2023年上海市嘉定区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2. 抛物线一定经过点( )
A. B. C. D. ．
3. 如果把三边的长度都扩大为原来的倍，那么锐角的四个三角比的值( )
A. 都扩大为原来的倍 B. 都缩小为原来的
C. 都没有变化 D. 都不能确定
4. 在中，，，，那么的正弦值是( )
A. B. C. D.
5. 已知非零向量、、，下列条件中不能判定的是( )
A. B.
C. ， D. ，
6. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么的长等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 已知，那么 ______ ．
8. 已知抛物线开口向下，那么的取值范围是______ ．
9. 将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线表达式是______ ．
10. 已知点、在二次函数的图象上，那么 ______ 填“”、“”、“”．
11. 抛物线的对称轴是直线，如果此抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与轴的另一个交点的坐标是______ ．
12. 已知在中，，，，那么的长是______ ．
13. 如图，在梯形中，，，，如果，，那么 ______ ．
14. 如图，某飞机在离地面垂直距离米的上空处，测得地面控制点的俯角为，那么飞机与该地面控制点之间的距离等于______ 米结果保留根号．
15. 如图，已知在平行四边形中，点在边上，且，设，，那么 ______ ．
16. 如图，已知在中，、分别是、边上的中线，且相交于点，过点作，那么 ______ ．
17. 如图，在中，，，如果，，那么 ______ ．
18. 在中，，，，是边上的中线如图将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，边与边交于点，那么的长是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
已知二次函数的图象经过、、三点．
求这个函数的解析式；
用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
21. 本小题分
如图，已知在平行四边形中，是边上的一点，与相交于点，与的延长线相交于点，，求、的长．
22. 本小题分
海岛算经是中国古代测量术的代表作，原名重差这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高米的标杆和，两杆间距相距米，、、三点共线从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为；从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为点、都在直线上
求的长结果保留根号；
山峰高度的长结果精确到米参考数据：，
23. 本小题分
如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点．
求证：∽；
如果，求证：．
24. 本小题分
如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．
求此抛物线的表达式及对称轴；
求的值；
在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．
25. 本小题分
已知中，，，，点、分别在边、边上点不与点重合，点不与点重合，联结，将沿着直线翻折后，点恰好落在边上的点处过点作，交射线于点设，，
如图，当点与点重合时，求的值；
如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域；
当时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，是二次函数，故A不符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，是一次函数，故C不符合题意；
D、，是二次函数，故D符合题意；
故选：．
根据二次函数的一般形式：形如为常数且，逐一判断即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：当时，，
故A和不正确．
当时，，解得或．
故选：．
分别计算当和时和的取值即可选出正确答案．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，如果某点的坐标满足函数，则说明该函数的图象经过该点．
3.【答案】
【解析】解：如果把的三边长度都扩大倍，锐角不变，锐角三角函数值不变．
故选：．
根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
故选：．
先在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：向量、、为非零向量，，
与方向相同，
，
，不能说明方向相同或相反，
不能判定；
，，
；
，，
与方向相同，
，
故选项B符合题意，
故选：．
根据平行向量的定义逐一判断即可．
本题考查了平面向量，熟练掌握平行向量的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：：：，，
：：．
，
，
，
．
故选：．
由“：：，”，可得出：：，由，利用平行线分线段成比例，可得出，代入，：：，即可求出的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
设，，
．
故答案为：．
由，可设，，然后代入，化简求解即可求得答案．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握由，可设，的解题方法．
8.【答案】
【解析】解：的开口向下，
，解得，
故答案为：．
由开口向下可得到关于的不等式，可求得的取值范围．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数有关是解题的关键．
9.【答案】或
【解析】解：，
将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线表达式是，即．
故答案为：或．
根据二次函数图象平移的规律，即左加右减，上加下减求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
点、在二次函数的图象上，，
．
故答案为：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．
11.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴是直线，
交点到对称轴的距离是，
根据对称性可得另一交点到对称轴的距离等于，
抛物线与轴的另一个交点的坐标是．
结合对称轴和抛物线与轴的一个交点的坐标是即可解答．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：在中，，由得，
故答案为：．
根据余弦值的定义即可求解．
本题主要考查解直角三角形，解此题的关键在于利用三角比的定义求解即可．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
在中，，，
，即：，
．
故答案为：．
首先根据得，则，然后在中由，即可求出的长．
此题主要考查了平行线的性质，锐角三角函数，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质，余切函数的定义．
14.【答案】
【解析】解：如图：
由题意得：，，，
，
在中，米，
米，
飞机与该地面控制点之间的距离等于米，
故答案为：．
根据题意可得：，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，，从而得出，再根据推出，再根据三角形运算法则即可求解．
本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟练掌握平面向量三角形运算法则是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：、分别是、边上的中线，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据、分别是、边上的中线可得，根据可得，进而得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
17.【答案】
【解析】解：，，
，，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
∽，
又，
，
，
．
故答案为：．
根据，推出判定∽的条件，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出与的比，再根据比例的性质求出与之比，判定∽后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的面积．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，过点作于，
，，，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
先证，由锐角三角函数可求，的长，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，通过证明∽，可得，可求的长，通过证明∽，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：由题意把、、代入二次函数，
可得：，
解得：．
二次函数解析式为；
，
顶点坐标是．
【解析】把、、代入二次函数解析式，列出三元一次方程组进行计算即可；
利用配方法进行计算即可解答．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：四边形为平行四边形，
，，．
点在延长线上，
．
．
，，
，
即．
，
．
，，
．
，
．
，
．
，
，
即．
综上，，．
【解析】由四边形为平行四边形，得出，，又因为在延长线上，得出则，又因，，推出；因为，则又，，推出因为，则又因为，则，因为，则，所以．
本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
22.【答案】解：由题意得：，，
在中，，，
米，
在中，，，
米，
米，
米，
的长为米；
设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
米，
山峰高度的长约为米．
【解析】根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及字模型相似三角形是解题的关键．
23.【答案】证明：，
．
、分别是和的外角，
，，
，
．
又，
∽．
，，
．
，
∽，
，
即．
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】先根据三角形外角的定义得到，即可证明∽；
先证明∽得到，再根据证明≌，即可证明．
本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
24.【答案】解：根据题意：，
解得，
抛物线表达式为．
抛物线的对称轴为：直线．
抛物线与 轴相交于点，
点坐标是，
作轴，垂足为作，交的延长线于点．
，
，，
．
，
．
．
．
存在，理由如下：
为直角边，
只可能有两种情况：或．
设点坐标为
当，作，垂足为，作，垂足为．
，．
，，
，
；
，可求得，舍．
；
当，作轴，垂足为．
，．
，，
，
；
，可求得舍，．
；
综上所述，点的坐标是或．
【解析】将点，的坐标代入解析式，解方程组即可得出结论；
作轴，垂足为作，交的延长线于点将放在中，根据余切的定义即可表达；
根据题意，需要分两种情况进行讨论：或，分别作出图形求解即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
25.【答案】解：在中，，，，
，，，
，
，
，，
，
由题意可得：，
．
由题意可知：，，，
，
，，
，
在中，，，，
，，
，
∽，
，
，，
，
当点在线段上时，
，
，
由得∽，
，
即，
，
，
，，
过点作，垂足为点，
，，
在中，，
，
负值舍去，
．
当点在的延长线上时，
，
，
由题意得，，
∽，
，即，
，
，
，，
过点作，垂足为点．
，，，
．
综上，或．
【解析】根据直角三角形的性质求出，，由垂直的定义求出，由题意可得：，即可求解．
根据题意得出，根据直角三角形的性质证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，利用勾股定理和相似三角形的性质即可求解．
本题考查了相似形的综合应用，主要考查直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理．
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