2023-2024学年人教版数学八年级上册
12.3 角平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．点P在∠A0B的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是0B边上的任意一点，则下列不符合题意的是( )
A．PQ≤5 B．PQ<5 C．PQ≥5 D．PQ>5
2．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等 B．一直角边和一角对应相等
C．两条直角边对应相等 D．斜边和一锐角对应相等
3．如图，在三角形 中， ， 平分 交 于点 ，且 ， ，则点 到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（ ）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
5．如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可以选择的地址有（ ）处
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（ ）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
8．如图所示，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线交点，OE⊥AC于E，若OE＝2，则AB与CD之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
9．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
10．如图，若BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，当∠BAP＝130°时，∠BPC＝ 度.
11．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交A
B、AC于点M，N．若AB＝8，AC＝10，则△AMN的周长是 ．
12．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为 ．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=12，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=4，则△ABD的面积为 ．
三、解答题
14．如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E。求∠E的度数。
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．求BE的长．
16．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
17．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度数。
18．如图：在△ABC中,∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E,点F在AC上，且BD=DF，
（1）求证：CF=EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系,并说明理由.
19．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）直接写出AB，CD与AC的关系 ▲ ．
参考答案
1．C
2．B
3．C
4．D
5．D
6．D
7．B
8．B
9．42
10．40
11．18
12．6
13．24
14．解：度数是20°
15．解：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴AC=AF，
∵点F是AB的一个三等分点，
设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴AB2=BC2+AC2，
∴（3m）2=52+（2m）2，
∴m= ，
∴BF= ，AB=3
∵∠BFE=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BEF∽△ABC，
∴ ，即 = ，
∴BE=3
16．证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）
17．解：∵在△ABC中，AD是高，
∴∠ADC= 90° ，
∵在△ACD中，∠C=50°，
∴∠DAC=90°-50°=40°，
∵在△ABC中，∠C=50°，∠BAC=60° ，
∴∠ABC=70°，
∵在△ABC中，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=30° ，∠FBC= ∠ABC=35°，
∴∠BOA=∠BEA+∠FBC=∠C+∠EAC+∠FBC=50°+30°+35°=115°
18．（1）证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90 ，
∴DC=DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DC=DE，DF=DB，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF=EB
（2）解：AF+BE=AE.
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴AC=AE，
∴AF+FC=AE，
即AF+BE=AE.
19．（1）证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
又∵∠D=90°，OE⊥AC，
∴OC平分∠ACD．
（2）证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝ ×180°＝90°，
∴OA⊥OC．
（3）AB+CD＝AC
