课时分层作业(十六) 抛体运动
基础强化练?
1．某人投掷飞镖，他站在投镖线上从同一点C水平抛出多个飞镖，结果以初速度vA投出的飞镖打在A点，以初速度vB投出的飞镖打在B点，始终没有打在竖直标靶中心O点，如图所示．为了能把飞镖打在标靶中心O点，则他应该做出的调整为( )
A．保持初速度vA不变，升高抛出点C的高度
B．保持初速度vB不变，升高抛出点C的高度
C．保持抛出点C位置不变，投出飞镖的初速度比vA大些
D．保持抛出点C位置不变，投出飞镖的初速度比vB小些
2．(多选)如图，矮个子、高个子分别原地起跳将A、B两个相同的篮球抛出，在篮筐正上方相碰且相碰时速度均水平，不考虑空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．A球比B球先抛出
B．两球相碰前瞬间A球的速度比B球的小
C．两球相碰时A球的重力功率比B球的大
D．矮个子对篮球做的功比高个子的多
3．如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面．其半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切．OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为( )
A．RB．C．D．
4．[2023·河南南阳期末](多选)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达一竖直墙面时，小球速度与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttanθ
B．小球在时间t内的位移方向与水平方向的夹角一定为
C．若小球初速度增大，则做平抛运动的时间变短
D．若小球初速度增大，则θ减小
5．[2022·广东卷]如图是滑雪道的示意图．可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地．不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力．下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是( )
6．如图甲，2021年8月13日在东京奥运会上马龙以4∶2战胜樊振东夺得冠军．如图乙所示，球网高出桌面H，网到桌边的距离为L.假设马龙在乒乓球比赛中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘．设乒乓球运动为平抛运动，不计空气阻力，则( )
A．击球点的高度与网高度之比为2∶1
B．乒乓球在网左右两侧运动时间之比为2∶1
C．乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比为1∶2
D．乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2
7．[2023·四川省成都市模拟]如图所示，一个小球从一定高度h处以水平速度v0＝10m/s抛出，小球恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面的中点P.已知AC＝2m，g取10m/s2，则小球抛出点的高度h及斜面的高度H分别为( )
A．8m、13mB．10m、15m
C．13m、16mD．15m、20m
8．[2023·新疆克拉玛依市高三(下)第三次模拟检测]投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也．宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也．”如图所示，甲、乙两人在不同位置沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，竖直方向下落的高度相等．忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)( )
A．甲、乙两人所射箭的初速度大小之比为16∶9
B．甲、乙两人所射箭落入壶口时的速度大小之比为3∶4
C．甲、乙两人投射位置与壶口的水平距离之比为16∶9
D．甲、乙两人所射箭落入壶口时的动能之比为16∶9
9．[2023·安徽省蚌埠市高三(下)第三次教学质量检查]图甲为跳台滑雪赛道的示意图，APBC是平滑连接的赛道，其中BC是倾角θ＝30°的斜面赛道．质量m＝60kg的运动员在一次练习时从高台A处水平跃出，落到P点后沿PB进入斜面赛道，A、P间的高度差H＝80m、水平距离L＝100m．运动员沿BC做匀减速直线运动时，位移和时间的比值随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，求：
(1)运动员从A点跃出时的速度大小；
(2)运动员沿BC运动时受到的阻力大小．
?能力提升练?
10．[2023·江西南昌三模]如图所示，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝37°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，P、Q两个小球打到斜面上时的速度大小分别为vP和vQ.则(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)( )
A．v1＝v2B．v1＝v2C．vQ＝vPD．vQ＝vP
11．排球场地的数据如图甲所示，在某次比赛中，一球员在发球区从离地高3.5m且靠近底线的位置(与球网的水平距离为9m)将排球水平向前击出，排球的速度方向与水平方向夹角的正切值tanθ与排球运动时间t的关系如图乙所示．排球可看成质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2.
(1)求排球击出后0.2s内速度变化量的大小和方向．
(2)求排球初速度的大小．
(3)通过计算判断，如果对方球员没有碰到排球，此次发球是否能够直接得分．
课时分层作业（十六）
1．解析：设C点到竖直标靶的水平距离为x，飞镖运动的时间为t，根据平抛运动规律有h＝gt2，x＝v0t，由题意，以初速度vA投出的飞镖打的位置比靶心位置高，所以在保持初速度vA不变时，应该降低抛出点C的高度；以初速度vB投出的飞镖打的位置比靶心位置低，故在保持初速度vB不变时，应该将抛出点C的高度升高，故A错误，B正确．保持抛出点C位置不变时，飞镖做平抛运动的水平位移不变，则应该使投出飞镖的初速度比vA小一些，使运动时间变长，竖直分位移增大；或使投出飞镖的初速度比vB大一些，使时间变短，竖直位移也就会变小一些，故C、D错误．
答案：B
2．解析：根据逆向思维可知，两球的运动均可看成从篮筐正上方的相碰点做平抛运动，分析可知两球碰前瞬间A球的速度比B球的大，B错误；由h＝gt2得t＝，则A球碰撞前在空中运动的时间较长，A球先抛出，A正确；相碰时两球的速度方向均与重力方向垂直，此时两球的重力功率均为零，C错误；由vy＝gt知A球抛出时竖直分速度较大，又水平分速度也较大，则抛出时的初动能较大，根据动能定理知矮个子对篮球做的功比高个子的多，D正确．
答案：AD
3．解析：设小球平抛运动的初速度为v0，将小球在D点的速度沿竖直方向和水平方向分解．则有＝tan60°，解得＝，小球平抛运动的水平位移x＝Rsin60°，x＝v0t，解得v＝，v＝，设平抛运动的竖直位移为y，v＝2gy，解得y＝，则BC＝y－（R－Rcos60°）＝，故D正确，A、B、C错误．
答案：D
4．解析：小球与墙相撞时沿竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为vy＝gt，vx＝vytanθ＝gttanθ，vx＝v0，A正确；设小球在时间t内的位移方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝＝＝＝＝，故α不等于，B错误；由于小球到墙的水平距离一定，小球初速度增大，则运动的时间变短，C正确；由于tanθ＝，初速度增大，运动时间变短，则tanθ增大，θ增大，D错误．
答案：AC
5．解析：根据题述可知，运动员在斜坡上由静止滑下做加速度小于g的匀加速运动，在NP段做匀速直线运动，从P飞出后做平抛运动，加速度大小为g，速度方向时刻改变、大小不均匀增大，所以只有图像C正确．
答案：C
6．解析：因为乒乓球在水平方向做匀速运动，网右侧的水平位移是左侧水平位移的两倍，所以由x＝v0t知，乒乓球在网右侧运动时间是左侧的两倍．竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知，在网上面运动的竖直位移和整个高度之比为1∶9，所以击球点的高度与网高之比为9∶8，A、B错误．乒乓球恰好通过网的上沿的时间为落到右侧桌边缘的时间的，竖直方向做自由落体运动，根据v＝gt可知，球恰好通过网的上沿的竖直分速度与落到右侧桌边缘的竖直分速度之比为1∶3，根据v＝可知，乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比不是1∶2，C错误．乒乓球在网右侧运动时间是左侧的两倍，Δv＝gt，所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2，D正确．
答案：D
7．解析：设平抛运动时间为t，末速度分解如图所示：
则tan45°＝＝，解得t＝1s
则小球下落高度为h0＝gt2＝×10×12m＝5m
水平位移为x＝v0t＝10m
由几何关系得斜面的高度H为H＝2×（x－xAC）＝2×（10－2）m＝16m
小球抛出点的高度为h＝h0＋（x－xAC）＝5＋（10－2）m＝13m
故A、B、D错误，C正确．
答案：C
8．解析：箭做平抛运动，两支箭竖直方向下落高度相等，则两支箭在空中的运动时间相同，速度变化量Δv＝vy＝gt相同，设箭尖插入壶中时与水平面的夹角为θ，箭射出时的初速度为v0，则tanθ＝，即v0＝，两支箭射出的初速度大小之比为tan37°∶tan53°＝9∶16，A错误；设箭尖插入壶中时的速度大小为v，则vsinθ＝vy，即v＝两支箭落入壶口时的速度大小之比为3∶4，B正确；因两支箭在空中的运动时间相同，甲、乙两人投射位置与壶口的水平距离之比，即初速度大小之比，等于9∶16，故C错误；根据动能的表达式可知，甲、乙两人所射箭落入壶口时的动能之比等于箭落入壶口时速度的平方之比为9∶16，故D错误．
答案：B
9．解析：（1）运动员从A到P做平抛运动，设初速度为v0，则有H＝gt2，L＝v0t，解得v0＝25m/s
（2）由随时间t的变化关系可得x＝20t－2t2
故运动员在B、C间运动的加速度大小a＝4m/s2
由牛顿第二定律可得f－mgsinθ＝ma
解得f＝540N.
答案：（1）25m/s （2）540N
10．解析：两球抛出后在竖直方向都做自由落体运动，在竖直方向的位移大小相等，运动时间均为t＝，球P垂直打在斜面上，分解速度可得v1＝vytanθ＝gt·tan37°＝gt，球Q落在斜面上，分解位移可得tan37°＝＝＝，解得v2＝gt，则＝＝，A错误，B正确；球P落到斜面上时满足vP＝＝gt，球Q落到斜面上时满足vQ＝＝gt，故＝，即vQ＝vP，C、D错误．
答案：B
11．解析：（1）速度变化量为Δv＝gΔt＝10×0.2m/s＝2m/s，方向与重力加速度方向相同，即竖直向下．
（2）由平抛运动规律有tanθ＝，vy＝gt
由图像可知k＝
联立解得v0＝20m/s.
（3）由平抛运动规律，排球运动到中线上方时，有x1＝v0t1，h1＝gt，解得h1＝1.0125m，3.5m－1.0125m＝2.4875m>2.24m，所以排球不触网；排球落地时，有x2＝v0t2，h2＝gt，解得x2＝m<18m，所以排球不出界．故此次发球能够直接得分．
答案：（1）2m/s，方向竖直向下
（2）20m/s （3）见解析(共40张PPT)
第2讲 抛体运动
课 程 标 准
1.通过实验，探究并认识平抛运动的规律．
2．会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动．
素 养 目 标
物理观念：(1)认识平抛运动、斜抛运动．(2)掌握平抛运动的规律．
科学思维：(1)会用运动的合成与分解方法分析平抛运动．(2)会处理平抛运动中的临界、极值．
必备知识·自主落实
关键能力·精准突破
必备知识·自主落实
一、平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿________抛出，物体只在________作用下所做的运动．
2．性质：加速度为g的____________运动，运动轨迹是________．
3．研究方法：化曲为直
运动的合成与分解．
(1)水平方向：________运动；
(2)竖直方向：________运动．
水平方向
重力
匀变速曲线
抛物线
匀速直线
自由落体
4．基本规律：如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
(1)位移关系
gt2
(2)速度关系
(3)常用推论：①图中C点为水平位移中点；
②tan θ＝2tan α.注意θ与α不是2倍关系．
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是________．
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：________直线运动；
(2)竖直方向：________直线运动．
可以在最高点将整个过程分成两段处理
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
匀速
匀变速
走进生活
一架投放救灾物资的飞机在受灾区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上投放的救灾物资在落地前的运动中(不计空气阻力)
(1)速度和加速度都在不断改变．( )
(2)速度和加速度方向之间的夹角一直减小．( )
(3)在相等的时间内速度的改变量相等．( )
(4)在相等的时间内速率的改变量相等．( )
(5)在相等的时间内动能的改变量相等．( )
×
√
√
×
×
关键能力·精准突破
考点一 平抛运动规律的应用
1．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定．
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0.
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，
大小Δv＝Δvy＝gΔt.
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt.
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2.
例1 [2022·广东卷]如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
答案：B
解析：由于子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以将击中P点．子弹水平方向做匀速直线运动，由L＝vt可得t＝，B项正确．
例2 [2022·全国甲卷]将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3:7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．
解析：依题意，相邻两球影像间隔的时间t＝4t0＝0.2 s
设初速度大小为v0，如图所示：
由O到A，水平方向：x1＝v0t
竖直方向：y1＝gt2
又s1＝
由A到B，水平方向：x2＝v0t
竖直方向：y2＝g(2t)2－gt2
又s2＝
＝
联立解得v0＝ m/s
针 对 训 练
1.[2022·山东卷](多选)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点．网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变．重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
答案：BD
解析：建立如图所示的三维坐标系，网球在竖直方向做竖直上抛运动，上升的最大高度h1＝(8.45－1.25)m＝7.20 m，所以在击球点竖直方向的分速度v0z＝＝12 m/s，上升时间t1＝＝1.2 s，则v0y＝ m/s＝4 m/s，故沿x方向的分速度v0x＝＝3 m/s；网球到达最高点P与墙壁碰撞后，沿x方向的分速度v0x＝3 m/s，沿y方向的分速度大小变为v^' 0y＝4×0.75 m/s＝3 m/s，所以网球碰撞以后的速度
大小为v＝3 m/s，所以B项正确，
A项错误．下落的时间t2＝ s＝1.3 s，
网球着地点到墙壁的距离d＝v′0yt2＝3.9 m，
所以D项正确，C项错误．
考点二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动
做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解．
实例 实例1 实例2 实例3
实例图示
分解方法 分解位移，构建位移三角形 分解速度，构建速度三角形 分解位移，构建几何三角形
定量关系
考向1 与斜面有关的平抛运动
例3 [2023·烟台模拟](多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°.现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)．不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则( )
A．落于B点的小球飞行时间为t
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为gt2
D．A点距水平面MN的高度为gt2
答案：ACD
解析：落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故选项C正确；落于B点的小球分解位移如图所示．其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝＝，所以v2＝，故选项A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝gt2，故A距水平面高度H＝h＋gt2＝gt2，故选项D正确．
[教你解决问题] 读图
考向2 与圆弧面有关的平抛运动
例4 如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平踢出，发现两球刚好落在坑中同一点Q.已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法正确的是( )
A．两球踢出的速率之比为1:4
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中
的同一点，两球踢出的速率之和不变
D．若仅从M点水平踢出小球．改变小球踢出的
速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
答案：B
解析：由几何关系得，M、N的水平位移分别为、R，运动时间相等，由平抛运动规律得xM＝v1t，xN＝v2t，可得v1?v2＝1?3，A错误；若只增大v1，M运动轨迹将向右一些，两球在空中相遇，B正确；只要两球落在坑中同一点，水平位移之和为2R，则(v1＋v2)t＝2R.落点不同，竖直位移不同，t不同，v1＋v2不是定值，C错误；如果能垂直落入坑中，速度反向延长线过圆心，而平抛运动速度反向延长线必过水平位移的中点，可知水平位移为2R即应打在N点．但由平抛知识，不可能打在N点，故不可能垂直落入坑中，D错误．
针 对 训 练
2.如图甲所示，粗糙的轨道装置由倾斜段AB与水平段BO组成，AB和BO之间用光滑小圆弧平滑相连，现有一个质量为m＝0.1 kg、可视为质点的小球，从到水平轨道BO竖直距离为h＝0.8 m、到O点水平距离为l＝1.2 m处由静止释放，沿倾斜轨道滑下后从O点水平抛出，O点距水平地面的高度为h′＝1.5 m．小球与各段轨道之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求小球自O点抛出的初速度大小及落点距A点水平距离．
(2)如图乙所示，竖直光滑圆弧轨道半径R＝0.4 m，小球从O点抛出后恰从D点沿切线方向进入轨道，圆弧轨道圆心为O′，O′D与竖直方向的夹角为θ＝60°，C为圆弧轨道的最高点，求小球在C点对轨道的压力大小．
(3)如图丙所示，以O点为坐标原点建立水平和竖直方向的平面直角坐标系，一挡板的曲线形状满足方程y＝4－x2(0
解得v0＝2 m/s
设小球从O点抛出到落地所用的时间为t′，则水平方向上有x′＝v0t′
竖直方向上有h′＝gt′2
联立解得x′＝ m
故小球的落点距A点水平距离为x″＝l＋x′＝ m.
(2)由题意可知，小球在D点的竖直速度为vy＝v0tan 60°＝2 m/s
由运动学公式得2gh″＝
解得O、D间的高度差为h″＝0.6 m
由几何关系得C、D两点的竖直高度为
Δh＝R＋R sin 30°＝0.6 m
可知C点与O点等高，则小球在C点与O点的速度大小相等，即vC＝v0＝2 m/s
则小球在C点时，由牛顿第二定律有FN＋mg＝FN＝0
则由牛顿第三定律可知，小球在C点对轨道的压力为零．
(3)小球从O点抛出后做平抛运动，设初速度为v，则水平方向上有x＝vt
竖直方向上有y＝gt2
又小球落在挡板上，其位置坐标满足方程y＝4－x2(0
联立解得Ek＝＋mgy(J)
由数学知识可知Ek≥mg(J)
代入数据解得小球落在挡板上时动能的最小值为
Ekmin＝1.75 J.
考点三 平抛运动的临界和极值问题
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向．
2．解题技巧：
在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
例5 如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球．台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点．弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L.某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h′，调整v0为v′0，下列判断正确的是( )
A．h′的最大值为2h
B．h′的最小值为2h
C．v′0的最大值为v0
D．v′0的最小值为v0
答案：C
解析：小球做平抛运动有y＝gt2，x＝v0t，可得y＝∝x2，调整前＝，即h＝H，调整后考虑临界情况，小球恰好没有擦到A而击中C，则＝，即h′＝H，所以h′＝h，从越高处抛出而击中C点，抛物线越陡，越不容易擦到A点，所以h′＝ h是满足条件的最小值，故A、B错误；由v0＝x ，且两次平抛从抛出到A点过程，x都为L，所以＝＝，即v′0＝v0，由v0＝x ，知v′0＝v0是满足条件的最大值，故C正确，D错误．
针 对 训 练
3.如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h1＝10 m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面，从高h2＝15 m的A点以速度v0水平抛出一小球，A点与两挡板间的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m．N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小是下列给出的数据中的哪个？(g取10 m/s2)( )
A．8.0 m/s B．9 m/s
C．15 m/s D．21 m/s
答案：C
解析：当小球的轨迹刚好与M的上端相切时，有h2－h1＝，得t＝ ＝ s＝1 s，对应的小球平抛运动的初速度为v01＝＝ m/s＝10 m/s；当小球的轨迹刚好与N的下端相切时，对应的小球平抛运动的初速度为v02＝＝ m/s＝20 m/s；故能使小球直接进入挡板M的右边区域，小球水平抛出的初速度v0的大小范围为10 m/s＜v0＜20 m/s，故C正确．
素养提升 利用抛体规律解决实际问题
典例1 [2023·广东深圳模拟]如图所示，环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污管正在向厂外的河道中满口排出污水．环保人员利用手上的卷尺测出这根管道的直径为10 cm，管口中心距离河水水面的高度为80 cm，污水入河道处到排污管管口的水平距离为120 cm.重力加速度g取10 m/s2，则该管道的排污量(即流量——单位时间内通过管道某横截面的流体体积)约为( )
A.24 L/s B．94 L/s
C.236 L/s D．942 L/s
答案：A
解析：根据平抛运动规律，在水平方向上有x＝v0t，在竖直方向上有h＝gt2，解得v0＝3 m/s，根据流量的定义有Q＝，而V＝SL＝π×v0t，解得Q≈0.024 m3/s＝24 L/s，故A正确，B、C、D错误．
典例2 [2023·福建龙岩一中模拟]如图所示，排球比赛中，某队员在距网水平距离为4.8 m，距地面3.2 m高处(O点正上方)将排球沿垂直网的方向以16 m/s的速度水平击出．已知网高2.24 m，排球场地长18 m，重力加速度g取10 m/s2，可将排球视为质点，下列判断正确的是( )
A.球不能过网
B.球落在对方场地内
C.球落在对方场地底线上
D.球落在对方场地底线之外
答案：B
解析：由题意可得，排球刚好到达网正上方的时间为t＝＝ s＝0.3 s，此时间内排球下降的高度为h＝gt2＝0.45 m，因为Δh＝3.2 m－0.45 m＝2.75 m>2.24 m，所以排球能越过网，排球落到地面的时间为t′＝ ＝ s＝0.8 s，则排球落地时的水平位移大小为x′＝vt′＝16×0.8 m＝12.8 m．因为击球点到对方底线的水平距离为x″＝4.8 m＋9 m＝13.8 m>12.8 m，所以排球落在对方场地内．
典例3 (多选)2022年冬季奥运会在北京和张家口成功举行，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．如图所示为某滑雪运动员训练时的场景，运动员以速度v1＝10 m/s沿倾角为α＝37°、高为H＝15 m的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角为β＝60°的斜面乙上，顺利完成飞越，把运动员视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，以下说法正确的是( )
A.运动员落至斜面乙上时的速率为16 m/s
B.斜面乙的高度为7.2 m
C.运动员在空中运动时离地面的最大高度为20 m
D.两斜面间的水平距离约为11.1 m
答案：AB
解析：运动员在水平方向做匀速直线运动，水平方向分速度大小为vx＝v1cos α＝8 m/s.落到斜面乙上时，设速度大小为v2，则满足vx＝v2cos β，解得v2＝16 m/s，故A正确；设斜面乙的高度为h，运动员从斜面甲到斜面乙的过程中，由机械能守恒定律得mg(H－h)＝解得h＝7.2 m，故B正确；从斜面甲飞出时，运动员竖直方向的分速度大小为vx＝v1sin α＝6 m/s，则运动员在空中运动时离地面的最大高度为Hmax＝H+.8 m，故C错误；运动员到达斜面乙时竖直方向的分速度大小为v′y＝v2sin β＝8 m/s，则运动员在空中运动的时间t＝＝ s，则两斜面间的水平距离为x＝vxt≈15.9 m．故D错误．第2讲 抛体运动
课 程 标 准
1.通过实验，探究并认识平抛运动的规律．
2．会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动．
素 养 目 标
物理观念：(1)认识平抛运动、斜抛运动．(2)掌握平抛运动的规律．
科学思维：(1)会用运动的合成与分解方法分析平抛运动．(2)会处理平抛运动中的临界、极值．
必备知识·自主落实
一、平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿________抛出，物体只在________作用下所做的运动．
2．性质：加速度为g的____________运动，运动轨迹是________．
3．研究方法：化曲为直
运动的合成与分解．
(1)水平方向：________运动；
(2)竖直方向：________运动．
4．基本规律：如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
(1)位移关系
(2)速度关系
(3)常用推论：①图中C点为水平位移中点；
②tan θ＝2tan α.注意θ与α不是2倍关系．
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是________．
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：________直线运动；
(2)竖直方向：________直线运动．
可以在最高点将整个过程分成两段处理
走进生活
一架投放救灾物资的飞机在受灾区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上投放的救灾物资在落地前的运动中(不计空气阻力)
(1)速度和加速度都在不断改变．( )
(2)速度和加速度方向之间的夹角一直减小．( )
(3)在相等的时间内速度的改变量相等．( )
(4)在相等的时间内速率的改变量相等．( )
(5)在相等的时间内动能的改变量相等．( )
关键能力·精准突破
考点一 平抛运动规律的应用
1．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定．
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0.
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt.
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt.
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2.
例1[2022·广东卷]如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
[解题心得]
例2[2022·全国甲卷]将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3:7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．
[试答]
针 对 训 练
1.[2022·山东卷](多选)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点．网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变．重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
考点二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动
做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解．
实例 实例1 实例2 实例3
实例图示
分解方法 分解位移，构建位移三角形 分解速度，构建速度三角形 分解位移，构建几何三角形
定量关系 tan θ＝＝＝ tan θ＝＝ 竖直方向：h＝gt2. 水平方向：R±＝v0t
考向1 与斜面有关的平抛运动
例3[2023·烟台模拟](多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°.现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)．不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则( )
A．落于B点的小球飞行时间为t
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为gt2
D．A点距水平面MN的高度为gt2
[教你解决问题] 读图
[解题心得]
考向2 与圆弧面有关的平抛运动
例4 如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平踢出，发现两球刚好落在坑中同一点Q.已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力．则下列说法正确的是( )
A．两球踢出的速率之比为1:4
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球踢出的速率之和不变
D．若仅从M点水平踢出小球．改变小球踢出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
[解题心得]
针 对 训 练
2.如图甲所示，粗糙的轨道装置由倾斜段AB与水平段BO组成，AB和BO之间用光滑小圆弧平滑相连，现有一个质量为m＝0.1 kg、可视为质点的小球，从到水平轨道BO竖直距离为h＝0.8 m、到O点水平距离为l＝1.2 m处由静止释放，沿倾斜轨道滑下后从O点水平抛出，O点距水平地面的高度为h′＝1.5 m．小球与各段轨道之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求小球自O点抛出的初速度大小及落点距A点水平距离．
(2)如图乙所示，竖直光滑圆弧轨道半径R＝0.4 m，小球从O点抛出后恰从D点沿切线方向进入轨道，圆弧轨道圆心为O′，O′D与竖直方向的夹角为θ＝60°，C为圆弧轨道的最高点，求小球在C点对轨道的压力大小．
(3)如图丙所示，以O点为坐标原点建立水平和竖直方向的平面直角坐标系，一挡板的曲线形状满足方程y＝4－x2(0
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向．
2．解题技巧：
在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
例5 如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球．台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点．弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L.某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h′，调整v0为v′0，下列判断正确的是( )
A．h′的最大值为2h
B．h′的最小值为2h
C．v′0的最大值为v0
D．v′0的最小值为v0
[解题心得]
针 对 训 练
3.如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h1＝10 m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面，从高h2＝15 m的A点以速度v0水平抛出一小球，A点与两挡板间的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m．N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小是下列给出的数据中的哪个？(g取10 m/s2)( )
A．8.0 m/s B．9 m/s
C．15 m/s D．21 m/s
素养提升 利用抛体规律解决实际问题
典例1 [2023·广东深圳模拟]如图所示，环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污管正在向厂外的河道中满口排出污水．环保人员利用手上的卷尺测出这根管道的直径为10 cm，管口中心距离河水水面的高度为80 cm，污水入河道处到排污管管口的水平距离为120 cm.重力加速度g取10 m/s2，则该管道的排污量(即流量——单位时间内通过管道某横截面的流体体积)约为( )
A.24 L/s B．94 L/s
C.236 L/s D．942 L/s
典例2 [2023·福建龙岩一中模拟]如图所示，排球比赛中，某队员在距网水平距离为4.8 m，距地面3.2 m高处(O点正上方)将排球沿垂直网的方向以16 m/s的速度水平击出．已知网高2.24 m，排球场地长18 m，重力加速度g取10 m/s2，可将排球视为质点，下列判断正确的是( )
A.球不能过网
B.球落在对方场地内
C.球落在对方场地底线上
D.球落在对方场地底线之外
典例3 (多选)2022年冬季奥运会在北京和张家口成功举行，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．如图所示为某滑雪运动员训练时的场景，运动员以速度v1＝10 m/s沿倾角为α＝37°、高为H＝15 m的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角为β＝60°的斜面乙上，顺利完成飞越，把运动员视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，以下说法正确的是( )
A.运动员落至斜面乙上时的速率为16 m/s
B.斜面乙的高度为7.2 m
C.运动员在空中运动时离地面的最大高度为20 m
D.两斜面间的水平距离约为11.1 m
第2讲 抛体运动
必备知识·自主落实
一、
1．水平方向 重力
2．匀变速曲线 抛物线
3．(1)匀速直线 (2)自由落体
4．(1)gt2
二、
1．斜向上方 重力
2．匀变速 抛物线
3．(1)匀速 (2)匀变速
走进生活
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
关键能力·精准突破
例1 解析：由于子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以将击中P点．子弹水平方向做匀速直线运动，由L＝vt可得t＝，B项正确．
答案：B
例2 解析：依题意，相邻两球影像间隔的时间t＝4t0＝0.2 s
设初速度大小为v0，如图所示：
由O到A，水平方向：x1＝v0t
竖直方向：y1＝gt2
又s1＝
由A到B，水平方向：x2＝v0t
竖直方向：y2＝g(2t)2－gt2
又s2＝
＝
联立解得v0＝ m/s
答案： m/s
1．解析：建立如图所示的三维坐标系，网球在竖直方向做竖直上抛运动，上升的最大高度h1＝(8.45－1.25)m＝7.20 m，所以在击球点竖直方向的分速度v0z＝＝12 m/s，上升时间t1＝＝1.2 s，则v0y＝ m/s＝4 m/s，故沿x方向的分速度v0x＝＝3 m/s；网球到达最高点P与墙壁碰撞后，沿x方向的分速度v0x＝3 m/s，沿y方向的分速度大小变为v^' 0y＝4×0.75 m/s＝3 m/s，所以网球碰撞以后的速度大小为v＝3 m/s，所以B项正确，A项错误．下落的时间t2＝ s＝1.3 s，网球着地点到墙壁的距离d＝v′0yt2＝3.9 m，所以D项正确，C项错误．
答案：BD
例3 解析：
落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故选项C正确；落于B点的小球分解位移如图所示．其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝＝，所以v2＝，故选项A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝gt2，故A距水平面高度H＝h＋gt2＝gt2，故选项D正确．
答案：ACD
例4 解析：由几何关系得，M、N的水平位移分别为、R，运动时间相等，由平抛运动规律得xM＝v1t，xN＝v2t，可得v1?v2＝1?3，A错误；若只增大v1，M运动轨迹将向右一些，两球在空中相遇，B正确；只要两球落在坑中同一点，水平位移之和为2R，则(v1＋v2)t＝2R.落点不同，竖直位移不同，t不同，v1＋v2不是定值，C错误；如果能垂直落入坑中，速度反向延长线过圆心，而平抛运动速度反向延长线必过水平位移的中点，可知水平位移为2R即应打在N点．但由平抛知识，不可能打在N点，故不可能垂直落入坑中，D错误．
答案：B
2．解析：(1)设小球从O点抛出的初速度大小为v0，对小球，根据几何关系和动能定理有mgh－μmgl＝
解得v0＝2 m/s
设小球从O点抛出到落地所用的时间为t′，则水平方向上有x′＝v0t′
竖直方向上有h′＝gt′2
联立解得x′＝ m
故小球的落点距A点水平距离为x″＝l＋x′＝ m.
(2)由题意可知，小球在D点的竖直速度为vy＝v0tan 60°＝2 m/s
由运动学公式得2gh″＝
解得O、D间的高度差为h″＝0.6 m
由几何关系得C、D两点的竖直高度为
Δh＝R＋R sin 30°＝0.6 m
可知C点与O点等高，则小球在C点与O点的速度大小相等，即vC＝v0＝2 m/s
则小球在C点时，由牛顿第二定律有FN＋mg＝FN＝0
则由牛顿第三定律可知，小球在C点对轨道的压力为零．
(3)小球从O点抛出后做平抛运动，设初速度为v，则水平方向上有x＝vt
竖直方向上有y＝gt2
又小球落在挡板上，其位置坐标满足方程y＝4－x2(0
联立解得Ek＝＋mgy(J)
由数学知识可知Ek≥mg(J)
代入数据解得小球落在挡板上时动能的最小值为
Ekmin＝1.75 J.
答案：(1)2 m/s m (2)0 (3)1.75 J
例5 解析：小球做平抛运动有y＝gt2，x＝v0t，可得y＝∝x2，调整前＝，即h＝H，调整后考虑临界情况，小球恰好没有擦到A而击中C，则＝，即h′＝H，所以h′＝h，从越高处抛出而击中C点，抛物线越陡，越不容易擦到A点，所以h′＝ h是满足条件的最小值，故A、B错误；由v0＝x，且两次平抛从抛出到A点过程，x都为L，所以＝＝，即v′0＝v0，由v0＝x，知v′0＝v0是满足条件的最大值，故C正确，D错误．
答案：C
3．解析：当小球的轨迹刚好与M的上端相切时，有h2－h1＝，得t＝ ＝ s＝1 s，对应的小球平抛运动的初速度为v01＝＝ m/s＝10 m/s；当小球的轨迹刚好与N的下端相切时，对应的小球平抛运动的初速度为v02＝＝ m/s＝20 m/s；故能使小球直接进入挡板M的右边区域，小球水平抛出的初速度v0的大小范围为10 m/s＜v0＜20 m/s，故C正确．
答案：C
素养提升
典例1 解析：根据平抛运动规律，在水平方向上有x＝v0t，在竖直方向上有h＝gt2，解得v0＝3 m/s，根据流量的定义有Q＝，而V＝SL＝π×v0t，解得Q≈0.024 m3/s＝24 L/s，故A正确，B、C、D错误．
答案：A
典例2 解析：由题意可得，排球刚好到达网正上方的时间为t＝＝ s＝0.3 s，此时间内排球下降的高度为h＝gt2＝0.45 m，因为Δh＝3.2 m－0.45 m＝2.75 m>2.24 m，所以排球能越过网，排球落到地面的时间为t′＝ ＝ s＝0.8 s，则排球落地时的水平位移大小为x′＝vt′＝16×0.8 m＝12.8 m．因为击球点到对方底线的水平距离为x″＝4.8 m＋9 m＝13.8 m>12.8 m，所以排球落在对方场地内．
答案：B
典例3 解析：运动员在水平方向做匀速直线运动，水平方向分速度大小为vx＝v1cos α＝8 m/s.落到斜面乙上时，设速度大小为v2，则满足vx＝v2cos β，解得v2＝16 m/s，故A正确；设斜面乙的高度为h，运动员从斜面甲到斜面乙的过程中，由机械能守恒定律得mg(H－h)＝解得h＝7.2 m，故B正确；从斜面甲飞出时，运动员竖直方向的分速度大小为vx＝v1sin α＝6 m/s，则运动员在空中运动时离地面的最大高度为Hmax＝H+.8 m，故C错误；运动员到达斜面乙时竖直方向的分速度大小为v′y＝v2sin β＝8 m/s，则运动员在空中运动的时间t＝＝ s，则两斜面间的水平距离为x＝vxt≈15.9 m．故D错误．
答案：AB
