2022-2023学年河南省信阳市新县重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 根据中国疾控中心“国家流感中心”发布的最新流感监测周报，年第周，南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升，以甲流为主、亚型流感病毒共同流行因此，生活中我们还是要做好防护、勤洗手，外出带好口罩据了解，甲型流感病毒的直径大约是，这个数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3. 在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图相同的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 已知，如图，一个含角的直角三角尺放在两条平行线间，已知，，，则( )
A. B. C. D.
5. 下列算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. D. 且
7. 如图，菱形，，边长为，点在上，且，为对角线上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 黄河是中华民族的母亲河，保护黄河是事关中华民族伟大复兴的千秋大计年月日，中华人民共和国黄河保护法施行，为响应“保护黄河青春行”系列主题活动，在黄河岸边的某校特举行“黄河小小讲解员”选拔比赛、选拔赛主要从主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象四方面进行打分，小宇、小叶、小珍的成绩如下，下面判断正确的是( )
评分细则 选手
小宇 小叶 小珍
主题内容
语言表达
仪态形象
综合印象
A. 若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按：：：打分、小珍将会获得胜利
B. 若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按，，，计算平均分，则小叶将会获得胜利
C. 若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按，，，计算平均分，则小宇将会获得胜利
D. 若你认为主题内容和语言表达都很重要，所以将主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象的得分比例设计为：：：
9. 如图，平面直角坐标系中，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，，已知点，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
10. 美美在研究物体吸热与放热知识时，用相同的电加热器分别对质量为的水和的另一种液体进行加热，得到实验数据如图所示下列说法错误的是( )
A. 加热前，水温度是
B. 在相同时间内，另一种液体温差变化比水的温差变化大
C. 水在内吸收的热量为
D. 可以用一次函数表示另一种液体温度与时间之间的关系
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写出一个大于小于的整数______ ．
12. 不等式组的最大负整数解是______ ．
13. 劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值为贯彻落实中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，在学生中弘扬劳动精神，让学生在劳动中成长，在劳动中发展学生身心，为“双减”助力，某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：为父母做一次饭；洗一次衣服；倒一次生活垃圾小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是______ ．
14. 如图，等腰直角三角形中，点，分别在轴，轴上，直角顶点落在反比例函数的图象上，的中点落在轴上，若，则 ______ ．
15. 如图，正方形中，，点为射线上一个动点连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
按要求填空．
小宇计算：的过程如下：
解：原式第一步
第二步
第三步
若每一步只对自己的上一步负责，小宇在计算过程中第______ 步出现了错误；
请你进行正确的计算．
17. 本小题分
黄河文化是中华文明中最具代表性、最具影响力的主体文化中原文化是黄河文化的核心主干和集大成者，为让孩子们在活动中学习黄河文化知识、用实际行动把黄河文化融入血脉、将红色基因代代传承某校开展了“黄河文化我知道”的黄河文化知识比赛．
下面是从八班和班各随机抽取名参赛学生的成绩百分制，单位：分进行整理、描述和分析：
【收集数据】
班：
班：
【整理、分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
班级 平均数 众数 中位数 方差 优秀率
班
班
根据以上信息，回答下列问题：
统计表中， ______ ， ______ ；
在这次竞赛中，班李煜和班陈颖都是分，请判断两位同学在各自班级中谁的排名更靠前，请说明理由；
根据以上数据，你认为哪个班黄河文化知识掌握较好？请说明理由至少从两方面说明．
18. 本小题分
学习完直角三角形的边角关系后，数学老师布置了一项利用三角函数测宽的数学实践活动居住在贾鲁河南岸的小宇选择了测量某段贾鲁河的河宽、如图，在小组同学的共同努力下，他们在河的南岸点处观测到北岸岸边的一棵大树在北偏东方向上，他们沿着北偏东的方向走了米到达岸边点处，此时他们发现这棵大树在自己的正北方向上请你帮助小宇组的同学求出这段贾鲁河的河宽结果精确到参考数据：，，
19. 本小题分
随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活随着其功能的不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，据相关实验，手机电量单位：与充电时间单位：存在一种函数关系．
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第一部手机一边充电一边直播建议充电时，不玩手机、避免手机高温；第二部手机在分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量与充电时间的函数图象如下：
求出线段对应的函数表达式；
第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
20. 本小题分
“五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出甲种类和乙种类干果获得利润为元，下午卖出甲种类和乙种类干果获得利润为元．
求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少；
小李的妈妈想一次购进两种干果共用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
21. 本小题分
年月日，郑州市初中毕业升学体育考试项目敲定掷实心球为抽号统考项目之一实心球是一项力量性和动作速度的项目，抛掷实心球的过程中，实心球的出手速度、出手角度及出手高度都会影响实心球的成绩据分析，在抛掷的最后发力环节，当球将达到头部正上方时，两手用力拨指，将球向正上方与水平面成投出效果最好，如图如图，当球将达到头部正上方时，小臂稍倾斜于竖直方向，手稍倾斜于小臂，当用力出手瞬间，手与球相切于点，连接并延长，交于点，此时为出手时力的方向已知美美抛掷时，与水平线的夹角，实心球的半径约为，此时手腕刚好在球心的正下方，胳膊肘刚好在中点的正下方．
求证：；
若一女生手腕到胳膊肘的长约为，当抛掷瞬间，小臂从图倾斜状态绕点瞬间移动至头部正上方，求此时手腕高度的变化结果保留一位小数
提示：计算参考的部分数据如表格
22. 本小题分
已知：二次函数．
求这个二次函数图象的对称轴；
若该二次函数图象抛物线开口向上，当时，的最小值是，求当时，的最大值；
若点，在抛物线上，且，求的取值范围．
23. 本小题分
数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，，连接，，点，分别是，的中点，连接，求的长小组成员展开讨论，方法多样、其中小佳同学的做法最具有推广性．
小佳同学是这样思考的：
题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，所以可以通过轴对称将它变成“共顶点”的图形、这样就可以构造出三角形的中位线具体如下：如图过点作，垂足为，易证四边形是矩形，连接、则点也是的中点，连接，则是的中位线，计算出的长度即可求出的长度．
根据以上信息，请回答以下问题：
点是中点的依据是______ ．
请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程．
如图，在中，，，将绕着点顺时针旋转，，分别是，的中点，当点落在的边上时不包含顶点，求的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据概念，的相反数是，即．
故选：．
根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值大于数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定解答．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：长方体的主视图与左视图都是矩形，但不相同，正方体的主视图与左视图是全等的正方形、圆柱的主视图与左视图是全等的矩形、球的主视图与左视图是全等的圆．
故选：．
首先判断几何体的三视图，然后找到答案即可．
本题考查了简单几何体的三视图，熟知这些简单几何体的三视图是解决此类问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，，
．
故选：．
由，，得到，由平行线的性质得到，由平角定义即可求出的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．
5.【答案】
【解析】解：，所以选项不符合题意；
B.，所以选项符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则对选项进行判断；根据幂的乘方对选项进行判断；根据完全平方公式对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断．
本题考查了二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
6.【答案】
【解析】解：一元二次方程有实数根，
，
，
又，
，
且．
故选：．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接、，过点作于点．
四边形是菱形，
点关于的对称点即为点，
，即为的最小值．
四边形是菱形，
，．
，
又，
．
是等边三角形．
又，
．
．
在中，．
．
在中，．
故选：．
由于点与关于对称，所以连接此时最小，而是等边的边，作垂足为，根据菱形的性质、勾股定理计算．
本题主要考查的是轴对称最短路径问题菱形的性质，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按：：：打分，小宇、小叶、小珍的平均分分别为、、，小宇、小珍将会获得胜利，故本选项判断错误，不符合题意；
B、若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按，，，计算平均分，小宇、小叶、小珍的平均分分别为、、，小宇将会获得胜利，故本选项判断错误，不符合题意；
C、若主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象按，，，计算平均分，小宇、小叶、小珍的平均分分别为、、，小宇将会获得胜利，故本选项判断正确，符合题意；
D、若你认为主题内容和语言表达都很重要，所以将主题内容、语言表达、仪态形象、综合印象的得分比例设计为：：：，故本选项判断错误，不符合题意；
故选：．
根据加权平均数的定义分别计算即可判断．
本题考查的是加权平均数的求法．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
9.【答案】
【解析】解：对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，点的对应点落在上，
，
，
在中，，
，
．
，
，
在中，，
，
，
，
，
又．
，
，
，
，
．
故选：．
先根据矩形及折叠的性质得出，，由直角三角形的性质得出，由折叠的性质可知，，再由锐角三角函数的定义求出的长，根据可得出，故可得出，进而得出的长，据此得出结论．
本题考查的是翻折变换，矩形的性质及轴对称的性质，根据题意得出是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图象可得，加热前，水温度是，故A正确，不符合题意；
在相同时间内，另一种液体温差变化比水的温差变化大，故B正确，不符合题意；
时，，故C错误，符合题意；
设一种液体温度与时间之间的关系为，将，代入得：
，
解得，
一种液体温度与时间之间的关系为，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据函数图象逐项判断即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：，，
大于小于的整数有，，，
故答案为：答案不唯一．
先分别估算两个数，再进行求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
12.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得，
；
最大负整数解是，
故答案为：．
先解出不等式组的解集，再取符合条件的最大负整数即可．
本题考查不等式组的解法及负整数，解题的关键是求出不等式组的解集．
13.【答案】
【解析】解：列表如下：
为父母做一次饭 洗一次衣服 倒一次生活垃圾
为父母做一次饭
洗一次衣服
倒一次生活垃圾
由表知，共有种等可能结果，其中小宇和大明选择同一项家务劳动的有种结果，
选择一样．
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
14.【答案】
【解析】解：作轴于点，
是的中点，，
，，
，是的中点，
，，
，，
∽，
，
，
，，
，，
的坐标为，
直角顶点落在反比例函的图象上，
．
故答案为：．
作轴于点，根据是的中点，，得，，再证明∽，可得，可求出，，，，得的坐标为，即可求出答案．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题的前提．
15.【答案】或
【解析】解：点在射线上运动，故分两种情况；
情况一：当点落在图的位置时，
由正方形可知，，
点落在的垂直平分线上，
，
由折叠可知，．
在中，
由勾股定理可得，，
，
，
，，
，
∽，
，
解得，
．
情况二：当点若在图的位置时，
由正方形可知，，
点落在的垂直平分线上，
，
由折叠可知，，
在中，
由勾股定理可得，，
．
由折叠可知，，
设，则．
在中，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
，
．
综上，或．
分点在上和点在的延长线上两种情况讨论即可．
本题考查翻折变换，正方形的性质，线段垂直平分线，一线三垂直模型、三角形相似、勾股定理及分类讨论思想，分情况讨论是解题的关键．
16.【答案】一
【解析】解：
；
若每一步只对自己的上一步负责，小宇在计算过程中第一步出现了错误，
故答案为：一；
．
先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，逐一判断即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：将班成绩重新排列为 ，
所以其中位数，
班成绩的众数，
故答案为：、；
班李煜的成绩排名更靠前．
理由：李煜的成绩大于班成绩的中位数，而陈颖的成绩等于班成绩的中位数．
我认为班黄河文化知识掌握较好．
理由：两个班的平均数相同，但班的众数、中位数都大于班、方差小于班成绩的方差，成绩相对稳定，
故班黄河文化知识掌握较好．
根据众数和中位数的定义求解即可；
根据中位数的意义求解即可；
根据中位数、众数及方差的意义求解即可．
本题考查方差、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用众数、中位数及方差的定义与意义解答．
18.【答案】解：过点作，交的延长线于点，
由题意得：，，，
，，
在中，米，
米，
米，
在中，米，
米，
这段贾鲁河的河宽约为米．
【解析】过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：设线段对应的函数表达式为，
由图象知，经过．
解得
所以线段对应的函数表达式为．
设线段对应的函数表达式为，
由图象知，经过，．
解得
所以线段对应的函数表达式为．
方法一：当时，，解得．
由图象可知，当时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
方法二：当时，，解得．
所以，当时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
【解析】把点代入解析式解答即可；
求出线段对应的函数表达式为由图象或计算解答即可．
本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比较大小的具体知识；考查学生从图象中读取信息的能力，分析图象的能力、将实际问题转化为数学问题的能力．
20.【答案】解：设每千克甲种类干果的销售利润为元，每千克乙种类干果的销售利润为元，根据题意得：
解得
答：每千克甲种类干果的销售利润为元，每千克乙种类干果的销售利润为元．
设购进甲种类干果，则购进乙种类干果，获得总利润为元，
，
，
的值随着值的增大而减小，
，
，
时，，．
答：购进甲种类干果，乙种类干果时，销售总利润最大，总利润的最大值为元．
【解析】根据题中的两个等量关系列出方程组；
列出一次函数，根据一次函数的增减性回答．
本题考查一次方程、不等式、一次函数的实际应用，涉及用一次函数和不等式求最值的问题，有一定的难度．
21.【答案】证明：如图，连接，，由题意可知，，，，
，点是的中点，
是的垂直平分线，
，
又，
，
是等边三角形，
，
又，
，
是的切线，为切点，
，
，
；
解：过点作，垂足为，则四边形是矩形，
，
，点是的中点，
，
在中，，．
由勾股定理可得
，
点的高度变化为，
答：此时手腕高度的变化约为．
【解析】根据切线的性质可得，再根据直角三角形的边角关系可得，进而得出，由平行线的判定可得结论；
根据矩形的性质以及勾股定理求出即可．
本题主要考查圆的切线的性质、圆的相关性质、勾股定理等知识，考查学生从材料中读取信息的能力、将实际问题转化为数学问题的抽象能力、基本的运算能力、几何直观和推理能力．
22.【答案】解：二次函数图象的对称轴为直线：，
该抛物线开口向上，二次函数的对称轴为直线，
又时有最小值，
当时，．
．
二次函数表达式为：．
该抛物线开口向上，且到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
在范围内，当时，有最大值，．
点，在抛物线上，且，
又的对称轴为直线，开口方向向下，
分类讨论
第一种情况，当点，在对称轴同侧时，，．
第二种情况，当点，在对称轴异侧时，，．
故的取值范围是．
【解析】根据对称轴公式即可求出对称轴；
根据抛物线开口向上，二次函数的对称轴为直线，时有最小值，可求，再由到对称轴的距离大于到对称轴的距离，可求的最大值；
分点，在对称轴同侧和点，在对称轴异侧分别求解．
本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的对称轴，在一定范围内求函数的最值，利用二次函数的增减性或点到对称轴的距离；考查基本运算能力，代数推理能力、数形结合的思想方法．
23.【答案】矩形的对角线平分且相等
【解析】解：由题意可知：四边形是矩形，
，
点是对角线的中点，
，
，
点是的中点．
点是中点的依据是：矩形的对角线平分且相等，
故答案为：矩形的对角线平分且相等；
如图，过点作，垂足为，连接，，
四边形是正方形，
，
，
，
四边形是矩形，
点是对角线的中点，
点是的中点，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
正方形边长为，点是的中点，
，，
四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得，
；
当点落在边上时，分两种情况，情况，落在边上，情况，落在边上，
在中，，，
，
，
，
情况：当点落在边上时，如图，
由旋转可知：，
，
是等边三角形，
此时点恰好与点重合，且，
，分别是，的中点，
；
情况：方法一：当点落在边上时，分别以和为对角线构造矩形，
如图，连接，，，
点和点为，的中点，
是的中位线，
延长，交于点，
，
在中，，
由勾股定理可得，，
；
方法二：如图，矩形和矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
综上所述：当点落在的边上时不包含顶点，的长度为或．
根据矩形的性质即可解决问题；
先证明是的中位线，再根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题；
当点落在边上时，分两种情况，情况，落在边上，情况，落在边上．由题可知，，情况：当点落在边上时，如图易证是等边三角形，此时点恰好与点重合；情况：方法一：当点落在边上时，分别以和为对角线构造矩形，如图，连接，，，则点和点为，的中点，所以是的中位线，延长，交于点，由题可得，在中，，由勾股定理可得；方法二：如图，由矩形和矩形易得，，，所以是等腰直角三角形，再利用三角形中位线定理即可解决问题．
本题是四边形的综合题，主要考查中位线的性质、矩形的性质、勾股定理的运用、旋转的性质，考查学生的读取信息的能力，类比思想及平面图形性质的综合分析能力．
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