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第三章 万有引力定律
第3节 预言未知星体 计算天体质量
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课时作业(9)
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求过
金星
水星
太阳
月球
0
地球
上星
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米第3节 预言未知星体 计算天体质量
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道海王星的发现过程，了解哈雷彗星的“按时回归”．2．学会应用万有引力定律“称量”地球质量，计算太阳质量，估算天体密度等． 1．物理观念：哈雷彗星回归、海王星．2．科学思维：“称量”地球的质量、计算天体的质量．3．科学态度与责任：发现未知天体，预言哈雷彗星回归．
[对应学生用书P46]
1．英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算彗星的轨道，成功预言了彗星的回归．
2．未知天体的发现
根据已发现的天体的运行轨道，结合万有引力定律推算出未知天体的轨道，如海王星就是这样发现的．
[思考]
如图，地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的轨道是一个非常扁的椭圆，哈雷彗星的周期约为76年，估算一下哈雷彗星轨道的半长轴约是地球公转半径的多少倍．(用立方根表示)
提示 根据开普勒第三定律＝ eq \f(R,T) ，
得＝ eq \r(3,\f(T2,T)) ＝.
1．“称量”地球的质量
(1)若不考虑地球自转影响，地面上的物体所受的重力等于地球对物体的引力．
(2)根据mg＝G可以解出m地＝.
2．计算天体的质量
m太＝．
[思考]
如图是木星和它周围运行的卫星，测出一颗卫星的轨道半径和周期，怎样计算出木星的质量？
提示 设木星和卫星质量分别为m木、m，测得轨道半径和周期分别为r和T.根据万有引力提供向心力G＝m，解得m木＝.
[对应学生用书P46]
探究点一 天体质量和密度的计算
如图所示，图甲中质量为m的物体放置在地面上，图乙中质量为m的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，探究如下问题：
甲 乙
(1)怎样用图甲来计算地球的质量和平均密度？(已知地球半径为R，引力常量为G，物体在地面上的重力加速度为g)
提示 物体所受重力近似等于地球引力，则mg＝G，解得M＝.
由V＝πR3可得ρ＝＝.
(2)怎样用图乙来计算地球的质量和密度？(已知人造卫星的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G)
提示 根据万有引力提供向心力有
G＝mr，解得M＝.
由V＝πR3可得ρ＝＝.
(3)在图乙中，若卫星做近地的圆周运动，则地球的平均密度是多少？
提示 若人造卫星做近地圆周运动，则r＝R，
由(2)可知ρ＝.
情境及求解思路 结果
天体质量的计算 已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则G＝mg M＝
质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝m()2r ①M＝②M＝③M＝
天体密度的计算 ρ＝＝ ①ρ＝(gR2＝GM)②ρ＝③ρ＝r＝R时：ρ＝④ρ＝r＝R时：ρ＝
宇航员站在某一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点间的距离变为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和平均密度ρ.
解析 设该星球表面的重力加速度为g.根据平抛运动的特点可得，小球在竖直方向上的位移y＝gt2
当小球以初速度为v平抛时，则水平方向上的位移为x＝vt
有(gt2)2＋(vt)2＝L2①
当以2v的速度平抛小球时，水平位移为x′＝2vt.所以有(gt2)2＋(2vt)2＝(L)2②
在星球表面上，物体的重力近似等于万有引力，有
mg＝G③
联立①②③式解得M＝
而星球的体积V＝πR3，
由密度公式ρ＝得星球的密度ρ＝.
答案
[题后总结]
(1)本题通过平抛运动知识求出星球表面的重力加速度，然后根据重力等于万有引力求出星球质量，最后求出星球的密度．
(2)本题易出现的错误是把抛出点与落地点间的距离与平抛的水平射程混淆．
[训练1] (2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
D [根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得
G＝＝m＝mω2r＝mr
可得
M＝＝＝
可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量．故选D.]
[训练2] 在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表记下了一昼夜的时间T，然后用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%.试写出星球平均密度的估算表达式．
解析 设星球的质量为M，半径为R，两极表面重力加速度为g′，平均密度为ρ，砝码的质量为m.
砝码在赤道上失重ΔF＝(1－90%)mg′＝0.1mg′，表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力Fn＝ΔF＝0.1mg′.
而一昼夜的时间T就是星球的自转周期．根据牛顿第二定律可得0.1mg′＝m()2R①
根据万有引力定律，星球两极表面的重力加速度为
g′＝G＝GπρR②
联立①②式得，星球平均密度的估算式为
ρ＝.
答案 ρ＝
探究点二 天体运动的分析探究
如图所示，太阳系中的行星绕太阳在不同轨道上运动，探究以下问题：
(1)将行星的运动近似看作匀速圆周运动，轨道半径最小的是哪颗行星？
提示 水星．
(2)在地球、金星和火星的周期中，哪个最大？
提示 根据G＝mr，T＝ ，故轨道半径越大，周期越大，即火星周期最大．
(3)金星和木星的角速度哪个较大？
提示 根据G＝mω2r，ω＝ ，故轨道半径越小，角速度越大，金星的角速度大．
(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
ABD [因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，A正确．由＝mrω2＝mr()2得T＝2π，即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确．由＝ma得a＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误．由＝得v＝ ，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确．]
[题后总结]
(1)天体运动参量的对比都是根据万有引力提供向心力列出方程，进行判断．
(2)天体做圆周运动的主要参量由轨道半径决定．
[训练3] (2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A. B.
C. D.
A [根据万有引力提供向心力G＝mR，ρ＝，V＝πR3，解得T＝，故选A.]
[训练4] 北京时间2019年4月10日21时，在全球七大城市同时发布由“事件视界望远镜”观测到位于室女A星系(M87)中央的超大质量黑洞的照片，如图所示．若某黑洞半径R约为45 km，质量M和半径R满足的关系为＝(其中c为光速，c＝3.0×108 m/s，G为引力常量)，则估算该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A．1010 m/s2 B．1012 m/s2
C．1014 m/s2 D．1016 m/s2
B [黑洞实际为天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一个质量为m的物体，则有G＝mg，又有＝，联立两式得g＝，代入数据解得重力加速度的数量级为1012 m/s2．故B正确．]
[对应学生用书P49]
1．(应用万有引力定律求解星球质量)人造卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为v，轨道半径为r，已知引力常量为G，根据万有引力定律，可算出地球的质量为( )
A． B． C． D．
A [设地球的质量为M，卫星的质量为m，由G＝m可得M＝，故A正确．]
2．(应用卫星估算行星质量)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图所示)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
B [由万有引力定律和牛顿第二定律有F＝G＝m()2r，得土星的质量M＝，代入数据解得M≈5×1026 kg，故B正确．]
3．(天体密度的估算)美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
A [根据万有引力提供向心力有G＝m(R＋h)，又探测器运行的周期为T＝，得土星的质量M＝，由密度的定义式ρ＝与土星的体积V＝πR3得，土星的密度ρ＝，故A正确．]
4．(双星问题)天文学家如果观察到一颗星球独自做圆周运动，那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的黑洞．星球与黑洞由万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么( )
A．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比
B．它们做圆周运动的周期与其质量成反比
C．它们做圆周运动的半径与其质量成反比
D．它们所受的向心力与其质量成反比
C [由于该双星和它们的轨道中心总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即它们做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同，故A、B错误；因为它们所受的向心力都是由它们之间的相互作用力来提供，所以向心力的大小必然相等，故D错误；由F＝mω2r可得r∝，故C正确．]
课时作业(9) 预言未知天体 计算天体质量
[对应学生用书P123]
1．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足的关系式为( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
A [本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．对行星有：＝mr，故GM＝，A正确．]
2．若测得“嫦娥五号”探测器在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近沿圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
A [“嫦娥五号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近沿圆形轨道运行，其轨道半径可视为等于月球半径，由G＝m()2R得月球质量M＝4.由于月球半径R未知，不能估算月球质量，也不能由题中信息得到月球半径和自转周期，故B、C、D错误．由密度公式ρ＝得月球密度ρ＝，故A正确．]
3．一个物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A． B．
C． D．
C [赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有＝m()2R，化简得T＝()，故C正确．]
4．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A． B．
C． D．
A [无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为＝mr，即M∝，所以＝，A正确．]
5．(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞的质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
B [由图可知，S2绕黑洞运动的周期T＝2×(2002－1994)年＝16 年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞运动的半长轴r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是
r＝1 000R
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由万有引力公式可得
G＝mR()2
解得太阳的质量为
M＝ eq \f(4π2R3,GT)
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由开普勒第三定律及万有引力公式可知
G＝m′r()2
解得黑洞的质量为
M黑＝
综上可得
M黑＝ eq \f(r3T,R3T2) M≈M≈4×106M
故选B.]
6．如图所示，“嫦娥五号”探测器的环月轨道可近似看作圆轨道，观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(单位为rad)，已知引力常量为G，则月球的质量是( )
A． B．
C． D．
C [因为每经过时间t通过的弧长l，故“嫦娥五号”的线速度为v＝，角速度为ω＝，“嫦娥五号”的运行半径为R＝＝，则根据万有引力定律及牛顿第二定律得G＝，则月球的质量M＝＝，故C正确．]
7．(多选)最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某恒星系有一个行星，并测得它围绕恒星运动一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球与太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆形，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
AD [由公式M＝可知，恒星质量与太阳质量之比M星∶M日＝∶＝，故A正确；由于不知道太阳和恒星的体积，无法求出恒星密度与太阳密度之比，故B错误；仅由万有引力公式＝m＝mr·无法求出行星质量与地球质量之比，故C错误；由v＝可知行星运行速度与地球公转速度之比v星∶v地＝∶＝，故D正确．]
8．(多选)如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道).若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看作球体).地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出( )
A．卫星运行的周期
B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量
D．地球的质量
ABD [卫星从北纬30°的正上方，第一次运行至南纬60°正上方时，刚好为运动周期的，所以卫星运行的周期为4t，故A正确；知道卫星运行周期、地球半径，由＝m()2(R＋h)及GM＝R2g，可以算出卫星距地面的高度，故B正确；通过上面的公式可以看出，能算出中心天体的质量，不能算出卫星的质量，故C错误，D正确．]
9．假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T.当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，不考虑行星的自转，试根据以上数据求该行星的质量．
解析 设行星、飞船的质量分别为M和m1，行星半径为R，则有G＝m1R①
当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，则可得
F＝mg′②
砝码的重力等于万有引力G＝mg′③
联立①②③式即可得行星质量为
M＝.
答案
10．“探路者号”宇宙飞船在宇宙深处飞行的过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等．以下判断正确的是( )
A．两颗卫星的线速度一定相等
B．天体A、B的质量一定不相等
C．天体A、B表面的重力加速度一定不相等
D．天体A、B的密度一定相等
D [根据题意，已知两卫星运行周期相等，由G＝mR和M＝ρV＝ρπR3，即ρ＝，即两天体的密度相等，故D正确；卫星环绕速度v＝，由于两天体半径关系不知道，则线速度大小关系无法确定，故A错误；天体质量M＝，可知两天体质量大小关系也无法确定，故B错误；由g＝R可知，两天体表面重力加速度大小关系无法确定，故C错误．]
11．(多选)一些星球由于某种原因而发生收缩，假设某星球的直径缩小到原来的四分之一．若收缩时质量不变，不考虑星球自转的影响，则与收缩前相比( )
A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍
C．该星球的平均密度增大到原来的16倍
D．该星球的平均密度增大到原来的64倍
BD [根据万有引力公式F＝G可知，当星球的直径缩到原来的四分之一时，在星球表面的物体受到的重力F′＝＝16＝16F，故A错误，B正确；星球的平均密度ρ＝＝，星球收缩后ρ′＝＝64ρ，故C错误，D正确．]
12．现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变量Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略).飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动．已知星球的半径为R，引力常量用G表示，则宇宙飞船和星球的质量分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
D [根据牛顿第二定律可知F＝ma＝m，所以m＝.飞船做匀速圆周运动的周期T＝，故轨道半径为r＝，根据万有引力提供向心力可得G＝m，得M＝＝，故D正确．]
13．(多选)如图所示，甲是地球赤道上的一个物体，乙是宇宙飞船(周期约为90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙
D．已知乙运动的周期T乙与轨道半径r乙，可计算出地球的质量M＝ eq \f(4π2r,GT)
AD [乙和丙都是人造卫星，由G＝man＝m可得an＝G，v＝ ，所以a乙>a丙，v乙>v丙，B错误；又因为甲和丙的角速度相同，由an＝ω2r可得，a丙>a甲，故a乙>a丙>a甲，A正确；甲是赤道上的一个物体，不是近地卫星，故不能由ρ＝ eq \f(3π,GT) 计算地球的密度，C错误；由G eq \f(Mm,r) ＝mr乙 eq \f(4π2,T) 可得，地球的质量M＝ eq \f(4π2r,GT) ，D正确．]
14．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m.
(1)求第一种形式下星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析 (1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有
F1＝，F2＝
F1＋F2＝
解得运动星体的线速度v＝ ①
设周期为T，则有T＝ ②
联立①②式解得T＝4π ③
甲 乙
(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为
R′＝＝r ④
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有
F合＝2cos 30°＝ ⑤
F合＝mR′ ⑥
由③④⑤⑥式解得r＝()R.
答案 (1) 4π (2)()R第3节 预言未知星体 计算天体质量
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道海王星的发现过程，了解哈雷彗星的“按时回归”．2．学会应用万有引力定律“称量”地球质量，计算太阳质量，估算天体密度等． 1．物理观念：哈雷彗星回归、海王星．2．科学思维：“称量”地球的质量、计算天体的质量．3．科学态度与责任：发现未知天体，预言哈雷彗星回归．
1．英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算彗星的轨道，成功预言了彗星的回归．
2．未知天体的发现
根据已发现的天体的运行轨道，结合万有引力定律推算出未知天体的轨道，如海王星就是这样发现的．
如图，地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的轨道是一个非常扁的椭圆，哈雷彗星的周期约为76年，估算一下哈雷彗星轨道的半长轴约是地球公转半径的多少倍．(用立方根表示)
得＝ eq \r(3,\f(T2,T)) ＝.
1．“称量”地球的质量
(1)若不考虑地球自转影响，地面上的物体所受的重力等于地球对物体的引力．
(2)根据mg＝G可以解出m地＝.
2．计算天体的质量
m太＝．
如图是木星和它周围运行的卫星，测出一颗卫星的轨道半径和周期，怎样计算出木星的质量？
探究点一 天体质量和密度的计算
如图所示，图甲中质量为m的物体放置在地面上，图乙中质量为m的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，探究如下问题：
甲 乙
(1)怎样用图甲来计算地球的质量和平均密度？(已知地球半径为R，引力常量为G，物体在地面上的重力加速度为g)
(2)怎样用图乙来计算地球的质量和密度？(已知人造卫星的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G)
(3)在图乙中，若卫星做近地的圆周运动，则地球的平均密度是多少？
情境及求解思路 结果
天体质量的计算 已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则G＝mg M＝
质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝m()2r ①M＝②M＝③M＝
天体密度的计算 ρ＝＝ ①ρ＝(gR2＝GM)②ρ＝③ρ＝r＝R时：ρ＝④ρ＝r＝R时：ρ＝
宇航员站在某一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点间的距离变为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和平均密度ρ.
(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表记下了一昼夜的时间T，然后用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%.试写出星球平均密度的估算表达式．
探究点二 天体运动的分析探究
如图所示，太阳系中的行星绕太阳在不同轨道上运动，探究以下问题：
(1)将行星的运动近似看作匀速圆周运动，轨道半径最小的是哪颗行星？(2)在地球、金星和火星的周期中，哪个最大？(3)金星和木星的角速度哪个较大？
(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
(1)天体运动参量的对比都是根据万有引力提供向心力列出方程，进行判断．
(2)天体做圆周运动的主要参量由轨道半径决定．
(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A. B.
C. D.
北京时间2019年4月10日21时，在全球七大城市同时发布由“事件视界望远镜”观测到位于室女A星系(M87)中央的超大质量黑洞的照片，如图所示．若某黑洞半径R约为45 km，质量M和半径R满足的关系为＝(其中c为光速，c＝3.0×108 m/s，G为引力常量)，则估算该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A．1010 m/s2 B．1012 m/s2
C．1014 m/s2 D．1016 m/s2
1．(应用万有引力定律求解星球质量)人造卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为v，轨道半径为r，已知引力常量为G，根据万有引力定律，可算出地球的质量为( )
A． B． C． D．
2．(应用卫星估算行星质量)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图所示)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
3．(天体密度的估算)美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
4．(双星问题)天文学家如果观察到一颗星球独自做圆周运动，那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的黑洞．星球与黑洞由万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么( )
A．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比
B．它们做圆周运动的周期与其质量成反比
C．它们做圆周运动的半径与其质量成反比
D．它们所受的向心力与其质量成反比
课时作业(9) 预言未知天体 计算天体质量
1．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足的关系式为( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
2．若测得“嫦娥五号”探测器在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近沿圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
3．一个物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A． B．
C． D．
4．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A． B．
C． D．
5．(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞的质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
6．如图所示，“嫦娥五号”探测器的环月轨道可近似看作圆轨道，观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(单位为rad)，已知引力常量为G，则月球的质量是( )
A． B．
C． D．
7．(多选)最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某恒星系有一个行星，并测得它围绕恒星运动一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球与太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆形，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
8．(多选)如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道).若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看作球体).地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出( )
A．卫星运行的周期
B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量
D．地球的质量
9．假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T.当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，不考虑行星的自转，试根据以上数据求该行星的质量．
10．“探路者号”宇宙飞船在宇宙深处飞行的过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等．以下判断正确的是( )
A．两颗卫星的线速度一定相等
B．天体A、B的质量一定不相等
C．天体A、B表面的重力加速度一定不相等
D．天体A、B的密度一定相等
11．(多选)一些星球由于某种原因而发生收缩，假设某星球的直径缩小到原来的四分之一．若收缩时质量不变，不考虑星球自转的影响，则与收缩前相比( )
A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍
C．该星球的平均密度增大到原来的16倍
D．该星球的平均密度增大到原来的64倍
12．现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变量Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略).飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动．已知星球的半径为R，引力常量用G表示，则宇宙飞船和星球的质量分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
13．(多选)如图所示，甲是地球赤道上的一个物体，乙是宇宙飞船(周期约为90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙
D．已知乙运动的周期T乙与轨道半径r乙，可计算出地球的质量M＝ eq \f(4π2r,GT)
14．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m.
(1)求第一种形式下星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？课时作业(9) 预言未知天体 计算天体质量
[对应学生用书P123]
1．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足的关系式为( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
A [本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．对行星有：＝mr，故GM＝，A正确．]
2．若测得“嫦娥五号”探测器在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近沿圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
A [“嫦娥五号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近沿圆形轨道运行，其轨道半径可视为等于月球半径，由G＝m()2R得月球质量M＝4.由于月球半径R未知，不能估算月球质量，也不能由题中信息得到月球半径和自转周期，故B、C、D错误．由密度公式ρ＝得月球密度ρ＝，故A正确．]
3．一个物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A． B．
C． D．
C [赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有＝m()2R，化简得T＝()，故C正确．]
4．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A． B．
C． D．
A [无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为＝mr，即M∝，所以＝，A正确．]
5．(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞的质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
B [由图可知，S2绕黑洞运动的周期T＝2×(2002－1994)年＝16 年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞运动的半长轴r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是
r＝1 000R
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由万有引力公式可得
G＝mR()2
解得太阳的质量为
M＝ eq \f(4π2R3,GT)
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由开普勒第三定律及万有引力公式可知
G＝m′r()2
解得黑洞的质量为
M黑＝
综上可得
M黑＝ eq \f(r3T,R3T2) M≈M≈4×106M
故选B.]
6．如图所示，“嫦娥五号”探测器的环月轨道可近似看作圆轨道，观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(单位为rad)，已知引力常量为G，则月球的质量是( )
A． B．
C． D．
C [因为每经过时间t通过的弧长l，故“嫦娥五号”的线速度为v＝，角速度为ω＝，“嫦娥五号”的运行半径为R＝＝，则根据万有引力定律及牛顿第二定律得G＝，则月球的质量M＝＝，故C正确．]
7．(多选)最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某恒星系有一个行星，并测得它围绕恒星运动一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球与太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆形，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
AD [由公式M＝可知，恒星质量与太阳质量之比M星∶M日＝∶＝，故A正确；由于不知道太阳和恒星的体积，无法求出恒星密度与太阳密度之比，故B错误；仅由万有引力公式＝m＝mr·无法求出行星质量与地球质量之比，故C错误；由v＝可知行星运行速度与地球公转速度之比v星∶v地＝∶＝，故D正确．]
8．(多选)如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道).若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看作球体).地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出( )
A．卫星运行的周期
B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量
D．地球的质量
ABD [卫星从北纬30°的正上方，第一次运行至南纬60°正上方时，刚好为运动周期的，所以卫星运行的周期为4t，故A正确；知道卫星运行周期、地球半径，由＝m()2(R＋h)及GM＝R2g，可以算出卫星距地面的高度，故B正确；通过上面的公式可以看出，能算出中心天体的质量，不能算出卫星的质量，故C错误，D正确．]
9．假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T.当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，不考虑行星的自转，试根据以上数据求该行星的质量．
解析 设行星、飞船的质量分别为M和m1，行星半径为R，则有G＝m1R①
当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，则可得
F＝mg′②
砝码的重力等于万有引力G＝mg′③
联立①②③式即可得行星质量为
M＝.
答案
10．“探路者号”宇宙飞船在宇宙深处飞行的过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等．以下判断正确的是( )
A．两颗卫星的线速度一定相等
B．天体A、B的质量一定不相等
C．天体A、B表面的重力加速度一定不相等
D．天体A、B的密度一定相等
D [根据题意，已知两卫星运行周期相等，由G＝mR和M＝ρV＝ρπR3，即ρ＝，即两天体的密度相等，故D正确；卫星环绕速度v＝，由于两天体半径关系不知道，则线速度大小关系无法确定，故A错误；天体质量M＝，可知两天体质量大小关系也无法确定，故B错误；由g＝R可知，两天体表面重力加速度大小关系无法确定，故C错误．]
11．(多选)一些星球由于某种原因而发生收缩，假设某星球的直径缩小到原来的四分之一．若收缩时质量不变，不考虑星球自转的影响，则与收缩前相比( )
A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍
C．该星球的平均密度增大到原来的16倍
D．该星球的平均密度增大到原来的64倍
BD [根据万有引力公式F＝G可知，当星球的直径缩到原来的四分之一时，在星球表面的物体受到的重力F′＝＝16＝16F，故A错误，B正确；星球的平均密度ρ＝＝，星球收缩后ρ′＝＝64ρ，故C错误，D正确．]
12．现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变量Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略).飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动．已知星球的半径为R，引力常量用G表示，则宇宙飞船和星球的质量分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
D [根据牛顿第二定律可知F＝ma＝m，所以m＝.飞船做匀速圆周运动的周期T＝，故轨道半径为r＝，根据万有引力提供向心力可得G＝m，得M＝＝，故D正确．]
13．(多选)如图所示，甲是地球赤道上的一个物体，乙是宇宙飞船(周期约为90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙
D．已知乙运动的周期T乙与轨道半径r乙，可计算出地球的质量M＝ eq \f(4π2r,GT)
AD [乙和丙都是人造卫星，由G＝man＝m可得an＝G，v＝ ，所以a乙>a丙，v乙>v丙，B错误；又因为甲和丙的角速度相同，由an＝ω2r可得，a丙>a甲，故a乙>a丙>a甲，A正确；甲是赤道上的一个物体，不是近地卫星，故不能由ρ＝ eq \f(3π,GT) 计算地球的密度，C错误；由G eq \f(Mm,r) ＝mr乙 eq \f(4π2,T) 可得，地球的质量M＝ eq \f(4π2r,GT) ，D正确．]
14．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m.
(1)求第一种形式下星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析 (1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有
F1＝，F2＝
F1＋F2＝
解得运动星体的线速度v＝ ①
设周期为T，则有T＝ ②
联立①②式解得T＝4π ③
甲 乙
(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为
R′＝＝r ④
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有
F合＝2cos 30°＝ ⑤
F合＝mR′ ⑥
由③④⑤⑥式解得r＝()R.
答案 (1) 4π (2)()R课时作业(9) 预言未知天体 计算天体质量
1．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足的关系式为( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
2．若测得“嫦娥五号”探测器在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近沿圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
3．一个物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A． B．
C． D．
4．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A． B．
C． D．
5．(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞的质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
6．如图所示，“嫦娥五号”探测器的环月轨道可近似看作圆轨道，观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(单位为rad)，已知引力常量为G，则月球的质量是( )
A． B．
C． D．
7．(多选)最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某恒星系有一个行星，并测得它围绕恒星运动一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球与太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆形，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
8．(多选)如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道).若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看作球体).地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出( )
A．卫星运行的周期
B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量
D．地球的质量
9．假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T.当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，不考虑行星的自转，试根据以上数据求该行星的质量．
10．“探路者号”宇宙飞船在宇宙深处飞行的过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等．以下判断正确的是( )
A．两颗卫星的线速度一定相等
B．天体A、B的质量一定不相等
C．天体A、B表面的重力加速度一定不相等
D．天体A、B的密度一定相等
11．(多选)一些星球由于某种原因而发生收缩，假设某星球的直径缩小到原来的四分之一．若收缩时质量不变，不考虑星球自转的影响，则与收缩前相比( )
A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍
C．该星球的平均密度增大到原来的16倍
D．该星球的平均密度增大到原来的64倍
12．现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变量Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略).飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动．已知星球的半径为R，引力常量用G表示，则宇宙飞船和星球的质量分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
13．(多选)如图所示，甲是地球赤道上的一个物体，乙是宇宙飞船(周期约为90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙
D．已知乙运动的周期T乙与轨道半径r乙，可计算出地球的质量M＝ eq \f(4π2r,GT)
14．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m.
(1)求第一种形式下星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？
