ep0＝mgh＝30 J，其中h＝3 m，则m＝1 kg，动能和重力势能之和减小，机械能不守恒，故A正确；由题图可知，物块到达底端时动能为10 J，由Ek＝，可得v＝2 m/s，由＝m/s2，故C错误；设斜面倾角为θ，有sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，由牛顿第二定律有mg sin θ－μmg cos θ＝ma，解得μ＝0.5，故B正确；下滑2.0 m时，动能、重力势能之和为22 J，故机械能损失8 J，故D错误．故选AB.
答案：AB
例3 解析：小木块和长木板之间发生相对滑动，滑动摩擦力大小为2 N，根据牛顿第二定律可知长木板以加速度a1＝1 m/s2向右做匀加速运动，位移x1＝a1t2.小木块以加速度a2＝2 m/s2向右做匀加速运动，位移x2＝a2t2，x2－x1＝L，解得t＝2 s，故选项A正确．由功能关系得因摩擦而产生的热量为Q＝Wf＝FmgL＝4 J，故选项B错误．小木块脱离长木板瞬间的速度v＝4 m/s，根据P＝Fv＝16 W，可知选项C正确．小木块获得的动能Ek＝mv2＝8 J，故选项D错误．
答案：AC
1．解析：对滑块从开始向上运动的过程，根据动能定理有Ek＝Ek0－mgx sin θ，可知Ek与位移x呈线性关系，A正确；滑块的重力势能为Ep＝mgx sin θ，可知Ep与位移成正比，B正确；由A项的动能表达式可得Ek＝Ek0－mgx sin θ＝Ek0－mg(v0t－g sin θ·t2)sin θ，图像为抛物线，C错误；滑块上滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，D正确．
答案：ABD
2．解析：由图丙可知，货物沿皮带输送机向上运动s1＝0.2 m后与皮带输送机相对静止，此后货物的动能不变，重力势能增加，由功能关系有mgs2sin 30°＝ΔE＝495 J－15 J＝480 J，解得s2＝9.6 m，则皮带输送机A、B两端点间的距离为s＝s1＋s2＝9.8 m，选项A错误；由图丙可知，货物从开始运动到与皮带输送机相对静止的过程，由功能关系有ΔE1＝μmg cos 30°·s1，解得μ＝，选项B正确；根据牛顿第二定律，可得货物加速阶段的加速度a＝＝2.5 m/s2，则货物的最终速度为v＝＝1 m/s，加速的时间为t1＝＝0.4 s，匀速的时间为t2＝＝9.6 s，故货物从下端A点运动到上端B点的时间为t＝t1＋t2＝10 s，选项C正确；货物从下端A点运动到上端B点的过程，皮带输送机多消耗的能量为E＝μmg cos 30°(vt1－vt1)＋mv2＋mgs sin 30°＝510 J，选项D正确．
答案：BCD
考点二
例4 解析：设弹簧最大压缩量为x，物体第一次经过B点到再回到B点过程，由动能定理得－μmg cos θ·2x＝，从A点由静止释放至第一次到B点过程中，由动能定理得mg sin θ·L－μmg cos θ·L＝，解得x＝L，vB＝2，物体克服摩擦力做的功W＝μmg cos θ(2x＋L)＝mgL，故A正确，B错误；物体向下经过B点会继续加速，最大速度大于2，故C错误；由最低点到B点过程中，由能量守恒定律得Ep＝μmg cos θ·x＋mg sin θ·x，解得轻弹簧弹性势能的最大值Ep＝mgL，故D正确．
答案：AD
3．解析：
(1)对木板，据v＝v0＋at得其运动的加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2
根据牛顿第二定律得，滑块与木板间的摩擦力
Ff＝Ma＝2 N.
(2)由牛顿第二定律知，滑块在长木板上运动的加速度大小a2＝－＝－2 m/s2，则滑块离开弧形轨道的速度v0＝v－a2t＝3 m/s
滑块沿弧面下滑的过程中，据动能定理有mgh－Wf＝－0，代入数据计算得Wf＝1.5 J.
(3)根据能量守恒定律有FfΔx＝－(M＋m)v2.
计算得滑块相对木板滑行的距离Δx＝1.5 m.
答案：(1)2 N (2)1.5 J (3)1.5 m
