2023年广东省佛山市重点学校高三（上）期末联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，则下列向量中与垂直的是( )
A. B. C. D.
3. 已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则( )
A. B. C. D.
4. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，和的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 对于常数，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 若，，，，则( )
A. B. C. D.
7. 在下列函数中，最小正周期为且在为减函数的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则( )
A. B.
C. D. 或
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下面是关于复数为虚数单位的命题，其中真命题为( )
A. B.
C. 的共轭复数为 D. 的虚部为
10. 两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是( )
A. 若为等差数列，则
B. 若为等差数列，则
C. 若为等差数列，则
D. 若，则也为等差数列，且公差为
11. 如图，在棱长为的正方体中，点在侧面包含边界内运动，则下列结论正确的有( )
A. 直线平面
B. 二面角的大小为
C. 过三点，，的正方体的截面面积的最大值为
D. 三棱锥的外接球半径为
12. 已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为：
其中满足，且．
定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有，，，个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 事件的优势比定义为如果，则事件的优势比是 ．
14. 已知圆的方程为，抛物线的方程为，则两曲线的公共切线的其中一条方程为 ．
15. 设函数的最大值为，最小值为，则 ．
16. 设椭圆的两个焦点是，，过的直线与交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的首项，
求证数列为等比数列；
记，若，求的最大值．
18. 本小题分
已知的外接圆半径且三个角的正弦值，，成等比数列．
求的取值范围；
求的面积的最大值．
19. 本小题分
在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是上的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．
求证：平面；
若，已知直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
20. 本小题分
汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份
年份代码
销量万辆
统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破万辆；
为了解购车车主的性别与购车种类分为新能源汽车与传统燃油汽油车的情况，该企业随机调查了该地区位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有名，女性车主中有名购置传统燃油汽车．
若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用中的线性回归方程预测该地区年购置新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人；
设男性车主中购置新能源汽车的概率为，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取人，记恰有人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．
附：为回归方程，．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线：的焦点为，抛物线上不同两点，同时满足下列三个条件中的两个：；；直线的方程为．
请分析说明两点，满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；
过抛物线的焦点的两条倾斜角互补的直线和交抛物线于，，，，且，两点在直线的下方，求证：直线，的倾斜角互补并求直线，的交点坐标．
22. 本小题分
已知函数．
若，试判断函数的零点的个数；
若不等式对恒成立，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数的性质及集合的交集运算，属于基础题．
由对数函数的性质化简集合，从而求即可．
【解答】
解：，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质，向量数量积的坐标运算，属于基础题．
由题意利用两个向量垂直的性质，得出结论．
【解答】
解：向量，，故向量与向量不垂直，故A不满足条件；
，故与不垂直，故B不满足条件；
，故与不垂直，故C不满足条件；
，故与垂直，故D满足条件，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，
，，
则，
故选：．
由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角公式，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
根据正态分布曲线的定义及对称性逐一求解即可．
【解答】
解：由，得，A错误；
由正态密度曲线图像可知，，，，B错误；
由正态密度曲线图像可知，，所以，C正确；
由正态密度曲线图像可知，，，所以，D错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，双曲线方程的标准方程，属于基础题．
根据双曲线的标准方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：若方程对应的曲线是双曲线，
由双曲线的标准方程得；
当时，方程也满足双曲线的标准方程，
所以“”是“方程对应的曲线是双曲线”的充要条件，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，属于中档题．
利用对数的运算法则，基本不等式求解即可．
【解答】
解：，，
，由基本不等式可得，，故取不到等号，
，
，由基本不等式可得，，故取不到等号，
，，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于中档题．
由题意，利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．
【解答】
解：由于不是周期函数，故排除；
由于在上，，不单调，故排除；
由于是周期为的周期函数，在上，单调递减，故C满足条件；
由于的最小正周期为，故排除，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求极值，考查运算求解能力，是中档题．
设切点为，求出过切点的切线方程，把代入，可得，构造函数，利用导数求极值，可得的范围，进一步求得的范围．
【解答】
解：设切点为，由，
得，，
则过切点的切线方程为，把代入，
可得，即，
令，则，
可得当时，，当时，，
的增区间为，，减区间为，
又，，且当时，，当时，，
若经过点且与曲线相切的直线有三条，则，
可得．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的概念以及运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的概念及运算法则依次判断选项即可．
【解答】
解：复数，
，A正确；
，B错误；
的共轭复数为，C错误；
的虚部为，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键，等差数列的前项和，属于中档题．
对于：利用，化简即可得出答案．
对于：利用，化简即可得出答案．
对于：利用，化简即可得出答案．
对于：根据，即可得出答案．
【解答】
解：对于因为为等差数列，所以，
即，
所以，
化简得，所以，故A正确；
对于：因为为等差数列，
所以，
所以，
所以，故B正确；
对于：因为为等差数列，
所以，
所以，
化简得，所以或或，故C不正确；
对于：因为，且，
所，
所以，
所以也为等差数列，且公差为，故D不正确．
故选AB．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、二面角，三棱锥及正方体的外接球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
对于，根据线面垂直的性质证明，同理可得，即可证明；对于，根据二面角的定义可得二面角为即可判断；对于，作出截面，分析可得当截面积最大即可；对于，根据三棱锥的外接球与正方体外接球为同一球，求解即可．
【解答】
解：对于，连接，正方体中，，平面，又平面，
，又，，平面，
平面，
平面，，
同理，，，，平面，
平面，故A正确；
对于，由正方体性质得平面，得，，
二面角为，故B错误；
对于，由对称性，在内与内截面面积取最大值的情况相同，
且当在上时，截面即矩形，面积为，
不妨设在内不包含，设截面交，分别于，，
则由正方体性质与面面平行的性质可得，，
，截面为梯形，
设，，，
，，，
平面，平面，又平面，
，即为梯形的高，
设，则，
，
下证，即，
成立，
成立，
，
，
过三点，，的正方体的截面面积的最大值为，故C正确；
对于，由题意得三棱锥的外接球即正方体的外接球，
其半径为体对角线的一半，即，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：的取值为，，，，，，，则的分布列为
则，
，
，
，
，
，
故选：．
求出的分布列，可得数学期望，再根据定义求出，求导得到，代值计算即可判断．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了事件与对立事件的概率计算问题，是基础题．
根据事件优势比的定义，计算即可．
【解答】
解：因为，所以，
所以事件的优势比为．
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查两曲线的公切线问题，导数的几何意义及直线的点斜式方程的应用，方程思想，属中档题．
先设公切线与抛物线切于点，再利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求出出的切线方程，再通过该切线与单位圆相切，从而建立方程求出，从而得两曲线的公切线方程．
【解答】
解：设两曲线的公共切线的其中一条公切线与抛物线切于点，
对取，，
处的导数为，
处的公切线方程为，
即，又该切线与圆相切，
，
解得，
两曲线的公共切线的其中一条方程为，
即，
由对称性可知：两曲线的公共切线的另外一条方程为，
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题，属于中档题．
函数可化为 ，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为，由此可得函数的最大值与最小值的和．
【解答】
解：显然函数的定义域为
函数可化为，
令，定义域为，
因为
则为奇函数，
的最大值与最小值的和为．
函数的最大值与最小值的和为．
即．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中勾股定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意画出图形，由，，利用椭圆的定义可得：，进一步求出，，过作于点，在直角三角形中，利用勾股定理可得可得，即可求解．
【解答】
解：如图，
因为，且，
所以，可得，，
故
过作于点，，，
在直角三角形中，
由，可得．
即可得，，
．
故答案为：．
17.【答案】解：证明：由首项，
可得，，
则．
所以数列是以公比为的等比数列．
由得，
，
，
由，则，即，，
得，
故的最大值为．
【解析】本题考查等比数列的判定、通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由条件求得，再运用等比数列的定义即可得证；
由等比数列的通项公式可得，再由数列的分组求和与等比数列的求和公式，可得，得，可得所求的最大值．
18.【答案】解：由条件三个角的正弦值，，成等比数列，
得，
由正弦定理得，
由余弦定理，
因为，
所以，
又，则，即；
，
因为，所以，
则，
所以的面积的最大值为．
【解析】根据正弦定理，结合等比中项的性质与余弦定理列式可得，再根据余弦值的取值范围求解即可；
根据正弦定理结合面积公式，结合中，求解最值即可．
本题考查正余弦定理、面积公式，等比数列性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：如图，连接，因为，是半圆的两个三等分点，
所以．
又，
所以，，均为等边三角形．
所以，所以四边形为菱形．
所以，
又因为平面，平面，所以平面．
因为，都是圆柱的母线，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
又，平面，且，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
连接，是圆柱的母线，所以圆柱的底面，
所以是直线与平面所成的角，即，
因为是圆的直径，所以，
在中，，．
所以．
所以在中，．
以原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
平面的一个法向量为，
又因为平面的法向量为，
所以．
由图可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
【解析】本题考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质、线面垂直的性质、二面角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
连接，，则，，均为等边三角形，从而四边形为菱形，，，进而证明平面平面，由此能证明平面．
连接，是圆柱的母线，从而圆柱的底面，是直线与平面所成的角，即，推导出，以原点，分别以，，所在的直线为轴轴轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
20.【答案】解：由题意得，，
，则，
关于的线性回归方程为，
则当时，即，解得，
故的最小整数值为，年份，
故该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆；
由题意得该地区位购车车主中女性有名，则其中购置新能源汽车的女性车主有名，
购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，
由得当，即时，万辆，
该地区年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人；
由题意得，其中，则，
则，
则，
由得或，由得，由得，
在上单调递减，在单调递增，
当，即，此时时，取得极大值也是最大值，，
故当为名时，最大为．
【解析】由题意得，，利用公式，即可得出答案；
求出购置新能源汽车的车主中，女性车主所占比例为，由得该地区年购置新能源汽车的销量为万辆，即可得出答案；
由题意得，其中，则，则，利用导数研究的单调性，即可得出答案．
本题考查线性回归方程和用样本数据估计总体，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：若同时满足，由，可得过焦点，
当时，，而，
不同时成立；
若同时满足，由，可得过焦点，
直线的方程为，不过焦点，不同时成立；
同时满足，由，且直线的方程为，
，．
抛物线的标准方程为；
证明：设过抛物线的焦点的两条倾斜角互补的直线和的方程分别为：
，即为，
由方程组，可得，
，
同理以代替，可得，
，
设直线，的方程为，，
由方程组，可得，
，
由方程组，同理，
，又，
．
直线，的倾斜角互补，
由，，，，
得，
，
，
显然
，，
同理，
直线，同过点，
故直线，相交于定点．
【解析】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线相交的位置关系，设而不求法，根与系数的关系应用，方程思想，抽象运算能力，属难题．
分别分析三种组合，从而得只有组合满足题意，接着再建立方程，从而得解；
先设出过抛物线交点的两直线，分别为，再联立抛物线方程求出，，从而得，接着设直线，的方程为，，再联立抛物线方程，从而得，又，从而得从而得直线，的倾斜角互补，再根据根与系数的关系及方程思想可得，同理，从而得直线，相交于定点．
22.【答案】解：当时，，
，
令，则，
因为，
所以，，
所以，
因为，
所以，则，
所以在上单调递减，
因为，，
所以在存在唯一零点，即，，
由，得，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以在为增函数，且，
所以在有一个零点，
，
因为，
所以，
所以，则，，
所以，
所以，
因为在为增函数，
因为，
所以，
因为在为减函数，，
所以，
所以在有一个零点，
所以在定义域内有两个零点．
当时，显然成立，
下面讨论时，，
令，
所以，
当时，，
所以在为增函数，
所以，
即，
因为，，所以，
所以，
因为，
所以，
，
，
由，得；，得，
所以在区间是增函数，在区间上是减函数，
所以的最大值为，
所以，
所以的最小值为．
【解析】本题考查函数的零点的个数，不等式的恒成立，解题中注意转化思想的应用，属于困难题．
当时，，求导分析的单调性且在存在零点，即可得出答案．
分两种情况：当时，显然成立；时，，令，即，求导分析单调性，则，令，只需，即可得出答案．
第1页，共1页
