2 用配方法求解一元二次方程
第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2023北京朝阳期中)用配方法解方程3x2-6x+2=0,将方程变为(x-m)2=的形式,则m的值为 ( )
A.9 B.-9 C.1 D.-1
2.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,文本框①中是嘉嘉做的,文本框②中是琪琪做的,对于两人的做法,说法正确的是 ( )
(
2
x
2
+4
x
=-1
,
x
2
+2
x
=-
,
x
2
+2
x
+1=-
+1
,
(
x
+1
)
2
=
.
) (
2
x
2
+4
x
=-1
,
4
x
2
+8
x
=-2
,
4
x
2
+8
x
+4=2
,
(
2
x
+2
)
2
=2
.
)
① ②
A.两人都正确 B.嘉嘉正确,琪琪不正确
C.嘉嘉不正确,琪琪正确 D.两人都不正确
二、填空题
3.若将方程2x2+6x-1=0化成2(x+m)2+n=1,则m= ,n= .
4.(2021湖北恩施州期中)当x= 时,代数式3x2-6x的值等于12.
三、解答题
5.用配方法解下列方程:
(1)(2023陕西宝鸡凤翔期中)3x2=5x+2;
(2)2x2-5x+1=0;
(3)x2-6x-7=0.
6.(2023河南许昌二中期末)阅读材料,并回答问题:
小明在学习一元二次方程时,解方程2x2-8x+3=0的过程如下:
解:∵2x2-8x+3=0,
∴2x2-8x=-3,①
∴x2-4x=-,②
∴x2-4x+4=-+4,③
∴(x-2)2=,④
∴x-2=,⑤
∴x=2+.⑥
问题:(1)上述过程中,从第 步开始出现了错误(填序号);
(2)发生错误的原因是 ;
(3)写出正确的解答过程.
7.如图,已知矩形ABCD的周长为16,四个正方形的面积和为68,求矩形ABCD的面积.
8.【教材变式·P39读一读】(2023广东深圳南山期末)[综合与实践]
阅读材料,并解决以下问题.
[学习研究]
北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法:以x2+2x-35=0为例,构造方法如下:首先将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为x+2,宽为x的矩形,按如图(1)所示的方式拼成一个“空心”大正方形,则图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和,即4x(x+2)+22=4×35+4,因此,可得新方程(x+x+2)2=144,∵x表示边长,∴2x+2=12,即x=5,遗憾的是,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
[类比迁移]
小明根据赵爽的办法解方程x2+3x-4=0,请你帮忙画出相应的图形,并将其解答过程补充完整:
第一步:将原方程变形为x( )=4.
第二步:利用四个面积可用x表示为 的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图,标明各边长),并写出完整的解答过程.
第三步: .
[拓展应用]
一般地,对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造如图(2)所示的形状图来解,已知图(2)是由4个面积为3的相同矩形构成的,中间围成的正方形面积为4,求a,b及方程的一个正根.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 C 方程3x2-6x+2=0变形得x2-2x=-,配方得x2-2x+1=,即(x-1)2=,则m=1.故选C.
2.答案 A ①移项,得2x2+4x=-1,
方程两边同时乘2,得4x2+8x=-2,
方程两边同时加4,得4x2+8x+4=2,
依据完全平方公式,得(2x+2)2=2,
所以嘉嘉的解法正确.
②移项,得2x2+4x=-1,
方程两边同时除以2,得x2+2x=-,
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得x2+2x+1=-+1,
依据完全平方公式,得(x+1)2=,所以琪琪的解法正确.
故两人的解法都正确,故选A.
二、填空题
3.答案 ;-
解析 ∵2x2+6x-1=0,∴2x2+6x=1,∴2=1,
∴2=1,∴m=,n=-.
4.答案 1±
解析 根据题意得3x2-6x=12,即x2-2x=4,配方得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,
开方得x-1=±,解得x=1±.
三、解答题
5.解析 (1)3x2=5x+2,移项得3x2-5x=2,二次项系数化为1得x2-,
配方得x2-,即,
则x-,∴x1=2,x2=-.
(2)2x2-5x+1=0,移项得2x2-5x=-1,二次项系数化为1得x2-,
配方得x2-,即,则x-,
∴x1=,x2=.
(3)∵x2-6x-7=0,∴(x2-12x)-7=0,∴(x-6)2-25=0,
∴(x-6)2=50,∴x-6=±5,∴x1=6+5,x2=6-5.
6.解析 (1)⑤.
(2)开方有两个答案,却只写了一个.
(3)移项,得2x2-8x=-3,
二次项系数化为1,得x2-4x=-,
配方,得x2-4x+4=-+4,
即(x-2)2=,
开方,得x-2=±,
解得x1=2+,x2=2-.
7.解析 设矩形的长AB为x,则宽AD为8-x,
由题意得2x2+2(8-x)2=68,
∴2x2+2(64-16x+x2)=68,
∴2x2+128-32x+2x2=68,
∴4x2-32x=-60,∴x2-8x=-15,
∴x2-8x+16=-15+16,即(x-4)2=1,
∴x-4=±1,∴x1=5,x2=3(舍),∴8-x=3,
∴矩形ABCD的长和宽分别为5和3,
∴矩形ABCD的面积是5×3=15.
8.解析 [类比迁移]
第一步:将原方程变形为x(x+3)=4.
第二步:利用四个面积可用x表示为长为x+3,宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形,如图所示:
则图中大正方形的面积可表示为(x+x+3)2,还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和,即4x(x+3)+32=4×4+9,因此,可得新方程(x+x+3)2=25,
∵x表示边长,∴2x+3=5,即x=1.
第三步:方程的一个正根为x=1.
[拓展应用]
∵x2+ax=b,
∴x(x+a)=b,
大正方形的面积是(x+x+a)2,它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×b+a2,
∵题图(2)是由4个面积为3的相同矩形构成的,中间围成的正方形面积为4,
∴b=3,a2=4,解得a=±2,
当a=2时,(x+x+2)2=4×3+4,∴2x+2=4,∴x=1,即方程的一个正根为1;
当a=-2时,(x+x-2)2=4×3+4,∴2x-2=4,∴x=3,即方程的一个正根为3.2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 直接开平方法及用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2023贵州黔南州期末)方程x2=8的解是 ( )
A.x=4 B.x=
2.(2023辽宁省实验中学期中)用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是 ( )
A.(x-1)2=3 B.(x-1)2=1 C.(x+1)2=3 D.(x+1)2=6
3.对于任意的实数x,y,若(x2+y2-3)2=16,则x2+y2的值为 ( )
A.7 B.7或-1 C.-1 D.19
4.一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为 ( )
A.(x-4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x+4)2=17 D.(x-4)2=17或(x+4)2=17
二、填空题
5.(2022浙江杭州模拟)方程(x-5)2=9的解为 .
6.方程(x-1)2=2 0202的根是 .
7.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+1)*3=0的解为 .
8.(2023陕西宁强期末)如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,那么(n-m)2 020
= .
三、解答题
9.解下列方程:
(1)4(x+3)2=25;(2)(2x+1)2=64;(3)(6x-1)2-25=0;(4)4(x-1)2-9=0.
10.用配方法解方程:
(1)x(x+8)=16;(2)x2-2x-5=0;(3)(2023广东阳山期中)x2+4x-3=0.
11.(2023河南沈丘期末)阅读材料:在求多项式x2+4x+8的最小值时,小明的解法如下:
x2+4x+8=x2+4x+4+4=(x+2)2+4,
因为(x+2)2≥0,所以(x+2)2+4≥4,
即x2+4x+8的最小值为4.
请仿照以上解法,解决以下问题:
(1)求多项式x2+8x+10的最小值;
(2)猜想多项式-x2+12x-25有最大值还是最小值,并求出这个最值.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D ∵x2=8,∴x=±2,故选D.
2.答案 A ∵x2-2x=2,∴x2-2x+1=2+1,即(x-1)2=3.故选A.
3.答案 A ∵(x2+y2-3)2=16,∴x2+y2-3=±4,∴x2+y2=7或x2+y2=-1,
∵无论x,y为何实数,x2+y2的值都不等于-1,∴x2+y2=7,故选A.
4.答案 D ∵方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,(x-q)2=15整理得x2-2qx+q2-15=0,
∴-p=-2q,q2-15=1,解得q=4,p=8或q=-4,p=-8.
当p=8时,方程x2-px-1=0为x2-8x-1=0,配方后为(x-4)2=17;
当p=-8时,方程x2-px-1=0为x2+8x-1=0,配方后为(x+4)2=17.故选D.
二、填空题
5.答案 x1=8,x2=2
解析 ∵(x-5)2=9,∴x-5=±3,∴x1=8,x2=2.
6.答案 x1=2 021,x2=-2 019
解析 ∵(x-1)2=2 0202,∴x-1=2 020或x-1=-2 020,解得x1=2 021,x2=-2 019.
故答案为x1=2 021,x2=-2 019.
7.答案 x1=2,x2=-4
解析 ∵(x+1)*3=0,∴(x+1)2-32=0,∴(x+1)2=32,∴x+1=±3,
∴x1=2,x2=-4.故答案为x1=2,x2=-4.
8.答案 1
解析 ∵x2+4x+n=0,∴x2+4x=-n,∴x2+4x+4=4-n,即(x+2)2=4-n,又x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,∴m=2,n=1,则(n-m)2 020=(1-2)2 020=1,故答案为1.
三、解答题
9.解析 (1)方程整理,得(x+3)2=,直接开平方,得x+3=±,解得x1=-,x2=-.
(2)∵(2x+1)2=64,∴2x+1=±8,解得x1=3.5,x2=-4.5.
(3)移项,得(6x-1)2=25,直接开平方,得6x-1=±5,∴x1=1,x2=-.
(4)由原方程得(x-1)2=,直接开平方,得x-1=±,解得x1=,x2=-.
10.解析 (1)去括号,得x2+8x=16,
配方,得x2+8x+42=16+42,即(x+4)2=32.
∴x+4=±4,∴x1=4-4,x2=-4-4.
(2)∵x2-2x-5=0,∴x2-2x=5,
配方,得x2-2x+1=5+1,即(x-1)2=6,
开方,得x-1=±,解得x1=1+,x2=1-.
(3)∵x2+4x-3=0,∴x2+4x=3,
配方得x2+4x+4=4+3,即(x+2)2=7,
开方,得x+2=±,∴x=-2±,
∴x1=-2+,x2=-2-.
11.解析 (1)x2+8x+10=x2+8x+16-6=(x+4)2-6,
因为(x+4)2≥0,所以(x+4)2-6≥-6,
所以多项式x2+8x+10的最小值是-6.
(2)-x2+12x-25=-(x2-12x+36)+11=-(x-6)2+11,
因为-(x-6)2≤0,
所以-(x-6)2+11≤11,
所以多项式-x2+12x-25有最大值,最大值为11.
