2022-2023学年贵州省遵义市重点学校九年级（下）期中
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）冰箱冷藏室的温度为零上4℃，记作+4℃，则冷冻室的温度零下18℃，记作（ ）
A．18℃ B．﹣18℃ C．16℃ D．﹣16℃
2．（3分）把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）据统计，2019年安徽省常住人口数为6323.6万人，请将6323.6万用科学记数法表示为（ ）
A．6.3236×103 B．6.3236×104 C．6.3236×107 D．6.3236×108
4．（3分）如图，已知直线a∥b，直角三角形顶点C在直线b上，且∠A＝55°，若∠1＝58°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．32° C．38° D．42°
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（4，﹣3） C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a2b）3＝a6b3
C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
7．（3分）如图，数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与﹣最接近（ ）
A．A B．B C．C D．D
8．（3分）下列结论中，错误的是（ ）
A．五边形的内角和为540°
B．五边形的每一个内角为108°
C．多边形的外角和为360°
D．六边形的内角和等于外角和的2倍
9．（3分）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（ ）
A．1 B．2 C．1和2 D．﹣1和﹣2
10．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的两个底角必为锐角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
11．（3分）某短道速滑队四位队员10次训练测验的成绩如图所示，如果只选择一位成绩稳定的队员参加正式比赛，你会选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．（3分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．119 B．136 C．166 D．199
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：++1＝ ．
14．（4分）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，16＝52﹣32）．已知按从小到大顺序构成如下列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2013个“智慧数”是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠AGF＝75°，∠ACF＝40°，依据尺规作图的作图痕迹，可知∠B的度数为 ．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝ ．
三．解答题（共9小题，满分98分）
17．（12分）（1）计算：20210+|﹣|﹣2sin45°；
（2）解方程：+＝4．
18．（10分）如图1，直线y＝x﹣1交x轴、y轴于A、B点，点P（1，a）a＜0，且S四边形PAOB＝3.5，双曲线y＝经过点P．
（1）求k的值；
（2）如图2，直线x＝m（m＞1）交射线BA与E，交双曲线y＝于F，将直线x＝m向右平移4个单位长度后交射线于E1，交双曲线y＝于F1，若E1F1＝m+，求m的值．
19．（12分）某兴趣小组为了解该校学生在家做家务的情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，被调查的学生必须从洗衣服（记为A）、洗碗（记为B）、保洁（记为C）、做饭（记为D）、不做家务（记为E）中选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图．
（1）扇形统计图中A部分的圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）兴趣小组准备开展一次“家务共同承担”的主题班会，如果在不做家务的4名学生（3名男生，1名女生）中随机抽取2名学生担任主持人，请用树状图或列表法求这2名学生恰好是1男1女的概率．
20．（10分）如图，已知△ABC中，BD、CE为AC、AB边上的中线，M、N是BO、CO的中点．
（1）四边形EMND为平行四边形吗？为什么？
（2）连接AO，当线段AO与线段BC有怎样的关系时，四边形EMND是菱形？为什么？
21．（10分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，点A、B在同一水平地面上，如果测得A、B两点间的距离是15+15米．
求无人机与地面的垂直高度是多少米？
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求点M在线段BC上什么位置时，可使直线DM与⊙O相切？
（2）在（1）的条件下，若AC＝BC＝2，求两个阴影部分的面积之和．
23．（10分）空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果购进5台A型和10台B型空气净化器的需要2000元，购进10台A型和5台B型空气净化器的需要1750元．当A型空气净化器每个售价为120元时，可销售500个，若售价每提高1元，则销售量减少10个．
（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）商场要想在A型空气净化器售价不超过130元的销售中获得10000元利润，A型净化器每个售价应定为多少元？
（3）在（2）的条件下，若B型净化器的销量m（个）与售价n（元）之间的关系式为m＝﹣n+200，则当B型空气净化器的售价为多少元时，A、B两种空气净化器的销售总利润最大？
24．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m（m为常数，且m≠0）．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若m＜0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，该函数图象的最高点为A，最低点为B，求△AOB的面积（O为原点）；
（3）若（k﹣1，y1），（k，y2），（k+3，y3）三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数k，使得y1＜y3＜y2≤﹣m总成立？若存在，试直接写出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）求证：AD2＝AF AB；
（3）若BE＝16，sinB＝，求AD的长．
答案解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）冰箱冷藏室的温度为零上4℃，记作+4℃，则冷冻室的温度零下18℃，记作（ ）
A．18℃ B．﹣18℃ C．16℃ D．﹣16℃
【答案】B
【解答】解：冰箱冷藏室的温度为零上4℃，记作+4℃，则冷冻室的温度零下18℃，记作﹣18℃
故选：B．
2．（3分）把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影应为矩形．
故选：C．
3．（3分）据统计，2019年安徽省常住人口数为6323.6万人，请将6323.6万用科学记数法表示为（ ）
A．6.3236×103 B．6.3236×104 C．6.3236×107 D．6.3236×108
【答案】C
【解答】解：6323.6万用科学记数法表示6.3236×107．
故选：C．
4．（3分）如图，已知直线a∥b，直角三角形顶点C在直线b上，且∠A＝55°，若∠1＝58°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．32° C．38° D．42°
【答案】B
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝58°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝32°，
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（4，﹣3） C．（3，4） D．（﹣3，﹣4）
【答案】A
【解答】解：点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），
故选：A．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a2b）3＝a6b3
C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】B
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、（a2b）3＝a6b3 ，故本选项符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ，故本选项不合题意；
故选：B．
7．（3分）如图，数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与﹣最接近（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解答】解：因为1.82＝3.24，1.72＝2.89，3.24＞3＞2.89，
所以1.7＜＜1.8，
所以﹣1.8＜﹣＜﹣1.7，
又因为点A、B、C、D所表示的数分别为﹣3，﹣2，﹣1，1，
所以﹣最接近﹣2，
故选：B．
8．（3分）下列结论中，错误的是（ ）
A．五边形的内角和为540°
B．五边形的每一个内角为108°
C．多边形的外角和为360°
D．六边形的内角和等于外角和的2倍
【答案】B
【解答】解：A、五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，不符合题意；
B、正五边形的每一个内角为108°，符合题意；
C、多边形的外角和为360°，不符合题意；
D、六边形的内角和等于外角和的2倍，不符合题意．
故选：B．
9．（3分）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（ ）
A．1 B．2 C．1和2 D．﹣1和﹣2
【答案】C
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
故选：C．
10．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的两个底角必为锐角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解答】解：A．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，正确，故不符合题意；
B．等腰三角形的两个底角必为锐角，正确，故不符合题意；
C．平行四边形的对角线互相平分，正确，故不符合题意；
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，原说法错误，故符合题意．
故选：D．
11．（3分）某短道速滑队四位队员10次训练测验的成绩如图所示，如果只选择一位成绩稳定的队员参加正式比赛，你会选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解答】解：∵甲和乙的平均成绩相同，均为92，丙和丁的平均成绩相同，均为91，
∴应在甲和乙中做出选择．
而观察图形可知，乙的波动较大，
∴甲比乙稳定．
故选：A．
12．（3分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．119 B．136 C．166 D．199
【答案】C
【解答】解：观察图形可知：
第①个图形中一共有4个小圆圈，即1+2+12；
第②个图形中一共有10个小圆圈，即1+2+3+22；
第③个图形中一共有19个小圆圈，即1+2+3+4+32；
…，
按此规律排列下去，
第n个图形中小圆圈的个数为：
1+2+3+4+…+（n+1）+n2＝（n+1）（n+2）+n2；
所以第⑩个图形中小圆圈的个数为：
（10+1）（10+2）+102＝166．
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：++1＝ ．
【答案】．
【解答】解：原式＝++1
＝﹣+（﹣1）+1
＝﹣+﹣1+1
＝．
故答案为：．
14．（4分）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝22﹣12，16＝52﹣32）．已知按从小到大顺序构成如下列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2013个“智慧数”是 2687 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：观察数字变化规律，可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，
归纳可得，第n组的第一个数为4n（n≥2）．
因为2013÷3＝671，
所以第2013个智慧数是第671组中的第3个数，
即为4×671+3＝2687．
故答案为：2687
15．（4分）如图，在△ABC中，∠AGF＝75°，∠ACF＝40°，依据尺规作图的作图痕迹，可知∠B的度数为 35° ．
【答案】35°．
【解答】解：∵∠AGF＝∠ACF+∠CAG，
∴∠CAG＝75°﹣40°＝35°，
由作图痕迹得EF垂直平分BC，AE平分∠BAC，
∴FB＝FC，∠BAG＝∠CAG＝35°，
∴∠B＝∠FCB，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠B+2×35°+40°+∠B＝180°，
解得∠B＝35°．
故答案为：35°．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝ ．
【答案】．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AC于点E．
则DE∥BC．
∵CD是AB边上的中线，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝×8＝4．
在直角△DEC中，EC＝＝＝3，
∴tan∠ACD＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分98分）
17．（12分）（1）计算：20210+|﹣|﹣2sin45°；
（2）解方程：+＝4．
【答案】（1）1；
（2）x＝．
【解答】解：（1）20210+|﹣|﹣2sin45°
＝1+﹣2×
＝1+﹣
＝1．
（2）+＝4，
x﹣2＝4（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，x﹣1≠0，
∴x＝是原方程的根．
18．（10分）如图1，直线y＝x﹣1交x轴、y轴于A、B点，点P（1，a）a＜0，且S四边形PAOB＝3.5，双曲线y＝经过点P．
（1）求k的值；
（2）如图2，直线x＝m（m＞1）交射线BA与E，交双曲线y＝于F，将直线x＝m向右平移4个单位长度后交射线于E1，交双曲线y＝于F1，若E1F1＝m+，求m的值．
【答案】（1）﹣6；
（2）．
【解答】解：（1）如图1中，
∵直线y＝x﹣1交x轴、y轴于A、B，
∴A（1，0），B（0，﹣1），
∵P（1，a），
∴PA∥OB，
由题意：×1＝3.5，
解得a＝﹣6，
∴P（1，﹣6），
∵双曲线y＝经过点P，
∴k＝﹣6．
（2）如图2中，由题意E（m，m﹣1），F（m，﹣），E1（m+4，m+3），F1（m+4，﹣），
∵E1F1＝m+，
∴m+3﹣（﹣）＝m+，
解得m＝．
19．（12分）某兴趣小组为了解该校学生在家做家务的情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，被调查的学生必须从洗衣服（记为A）、洗碗（记为B）、保洁（记为C）、做饭（记为D）、不做家务（记为E）中选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图．
（1）扇形统计图中A部分的圆心角是 108 度；
（2）补全条形统计图；
（3）兴趣小组准备开展一次“家务共同承担”的主题班会，如果在不做家务的4名学生（3名男生，1名女生）中随机抽取2名学生担任主持人，请用树状图或列表法求这2名学生恰好是1男1女的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵调查的学生总人数为20÷40%＝50（人），
∴扇形统计图中A部分的圆心角是360°×＝108°，
故答案为：108；
（2）条形统计图中D部分的学生人数为：50﹣15﹣5﹣20﹣4＝6（人），
补全条形统计图如图：
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2名学生恰好是1男1女的结果有6个，
∴抽取的2名学生恰好是1男1女的概率为＝．
20．（10分）如图，已知△ABC中，BD、CE为AC、AB边上的中线，M、N是BO、CO的中点．
（1）四边形EMND为平行四边形吗？为什么？
（2）连接AO，当线段AO与线段BC有怎样的关系时，四边形EMND是菱形？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，
∴ED∥BC且ED＝BC，
MN∥BC且MN＝BC，
∴ED∥MN且ED＝MN，
∴四边形MNDE是平行四边形．
（2）连接OA，∵点E、M分别是AB、OB的中点，
∴EM是△ABO的中位线，
∴EM＝OA．
由（1）知，MN＝BC．
∵OA＝BC，
∴EM＝MN．
又由（1）知，四边形EMND是平行四边形，
∴ EMND是菱形．
21．（10分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，点A、B在同一水平地面上，如果测得A、B两点间的距离是15+15米．
求无人机与地面的垂直高度是多少米？
【答案】15米．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D．设CD＝x，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
在Rt△BCD中，∠B＝∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中，∵，
∴，
∴，
∵，
即，
解得x＝15，
∴CD＝15（米）．
答：无人机距地面高度CD为15米．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求点M在线段BC上什么位置时，可使直线DM与⊙O相切？
（2）在（1）的条件下，若AC＝BC＝2，求两个阴影部分的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】解：（1）当点M为BC的中点时，DM为圆的切线，理由如下：
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵M为BC的中点，
∴DM＝BM＝CM，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+∠ODC＝90°，
∵OD为圆的半径，
∴DM与⊙O相切；
（2）连接CD，DO，则∠ADC＝90°，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD，∠A＝45°，
∴AD＝CD，
由（1）知，点M为BC的中点，
∴DM∥AC，
∴∠DMC＝∠ACB＝90°，
∵∠DOC＝2∠A＝90°，
∴四边形DOCM为矩形，
∵DO＝OC，
∴四边形DOCM为正方形，
∵AD＝CD，
由圆的对称性可知：S阴影＝＝．
23．（10分）空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果购进5台A型和10台B型空气净化器的需要2000元，购进10台A型和5台B型空气净化器的需要1750元．当A型空气净化器每个售价为120元时，可销售500个，若售价每提高1元，则销售量减少10个．
（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）商场要想在A型空气净化器售价不超过130元的销售中获得10000元利润，A型净化器每个售价应定为多少元？
（3）在（2）的条件下，若B型净化器的销量m（个）与售价n（元）之间的关系式为m＝﹣n+200，则当B型空气净化器的售价为多少元时，A、B两种空气净化器的销售总利润最大？
【答案】（1）每台A型空气净化器销售单价为100元，B型空气净化器的销售单价为150元；
（2）A型净化器每个售价应定为120元；
（3）当B型空气净化器的售价为175元时，A、B两种空气净化器的销售总利润最大．
【解答】解：（1）设每台A型空气净化器销售单价为x元，B型空气净化器的销售单价为y元，
由题意可得，，
解得：，
答：每台A型空气净化器销售单价为100元，B型空气净化器的销售单价为150元；
（2）设A型净化器每个售价应为t（t≤130）元，A型利润为w′元，则销售量为：500﹣10（t﹣120）＝1700﹣10t，
根据题意可得，w′＝（t﹣100）（1700﹣10t）＝10000，
解得t＝120或t＝150（舍），
∴A型净化器每个售价应定为120元；
（3）设A，B的总利润为w元，根据题意可知，
w＝10000+（n﹣150）（﹣n+200）
＝﹣n2+350n﹣20000
＝﹣（n﹣175）2+10625．
∵﹣1＜0，
∴当n＝175时，w的最大值为10625；
∴当B型空气净化器的售价为175元时，A、B两种空气净化器的销售总利润最大．
24．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m（m为常数，且m≠0）．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若m＜0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，该函数图象的最高点为A，最低点为B，求△AOB的面积（O为原点）；
（3）若（k﹣1，y1），（k，y2），（k+3，y3）三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数k，使得y1＜y3＜y2≤﹣m总成立？若存在，试直接写出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2，﹣m）；
（2）10；
（3）即m＜0时，k＜，且k＜1满足题意．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x﹣2）2﹣m，（m为常数，且m≠0），
∴该二次函数图象的顶点坐标（2，﹣m）；
（2）∵m＜0，
∴该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．
∴4m﹣8m+3m＝2．
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+8x﹣6，
∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴A（2，2），B（4，﹣6），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
将（2，2），（4，﹣6）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣4x+10，
令0＝﹣4x+10，解得x＝，
∴直线AB与x轴交点C坐标为（，0），
如图，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC yA+OC （﹣yB）＝OC（yA﹣yB）＝×（2+6）＝10．
（3）如图，当（k，y2），（k+3，y3）关于抛物线对称轴对称时，＝2，
解得k＝，
∴抛物线开口向下，即m＜0时，k＜，且k＜1满足题意．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
（1）求证：BC是圆O的切线；
（2）求证：AD2＝AF AB；
（3）若BE＝16，sinB＝，求AD的长．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）证明过程请看解答；
（3）．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴PD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴BC⊥OD，
又∵OD是圆O的半径，
∴BC是圆O的切线；
（2）证明：连接DF，如图2所示：
∵AE是圆O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠BAD＝∠CAD，
∴△ABD∽△ADF，
∴AB：AD＝AD：AF，
∴AD2＝AF AB；
（3）解：在Rt△BOD中，sinB＝＝，
设圆O的半径为r，则＝，
解得：r＝10，
∴AE＝2r＝20，AB＝AE+BE＝36，
在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，sin∠AEF＝sinB＝＝＝，
∴AF＝，
由（2）得：AD2＝AF AB，
∴AD＝＝＝．
