南京市重点中学2023-2024学年高二上学期7月阶段性考试检测
数学 教师版
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的模的计算公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A
2. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶次，则这人中至多有人投中的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：甲、乙、丙三人投中与否所有情况为：中、中、中，中、中、不中，不中、不中、不中，
中、不中、中，中、不中、不中，不中、中、中，不中、中、不中，不中、不中、中，共种，
其中至多有一人投中的情况有种，
故所求概率为：．
故选C．
3. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，
可得．
的面积为，
可得，即，即．
与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：．
则该圆锥的侧面积：
4. 若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：由直线与直线互相垂直，
所以，
即，
由，，可得，
即，
当时，的最大值为．
故选B．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，
所以,
故选：A.
6. 过点 的直线与圆交于，两点，则弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
由圆方程可知圆心，半径，
当垂直时，最小，此时到直线的距离，
所以，
故选：．
7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题可知曲线表示一个半圆，然后利用数形结合即得.
【详解】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆，
当直线与半圆相切时，，则，此时直线为，
当直线过点时，，此时直线为，
要使直线与曲线有两个交点，则b的取值范围是．
故选：C．
8. 在中，，，，为线段上的动点不与、重合，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：由题意，设的内角，，的对边分别为，，，
由 ，得 ，
又 ，得 ，
可得 ，
根据同角三角函数的基本关系得， ， ，
由得 ，
根据正弦定理得 ，
又 ，解得，，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又，，三点共线，且为线段上的动点，
所以 ，，
所以 ，
当且仅当 且时，等号成立，
所以 的最小值为 ，
故选C．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法错误的是( )
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B. 直线必过定点
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D．过，两点的所有直线的方程为
【答案】AC
解：对于：当在两坐标轴上的截距相等且等于时，直线过原点，
可设直线方程为，又直线过点，则，即，
此时直线方程为，故A错误；
对于：直线可变形为，由，解得
即直线必过定点，故B正确；
对于：当倾斜角时，无意义，故C错误；
故选AC．
10. 下列选项中，正确的有( )
A. 设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
B. 若角的终边过点且，则
C. 在中，
D. 在中，若，则满足条件的三角形有且只有一个
【答案】AC D
解：选项A，由，可知，所以，故充分性成立
若，则，因为为大于的实数，不一定为，所以必要性不成立，
故是成立的充分不必要条件，选项正确
选项B，若角的终边过点且，则，解得，选项错误
选项C，因为在中，，
由正弦定理可知，所以，
因为在上单调递减，
而，为的内角，，，故A
故可得，选项C正确
选项D，由，则，
可得，故，满足条件的三角形有一个，故D正确；
故选：D．
11. 已知实数，满足曲线的方程则下列选项正确的是( )
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 过点作曲线的切线，则切线方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
由：表示圆上的点到定点的距离的平方；对于：表示圆上任意一点到直线的距离的倍；：表示圆上的点与点的斜率；由点可设切线方程为，由可求．
【解答】
解：因为的方程可化为，
它表示圆心，半径为的圆，
对于：表示圆上的点到定点的距离的平方，
故它的最大值为：，故A错误；
对于：表示圆上的点与点的斜率，
由圆心到直线的距离，
可得，
即其最大值为：，故B正确；
对于：表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，
所以其最小值为：，故C错误；
D.设过点作曲线的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为，
由，得，故切线方程为，故D正确．
故选BD．
12. 已知正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内的动点，且满足，下列选项正确的是( )
A. 动点轨迹的长度是
B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
C. 直线与所成的角为，则的最小值是
D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
【答案】ABC
解：对于，如图，取、的中点、，连接、E、、F、F、、，
可得，
则，，又，，平面，
可得平面，又平面，
则，同理可证，
因为，，平面，
则平面，
因为，则点平面，
又由点平面，可得点，
即动点轨迹为线段，其长度为，故A正确；
对于，三角形在正方体内运动形成几何体是三棱锥，
其体积为，故B正确；
对于，，
直线与所成的角即直线与所成的角，即，
平面，为直角三角形，
故，
当时，最小，此时，
故的最小值是，故C正确；
对于，当点与重合时，直线与平面所成的角最大，
设直线与平面所成的角为，则，
故，故D错误．
故选：．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 数据，，，，，，的平均数是，则这组数据的百分位数为 ．
【答案】
解：因为数据，，，，，，的平均数是，
则，解得，
这组数从小到大排列：，，，，，，，
则，
所以第个数据为这组数据的第百分位数，即为，
故答案为．
14. 直线关于直线的对称直线方程为 ．
【答案】
15. 在平面直角坐标系中，点，，若在曲线：上存在点使得，则实数的取值范围为 ．
【答案】
解：根据题意，设，
若，即，
则有，
变形可得：，
即的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
曲线：，
即，
则曲线是以为圆心，半径为的圆；
若曲线上存在点使得，则圆与圆有公共点，
则有，即，
解可得：或，
即的取值范围为：；
故答案为：
16. 矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为 ．
【答案】
解：设中点为，如图所示，
则为四面体外接球球心，
由矩形中，，，可得，
半径，故；
作交于点，作，
可得，
在中，利用勾股定理可得，则，
且，可得，
故此时，由余弦定理求得，
在中，由余弦定理求得，
在中，由余弦定理求得，
根据，
即可确定．
故答案为：；．
四．解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (10分)已知的三个顶点是，，．
求边上的高所在直线的方程；
求的面积；
【答案】解设边上的高所在直线为，由题意知，则．
又点在直线上，所以直线的方程为，
即，即边上的高所在直线的方程为．
边所在直线的方程为，
即点到直线的距离．
又，所以．
18. 本小题分
如图，在平面四边形中，，，的面积为．
求的长；
若，求的长．
【答案】解：，，的面积为，
，
，
由余弦定理，得
，
；
由知中，，，
，，，
又，，
在中，由正弦定理，得，
即，．
19. 本小题分
已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．
求的轨迹方程；
当时，求的方程及的面积．
【答案】解：Ⅰ圆的方程可化为，
所以圆心为，半径为，
设，则，，
由题设知，
故，
即．
由于点在圆的内部，
所以的轨迹方程是．
Ⅱ由Ⅰ可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
由于，故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，从而．
因为的斜率为，
所以的斜率为，
故的方程为．
又，到的距离为，所以，
所以的面积为．
20. 本小题分
甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立周年”知识竞赛．现有、两类问题，竞赛规则如下：竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于个，则“星队”可进入下一轮．
已知甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．
乙同学能答对类中问题的概率为，答对类中问题的概率为．
设“甲同学答对个，个，个问题”别记为事件，，，求事件，，的概率；
求“星队”能进入下一轮的概率．
【答案】解：Ⅰ甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为，
，，．
Ⅱ设“乙同学答对个，个问题”别记为事件，，
乙同学能答对类中问题的概率为，答对类中问题的概率为．
，，
设事件表示“星队能进入下一轮”，
，
故“星队”能进入下一轮的概率为．
21. 本小题分
在三棱柱中，，，，B.
证明：平面平面
求二面角的平面角的余弦值．
【答案】解：设的中点为，连接，，
因为，所以，又因为，且，
所以，因为，平面，且，
所以平面，因为平面，
所以，在中，由余弦定理求得，则，
因为，所以，解得，
在和中，可知，．
在中，，因此．
由知，，且，平面，且，
所以平面．平面
因此平面平面．
由第一问证明易得，，且．
取的中点，为二面角的平面角，且，
，所以二面角的平面角的余弦值为
22．(12分)已知圆，直线．
若直线被圆截得的弦的长为，求的值
若，直线与圆相离，在直线上有一动点，过作圆的两条切线，，切点分别为，，且的最小值为，
求的值；
证明：直线恒过定点．
【答案】解：由题意知圆的圆心为，半径，
由弦的长为，得点到直线的距离 ，
又 ，
，解得
，
由知点到直线的距离，
，
时，的值最小，即的最小值为，
由已知得，解得，
，解得或，
，，
当时，直线的方程为，
设，以为直径的圆记为圆，
则圆的方程为 ，
即，
由题意知圆的方程为 ，
由得，
、两点为圆和圆的公共点，
为直线的方程，
由变形得，
由解得
直线恒过定点
南京市重点中学2023-2024学年高二上学期7月阶段性考试检测
数学
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶次，则这人中至多有人投中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4．若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5．已知，则（ ）
A. B. C. D.
6．过点 的直线与圆交于，两点，则弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在ABC中，，，，为线段上的动点不与、重合，且
，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法错误的是（ ）
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B. 直线必过定点
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D．过，两点的所有直线的方程为
10．下列选项中，正确的有（ ）
A. 设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
B. 若角的终边过点且，则
C. 在中，
D. 在中，若，则满足条件的三角形有且只有一个
11．已知实数，满足曲线的方程则下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 过点作曲线的切线，则切线方程为
12．已知正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内的动点，
且满足，下列选项正确的是（ ）
动点轨迹的长度是
B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
C. 直线与所成的角为，则的最小值是
D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．数据，，，，，，的平均数是，则这组数据的百分位数为 ．
14．直线关于直线的对称直线方程为 ．
15．在平面直角坐标系中，点，，若在曲线：上存在点使得，则实数的取值范围为 ．
16．矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为 ．
四．解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(10分) 已知的三个顶点是，，．
求边上的高所在直线的方程；
求的面积；
18．(12分)如图，在平面四边形中，，，的面积为．
求的长；
若， 求的长．
19．(12分)甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立周年”知识竞赛．现有、两类问题，竞赛规则如下：竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于个，则“星队”可进入下一轮．
已知甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．
乙同学能答对类中问题的概率为，答对类中问题的概率为．
设“甲同学答对个，个，个问题”别记为事件，，，求事件，，的概率；
求“星队”能进入下一轮的概率．
20．(12分)已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．
求的轨迹方程；
当时，求的方程及的面积．
21．(12分)在三棱柱中，，，，B.
证明：平面平面
求二面角的平面角的余弦值．
22．(12分)已知圆，直线．
若直线被圆截得的弦的长为，求的值；
若，直线与圆相离，在直线上有一动点，过作圆的两条切线，，切点分别为，，且的最小值为，
求的值；
证明：直线恒过定点．
