第6章 图形的相似
6.4 探索三角形相似的条件
基础过关全练
知识点1 平行线分线段成比例定理
1.(2022山东临沂中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,,若AC=6,则EC=( )
A.
C.
2.【新情境·直尺】(2022河北石家庄一模)如图所示的是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法,若图中的虚线相互平行,则点P表示的数是( )
A.1 B. D.5
知识点2 平行线分线段成比例定理的推论
3.(2020江苏盐城中考)如图,BC∥DE,且BC
知识点3 三角形相似的条件
5.【新考法】(2022江苏扬州高邮期末)如图,在下列四个条件:①∠B=∠C,②∠ADB=∠AEC,③AD∶AC=AE∶AB,④PE∶PD=PB∶PC中,随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是( )
A.0.25 B.0.5
C.0.75 D.1
6.(2022湖南邵阳中考)如图,在△ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上,请添加一个条件: ,使△ADE∽△ABC.
7.【新独家原创】小明和弟弟在玩耍时,发现爸爸的汽车里面有一个三角形警示标志,他们想做一个形状相同的三角形警示标志,但是他们手中只有一把10 cm长的直尺,小明的弟弟说做不出来,小明说可以做出来,你认为谁说的对呢 说明理由.
知识点4 三角形的重心
8.如图,点G为△ABC的重心,GE∥AC,若DE=2,则DC= .
9.(2022上海黄浦期末)如图,在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,如果△AOE的面积是4,那么四边形OECD的面积是 .
能力提升全练
10.(2022四川巴中中考,6,★☆☆)如图,在平面直角坐标系中,C为△AOB的OA边上一点,AC∶OC=1∶2,过C作CD∥OB交AB于点D,C、D两点纵坐标分别为1、3,则B点的纵坐标为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
11.【一题多解】(2019四川凉山州中考,10,★★☆)如图,在△ABC中,D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则BE∶EC= ( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.2∶3
12.(2022安徽安庆怀宁模拟,8,★★☆)如图,AB与CD相交于点E,点F在线段BC上,且AC∥EF∥DB.若BE=5,BF=3,AE=BC,则的值为( )
A.
13.【易错题】(2022江苏徐州二模,8,★★☆)已知△ABC的一边BC=5,另两边长分别是3,4,若P是△ABC边BC上异于B,C的一点,过点P作直线截△ABC,截得的三角形与原△ABC相似,满足这样条件的直线有 条. ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
14.(2021江苏连云港中考,16,★★☆)如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则= .
15.(2023江苏无锡惠山期中,17,★★☆)如图,AB、DE是☉O的直径,点C在☉O上,∠ABC=20°,点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°(0<α<180),当α= 时,直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似.
16.(2020江苏苏州中考,17,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-4,0)、(0,4),点C(3,n)在第一象限内,连接AC、BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n= .
17.(2022湖北襄阳中考,16,★★☆)如图,在△ABC中,D是AC的中点,△ABC的角平分线AE交BD于点F,若BF∶FD=3∶1,AB+BE=3,则△ABC的周长为 .
18.(2021江苏宿迁中考,18,★★☆)如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D、E分别在BC、AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是 .
19.(2019江苏常州中考,18,★★★)如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=3,点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN= .
20.【教材变式·P67T14】(2022四川巴中中考,24,★★☆)四边形ABCD内接于☉O,直径AC与弦BD交于点E,直线PB与☉O相切于点B.
(1)如图1,若∠PBA=30°,且EO=EA,求证:BA平分∠PBD;
(2)如图2,连接OB,若∠DBA=2∠PBA,求证:△OAB∽△CDE.
图1 图2
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21.【推理能力】(2023江苏扬州邗江月考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,动点E在边BC上,连接DE,过点A作AH⊥DE,垂足为H,延长AH交CD于F.
(1)求证:△CDE∽△DAF;
(2)当FC=2时,求EC的长;
(3)若直线AF与线段BC的延长线交于点G,当△DEB∽△GFD时,求DF的长.
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵DE∥BC,∴,∴,∴,∴EC=.故选C.
2.D 如图,OB=1.5,OA=3,OC=10,
∵PB∥AC,∴,∴,
∴OP=5.∴点P表示的数是5.故选D.
3.答案 2
解析 ∵BC∥DE,∴△ADE∽△ABC,∴,即,∴AB·DE=16,又∵AB+DE=10,且易知AB
解析
如图,过B作BF∥AC,交DE于点F,∵BF∥AC,∴∠FBO=∠C,∠BFO=∠CEO.又O为BC的中点,∴BO=CO,在△OBF和△OCE中,∴△OBF≌△OCE(AAS),∴BF=CE,∵,∴,又∵BF∥AE,∴△BDF∽△ADE,∴,∴,∴.
5.C 由题意得∠DPC=∠EPB,①∠B=∠C,根据两角相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CPD,②∵∠ADB=∠AEC,∴∠PDC=∠PEB,根据两角相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CPD,③根据AD∶AC=AE∶AB,∠A=∠A,不能得到△ADB和△AEC相似,∴∠B≠∠C,故③不能使△BPE∽△CPD,④PE∶PD=PB∶PC,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CPD,∴随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是0.75,故选C.
6.答案 ∠ADE=∠B(答案不唯一)
解析 ∵∠A=∠A,∴当∠ADE=∠B时,△ADE∽△ABC,故答案可以为∠ADE=∠B.(答案不唯一)
7.解析 小明说的对.理由:用10 cm长的直尺量出三角形警示标志的各边长度,因为要求做出来的标志与原来的三角形标志形状相同,大小没有要求,可以缩小或放大相同倍数做出三根木条(或硬纸板条),然后把它们钉起来即可.
8.答案 6
解析 ∵点G为△ABC的重心,∴AG∶DG=2∶1,∵GE∥AC,∴=2,∴CE=2DE=2×2=4,∴CD=DE+CE=2+4=6.故答案为6.
9.答案 8
解析 ∵在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,∴点O是△ABC的重心,∴AO∶OD=2∶1,BO∶OE=2∶1,∵△AOE的面积是4,∴△AOB的面积=2×△AOE的面积=8,∴△BOD的面积=×△AOB的面积=4,∴△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12,∴△ADC的面积=△ABD的面积=12,∴四边形OECD的面积=△ADC的面积-△AOE的面积=12-4=8.
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10.C ∵CD∥OB,∴,∵AC∶OC=1∶2,∴,∵C、D两点纵坐标分别为1、3,∴CD=3-1=2,∴,解得OB=6,∴B点的纵坐标为6,故选C.
11.B 解法一:如图,过O作OG∥BC,交AC于G,
∵O是BD的中点,∴G是DC的中点.
又AD∶DC=1∶2,∴AD=DG=GC,
∴AG∶GC=2∶1,∴AO∶OE=2∶1,
∴S△AOB∶S△BOE=2∶1,设S△BOE=S,S△AOB=2S,
又BO=OD,∴S△AOD=2S,S△ABD=4S,
∵AD∶DC=1∶2,
∴S△BDC=2S△ABD=8S,∴S四边形CDOE=7S,
∴S△AEC=9S,∵S△ABE=3S,∴.
解法二:过点D作DF∥AE交BC于F.
∵O为BD中点,
∴OB=OD,∴BE=EF,
∵DF∥AE,
∴EF∶FC=AD∶DC=1∶2,
∴BE∶EC=1∶3.故选B.
12.A 设CF=x,∵EF∥AC,∴,∴,解得x=,∴CF=,∵EF∥DB,∴.故选A.
13.B ∵△ABC的一边BC=5,另两边长分别是3,4,32+42=52,∴∠BAC=90°,由于△ABC是直角三角形,过P点作直线截△ABC,则截得的三角形与△ABC有一公共角,所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似,过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线,共3条直线.故选B.
14.答案
解析 如图,过点E作EG∥DC交AD于G,
∴∠AGE=∠ADC,∠AEG=∠C,∴△AGE∽△ADC,
∴,∵BE是△ABC的中线,∴点E是AC的中点,∴,∴,∴DC=2GE,∵BF=3FE,∴,∵GE∥BD,∴∠GEF=∠FBD,∠EGF=∠BDF,
∴△GFE∽△DFB,∴,∴,
∴.
15.答案 50或70或160
解析 连接OC,当DE⊥AB时,直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似,如图,
∵∠ABC=20°,OB=OC,
∴∠OCB=∠ABC=20°,∴∠AOC=40°,
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-40°=50°,∴α=50;
当DE⊥BC时,直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似,如图,
∴∠COD=∠BOD=×(180°-40°)=70°,∴α=70;
当DE⊥AC时,直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似,如图,
∴∠COE=∠AOE=∠ABC=20°,
∴∠COD=180°-20°=160°,∴α=160.
故答案为50或70或160.
16.
解析 如图,设AC与y轴交于点E,过点C作CD⊥y轴于点D,则CD∥AO,
∴∠DCE=∠CAO,
∵∠BCA=2∠CAO,
∴∠BCA=2∠DCE,∴∠DCE=∠DCB,∵CD⊥y轴,∴∠CDE=∠CDB=90°,又∵CD=CD,∴△CDE≌△CDB(ASA),∴DE=DB,∵B(0,4),C(3,n),∴CD=3,OD=n,OB=4,∴DE=DB=OB-OD=4-n,∴OE=OD-DE=n-(4-n)=2n-4,∵A(-4,0),∴AO=4,∵CD∥AO,∴△AOE∽△CDE,∴,∴,∴n=.
17.答案 5
解析 如图,过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT∥AE交BC于点T.
∵AE平分∠BAC,FM⊥AB,FN⊥AC,∴FM=FN,
∴=3,
∴AB=3AD,
设AD=DC=a,则AB=3a,AC=2a,
∵AD=DC,DT∥AE,∴ET=CT,=3,
设ET=CT=b,则BE=3b,
∵AB+BE=3,∴3a+3b=3,∴a+b=,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=5,
故答案为5.
18.答案
解析 如图,连接DE.
∵CD=2BD,CE=2AE,∴,∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA,∴,∠CED=∠CAB,∴DE∥BA,∴△DEF∽△ABF,∴,∴S△AFE=S△ADE,∵CE=2AE,∴S△ADE=S△ADC,∴S△AFE=S△ADC,∵CD=2BD,∴S△ADC=S△ABC,∴S△AFE=S△ABC,∵△ABC中,AB=4,BC=5,∴当AB⊥BC时,△ABC的面积最大,为×4×5=10,此时△AEF面积的最大值为10×.
19.答案 6或
解析 如图所示,作PF⊥BD于F,①MN为等腰△PMN的底边,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,BC=AD=3AB=3,∴AB=CD=,∴BD==10,∵点P是AD的中点,∴PD=,∵∠PDF=∠BDA,∠PFD=∠A=90°,∴△PDF∽△BDA,∴,即,解得PF=,∵CE=2BE,∴BC=AD=3BE,∴BE=CD,∴CE=2CD,∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,PF⊥BD,∴MF=NF,∠PNF=∠DEC,∵∠PFN=∠C=90°,∴△PNF∽△DEC,∴=2,∴NF=2PF=3,∴MN=2NF=6.
②MN为等腰△PMN的腰,由①得PF=,M'F=3,设M'N'=PN'=x,则FN'=3-x,在Rt△PN'F中,+(3-x)2=x2,∴x=,故MN的长为6或.
20.证明 (1)连接OB,
∵直线PB与☉O相切于点B,
∴∠PBO=90°.
∴∠PBA+∠ABO=90°.
∵∠PBA=30°,∴∠ABO=60°.
又∵OA=OB,
∴△AOB为等边三角形.
又∵OE=AE,∴BE平分∠ABO.
∴∠ABE=∠ABO=30°=∠PBA,
∴BA平分∠PBD.
(2)∵直线PB与☉O相切于点B,
∴∠PBO=90°.∴∠PBA+∠ABO=90°.
∵AC为直径,∴∠ABC=90°.
∴∠OBC+∠ABO=90°.∴∠OBC=∠PBA.
∵OB=OC,∴∠PBA=∠OBC=∠OCB.
∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA.
∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA,∴∠AOB=∠ACD,
又∵∠BAO=∠BDC,∴△OAB∽△CDE.
素养探究全练
21.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠BCD=90°.∴∠DAF+∠AFD=90°,
又∵AF⊥DE,∴∠AFD+∠EDC=90°,
∴∠DAF=∠EDC,∴△CDE∽△DAF.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=3,
∵FC=2,∴DF=DC-FC=1,
∵△DAF∽△CDE,
∴,∴EC=.
(3)如图,连接BD,DG,
∵△DAF∽△CDE,∴,∴=2,
设EC=x,则DF=2x,∴DE=,
∵△DEB∽△GFD,
∴,∴FG=,
∵∠AFD=∠GFC,∠ADC=∠DCG=90°,
∴△ADF∽△GCF,
∴,∴FG=,
∴,
解得x=,∴DF=2x=.
