第12章 整式的乘除
12.3 乘法公式
基础过关全练
知识点1 两数和乘这两数的差(平方差公式)
1. (2023吉林长春汽开区实验学校月考)(5a2+4b2)( )=25a4-16b4,括号内应填 ( )
A.5a2+4b2 B.5a2-4b2
C.-5a2-4b2 D.-5a2+4b2
2.(2023湖南衡阳衡南期中)下列能使用平方差公式的是 ( )
A.(x+3)(3+x)
B.(-x+y)(x-y)
C.
D.(3m+n)(3m-n)
3.下列各式计算结果为16y2-x2的是 ( )
A.(4y-x)(-4y-x)
B.(-4y-x)(-4y+x)
C.(4y+x)(-4y+x)
D.(x+4y)(-x-4y)
4.【整体代入法】若a2-2a-1=0,则代数式(a+2)·(a-2)-2a的值为( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
5.用简便方法计算107×93时,变形正确的是 ( )
A.1002-7
B.1002-72
C.1002+2×100×7+72
D.1002-2×100×7+72
6.计算:= .
7.(2023吉林长春南关期中)如果(x+y+1)(x+y-1)=8,那么x+y的值为 .
8.【新独家原创】已知a2-b2=-2,则代数式(a+b)4·(a-b)4的值为 .
9.计算:
(1)(3x+2)(3x-2)+x(x-2);
(2)(2x-y)(y+2x)-y(x-y)-(2x)2.
10.(2022福建福州十九中期中)先化简,再求值:(x-3)(3+x)-6(x2-x-1),其中x=.
知识点2 两数和(差)的平方(完全平方公式)
11.(2023广东广州越秀育才实验学校期末)计算(3x-1)2的结果是 ( )
A.6x2-6x+1 B.9x2-6x+1
C.9x2-6x-1 D.9x2+6x-1
12.(2023山东泰安肥城期中)下列各式正确的是 ( )
A.(2a-1)2=4a2-1
B.=x2+x+
C.(3m+n)2=9m2+n2
D.(-x-1)2=x2-2x+1
13.(2023湖南长沙岳麓麓山国际实验学校期末)若(a+b)2-(a-b)2=4,则下列一定成立的是 ( )
A.a是b的相反数
B.a是b的倒数
C.a是-b的相反数
D.a是-b的倒数
14.【类比思想】若(x-4)2=x2+kx+16,则k的值是 ( )
A.8 B.4 C.-4 D.-8
15.(2023江苏泰兴期末)已知(a+b)2=28,(a-b)2=12,则a2+b2的值为( )
A.8 B.16 C.20 D.40
16.(2023上海闵行期中)已知x+y=6,xy=7,那么(3x+y)2+(x+3y)2的值为 .
17.计算:
(1)(2x-5)2-(2x+3)(3x-2);
(2)(2a+b)(a-2b)-(2a-b)2.
18.【新独家原创】已知W=(x+3y)2+(2x+3y)(2x-3y)-x2.
(1)化简W;
(2)若-1是x的平方根,y的相反数是-2,求W的值.
能力提升全练
19.【新考法】(2022广西百色中考,11,★☆☆)如图所示的是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是 ( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.(ab)2=a2b2
20.【特殊值法】(2022贵州六盘水中考,12,★★☆)已知(x+y)4=a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4,则a1+a2+a3+a4+a5的值是 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
21. (2023河南淅川期中,8,★★☆)已知a+b=2,ab=-3,则a2-ab+b2的值是 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
22.(2023上海静安教育学院附属学校期中,12,★★☆)计算:(a-2b-3c)2= .
23. (2023河南南阳十三中月考,14,★★☆)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为 .
24.先化简,再求值.
(1)(2022湖南衡阳中考,19,★☆☆)(a+b)(a-b)+b(2a+b),其中a=1,b=-2;
(2)(2022吉林长春中考,15,★☆☆)(2+a)(2-a)+a(a+1),其中a=-4.
25.(2023河南南阳南召期中,21,★★☆)阅读理解:
已知a+b=4,ab=3,求a2+b2的值.
解:∵a+b=4,∴(a+b)2=42,即a2+2ab+b2=16.
∵ab=3,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=10.
参考上述过程解答:
(1)若x-y=-3,xy=-2,则x2+y2= ,(x+y)2= ;
(2)若m+n-p=-10,(m-p)n=-12,求(m-p)2+n2的值;
(3)若a2+ab+b2=10,a2-ab+b2=4,则a-b= .
素养探究全练
26.【推理能力】(2022安徽中考)观察以下等式:
第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2,
第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2,
第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,
第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
27.【推理能力】(2023吉林长春六十八中期中)阅读下面问题:
你能化简(a-1)(a99+a98+…+a+1)吗 我们不妨先从简单情况入手,发现规律,归纳结论.
(1)先填空:(a-1)(a+1)= ;
(a-1)(a2+a+1)= ;
(a-1)(a3+a2+a+1)= ;
……
由此猜想:(a-1)(a99+a98+…+a+1)=
;
(2)利用得出的结论计算:2199+2198+2197+…+22+2+1.
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵(5a2+4b2)(5a2-4b2)=25a4-16b4,∴括号内应填5a2-4b2,故选B.
2.D 根据平方差公式的结构特征:两个二项式必须有一项完全相同,另一项互为相反数,知满足这一特征的只有D选项,故选D.
3.B (-4y-x)(-4y+x)=(-4y)2-x2=16y2-x2.故选B.
4.B (a+2)(a-2)-2a=a2-4-2a=a2-2a-4,
∵a2-2a-1=0,∴a2-2a=1,∴原式=1-4=-3.故选B.
5.B 107×93=(100+7)×(100-7)=1002-72,故选B.
6.答案 q2
解析 原式=q2.
7.答案 ±3
解析 设x+y=m,则原方程变形为(m+1)(m-1)=8,
∴m2-1=8,
∴m2=9,
∴m=±3,
∴x+y=±3.
8.答案 16
解析 ∵a2-b2=-2,
∴(a+b)4(a-b)4
=[(a+b)(a-b)]4
=(a2-b2)4
=(-2)4
=16.
9.解析 (1)(3x+2)(3x-2)+x(x-2)
=9x2-4+x2-2x
=10x2-2x-4.
(2)(2x-y)(y+2x)-y(x-y)-(2x)2
=(2x-y)(2x+y)-(xy-y2)-4x2
=4x2-y2-xy+y2-4x2
=-xy.
10.解析 (x-3)(3+x)-6(x2-x-1)
=x2-9-6x2+6x+6
=-5x2+6x-3.
当x=时,原式=-5×+6×-3
=-+3-3
=-.
11.B (3x-1)2=(3x)2-2×3x×1+12=9x2-6x+1.故选B.
12.B (2a-1)2=4a2-4a+1,选项A错误;,选项B正确;(3m+n)2=9m2+6mn+n2,选项C错误;(-x-1)2=x2+2x+1,选项D错误.故选B.
13.B ∵(a+b)2-(a-b)2=4,(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-
(a2-2ab+b2)=4ab,∴4ab=4,∴ab=1,故a与b互为倒数,
即a是b的倒数.故选B.
14.D ∵(x-4)2=x2-8x+16=x2+kx+16,∴-8x=kx,∴k=-8,故选D.
15.C ∵(a+b)2=28,(a-b)2=12,∴a2+b2+2ab=28①,
a2+b2-2ab=12②,①+②得2(a2+b2)=40,∴a2+b2=20,故选C.
16.答案 304
解析 原式=9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2
=10x2+12xy+10y2
=10(x2+y2)+12xy
=10(x+y)2-8xy,
当x+y=6,xy=7时,原式=10×62-8×7=304.
17.解析 (1)(2x-5)2-(2x+3)(3x-2)
=4x2-20x+25-(6x2-4x+9x-6)
=4x2-20x+25-6x2-5x+6
=-2x2-25x+31.
(2)原式=2a2-3ab-2b2-(4a2-4ab+b2)
=2a2-3ab-2b2-4a2+4ab-b2
=-2a2+ab-3b2.
18.解析 (1)W=(x+3y)2+(2x+3y)(2x-3y)-x2
=x2+6xy+9y2+4x2-9y2-x2
=4x2+6xy.
(2)∵-1是x的平方根,∴x=(-1)2=1.
∵y的相反数是-2,∴y=2.
当x=1,y=2时,W=4x2+6xy=4×12+6×1×2=4+12=16.
能力提升全练
19.A 观察图形,最大正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2,由1个边长为a的正方形,2个长为a,宽为b的长方形,1个边长为b的正方形组成,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.故选A.
20.C ∵(x+y)4=a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4,∴令x=1,y=1,则a1+a2+a3+a4+a5=(1+1)4=24=16.
21.C ∵a+b=2,ab=-3,
∴a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=4-(-9)=13,故选C.
22.答案 a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2
解析 (a-2b-3c)2=[(a-2b)-3c]2
=(a-2b)2-6c(a-2b)+9c2
=a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2.
23.答案 ±4
解析 ∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,
∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,
∴2a+2b=±8,∴a+b=±4.
24.解析 (1)(a+b)(a-b)+b(2a+b)
=a2-b2+2ab+b2
=a2+2ab.
当a=1,b=-2时,原式=12+2×1×(-2)=1-4=-3.
(2)(2+a)(2-a)+a(a+1)
=4-a2+a2+a
=4+a.
当a=-4时,原式=4+.
25.解析 (1)5;1.
(2)m+n-p=-10,即(m-p)+n=-10,
∵(m-p)n=-12,
∴(m-p)2+n2=[(m-p)+n]2-2(m-p)n=(-10)2-2×(-12)=124.
(3)∵a2+ab+b2=10,a2-ab+b2=4,
∴2a2+2b2=14,2ab=6,
∴a2+b2=7,
∴a2+b2-2ab=1,
即(a-b)2=1,∴a-b=±1.
故答案为±1.
素养探究全练
26.解析 (1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2.
(2)第n个等式:(2n+1)2=[(n+1)×2n+1]2-[(n+1)×2n]2.
证明:左边=4n2+4n+1,
右边=[(n+1)×2n]2+2×(n+1)×2n+12-[(n+1)×2n]2=4n2+4n+1,
∴左边=右边,∴等式成立.
27.解析 (1)a2-1;a3-1;a4-1;a100-1.
(2)原式=(2-1)×(2199+2198+2197+…+22+2+1)=2200-1.
