第二十二章 圆（下）
一、单选题
1．（2022秋·北京海淀·九年级校考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
2．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）如图，正方形的边长为4，分别以为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A．12 B． C． D．
4．（2022秋·北京大兴·九年级统考期末）如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（ ）
A． B．
C．3 D．
二、填空题
6．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，单位长1为半径的圆与直线相切于点M，直线与y轴交于点N，当取得最小值时，k的值为 ．
7．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如图，，分别与相切于A，B两点．若，，则的长为 ．
8．（2022秋·北京丰台·九年级统考期末）如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是 ．
9．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图，PA是⊙O的切线，A是切点．若∠APO=25°，则∠AOP= °．
10．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，
①该圆的半径为2； ②的长为；
③平分； ④连接，，则与的面积比为．
所有正确结论的序号是 ．
11．（2022秋·北京通州·九年级统考期末）如图，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于 ．
12．（2022秋·北京东城·九年级统考期末）斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
13．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 ．
三、解答题
14．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．
(1)如图1，图形W是矩形，其中点A的坐标为，点C的坐标为（4，3），则 ___．在点 ，，，中，矩形，的“关联点”是___；
(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
(3)已知点，．图形W是以为圆心，1为半径的 T，若线段MN上存在点P，使点P为 T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
15．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点M，平分与交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)连接交于点F，若，，求长．
16．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，在中，，，点是上一点，以为圆心，长为半径作圆，使与相切于点，与相交于点．过点作，交的延长线于点．
(1)若，求的半径；
(2)连接，求证：四边形是平行四边形．
17．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．已知点．
(1)在，，中，点M的等积点是 ；
(2)如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；
(3)已知点，，的半径为1，连接，点A在线段上．如果在上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．
18．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，图形M上存在一点P，将点P先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点Q，若点Q在图形N上，则称图形M与图形N成“斜关联”．
(1)已知点，，，．
①点A与B、C、D中的哪个点成“斜关联”？
②若线段与双曲线成“斜关联”，求k的取值范围；
(2)已知的半径为1，圆心T的坐标为，直线l的表达式为，若与直线l成“斜关联”，请直接写出t的取值范围．
19．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．
(1)已知，，
①在点，，中，线段的融合点是______；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
(2)已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
20．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图，是的直径，直线与相切于点．过点作于，线段与相交于点．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求BC的长．
21．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）如图，的半径与弦互相垂直，垂足为D，连接，．
(1)求证：；
(2)延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数及的长．
22．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）已知：对于平面直角坐标系中的点和，的半径为4，交轴于点A，，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中点，我们把这样的点叫做关于的“折弦点”．
(1)若
①点，，中是关于的“折弦点”的是______；
②若直线（）上只存在一个关于的“折弦点”，求的值；
(2)点在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出的取值范围．
23．（2022秋·北京大兴·九年级统考期末）如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为4，求的长．
24．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，DB．
(1)求证：∠ADC=∠ABD；
(2)连接DO，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点P．若AC=3，，求BC的长．
25．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
(1)求证：AM是⊙O的切线；
(2)连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC = 30°，求CD的长．
26．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作∠BCD＝∠A，CD与AB的延长线交于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CE＝2，DE＝4，求AC的长．
27．（2022秋·北京通州·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝ ，d(B，⊙O)＝ ．
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；
（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．
28．（2022秋·北京丰台·九年级统考期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点，，，．
(1)直线l经过点A，的半径为2，在点A，C，D中，直线l和的“关联点”是______；
(2)G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若和有“关联点”，求半径r的取值范围；
(3)的圆心为点，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若和直线m的“关联点”在直线上，请直接写出b的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5即可得到△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
2．A
【分析】根据题意可知阴影部分的面积为正方形的面积减去四个四分之一圆的面积求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为16，
又四个四分之一圆的面积等于一个半径为2的圆的面积为，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了圆的面积，正方形面积，解题关键是准确识图，构造等面积转化．
3．C
【分析】根据题意可得，则，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得，，再根据可得是等边三角形，则，最后结合三角函数即可求解．
【详解】解：连接，交于点M，连接，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，，
∴，
∵经过圆心O，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
4．D
【分析】根据正五边形的性质得出即可求解．
【详解】解：∵点为正五边形的中心，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查正多边形的中心和中心角的定义，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；熟练掌握定义是解题关键.
5．C
【分析】连接OA、OB，则为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为，进而通过勾股定理，可得半径为3．
【详解】解：如图，连接OA，OB，则OA=OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴，
∴，即：
∴
故选C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
6．或/或
【分析】根据题意先求得，即可求得，，设直线与x轴的交点为，然后利用，即可求得k的值
【详解】∵直线与y轴交于点N，
∴，且，
∴，
∵单位长1为半径的圆与直线相切于点M，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，
∴点，
设直线与x轴的交点为，
∴，，，，
∴，
∴，
解得：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理及分式方程，解决问题的关键是利用三角形的面积相等解分式方程
7．
【分析】连接，由切线长定理可得，从而可得出，最后由勾股定理得出．
【详解】解：连接，如图，
∵，分别与相切于A，B两点．且，
∴，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，直角三角形的性质等知识，熟练运用切线的性质是本题的关键．
8．70°/70度
【分析】连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵分别切于点A，B，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
9．65
【分析】根据切线的性质得到OA⊥AP，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【详解】解：∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴，
∵∠APO=25°，
∴，
故答案为：65．
【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．①③④
【分析】根据圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理逐一判断可选项即可．
【详解】解：根据题干补全图形，连接，
根据内接正六边形的性质可知：，
∴是等边三角形，
，圆的半径为2，所以①正确；
根据内接正方形的性质可知：，
的长为：，所以②错误；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分， 所以③正确；
过点A作交延长线于点H，交延长线于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
设交于点M，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，所以④正确；
因此正确的结论：①③④
故答案为：①③④
【点睛】本题考查圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键．
11．5
【分析】直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
即可知道点到点A，B，C的距离相等，
如下图：
，
，
故答案是：5．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆的外心，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
12．
【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
13．
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：.
14．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；
（2）由题意可得，过O点作垂直直线，交于点M，当时，，则时，直线，上存在点P,使点P为正方形的“关联点”；
(3)由题意可得，当T点在x轴负半轴上时，过点T作交于点L，交圆于点K，当时，，此时，当T点在x轴正半轴上时，当时，此时，则时，线段上存在点P,使点P为⊙T的“关联点”.
【详解】（1）解：，
（2）解：∵，四边形是正方形，
∴，
过O点作垂直直线，交于点M，
当时，，
，
∵，
∴时直线上存在点P使P为正方形的关联点．
（3）解： ∵⊙T的圆心为半径为1，
∴
当T点在x轴负半轴上时，过点T作交于L交于K，交y轴于H
当时，
∵，，
∴，，
在中，
∵，，
∴
有∵
∴
∴
∴
此时
当T点在x轴正半轴上时，当，此时，
∴时，线段上存在点P，使点P为的“关联点”．
【点睛】本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义，则，最后根据，，即可证明；
（2）连接，可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度，通过证明，即可根据相似三角形对应边成比例求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图：连接，
∵为直径，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
16．(1)；
(2)见解析．
【分析】（1）连接，由与相切于点A，与相切于点D，得到，由切线长定理得：，由勾股定理求出，即可得到的半径．
（2）连接，交于点H，由是的直径，得到．根据与分别相切于点A，D，证得．得到．即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：连接，如图．
∵在中，
∴与相切于点A，．
∵是的半径，与相切于点D，
∴．
∴．
∵，
∴由切线长定理得：，由勾股定理得：．
∴ ．
∴的半径是．
（2）证明：连接，交于点H，如图．
∵是的直径，
∴．
∵与分别相切于点A，D，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴ 四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
17．(1)、
(2)或
(3)
【分析】（1）根据等积点的定义进行判断即可；
（2）先求出点M的等积点一定在直线，再根据点M的等积点N在双曲线上，求出直线与双曲线的交点坐标即可；
（3）根据点M的等积点在直线上，点P的等积点在直线上，从而得出点A的等积点在直线和直线于第一象限交成的锐角的内部或边上，画出图形求出边界点的坐标，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴是M的等积点；
∵，
∴不是M的等积点；
∵，
∴是M的等积点；
故答案为：、；
（2）解：设点M的等积点为，则，
即，
∴点M的等积点一定在直线，
又∵点M的等积点N在双曲线上，
∴联立，
解得：，，
点N的坐标为或．
（3）解：根据解析（2）可知，点M的等积点在直线上，
设点P的等积点为，则，即，
∴点P的等积点在直线上，
∵点A在线段上，
∴点A的等积点在直线和直线于第一象限交成的锐角的内部或边上，
点Q在直线上，直线与的交点为，与直线的交点，与x轴的交点，
∴，
，，
如图，当正好与直线相切于点F时，上一定存在点A的等积点，当正好与直线相切于点E时，上一定存在点A的等积点，且圆心Q在与之间时，上一定存在点A的等积点，
连接，，则，
∵直线与相切于点E，直线与相切于点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
此时，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
此时，
∴a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，求直线与双曲线的交点坐标，切线的性质，勾股定理，坐标特点，解题的关键是理解题意，作出相应的图形，求出边界点的坐标．
18．(1)①点②
(2)
【分析】（1）①根据斜关联的定义，将点先向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可得到与点成“斜关联”的点；②先求出线段的“斜关联”线段，使它与双曲线有交点，从而求出的取值范围；
（2）先求出直线的“斜关联”直线，使它与至少有一个交点，利用临界条件相切，再利用相似求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：①将点先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到：，与点相同，
∴点与点成“斜关联”；
②点 “斜关联”坐标为，点“斜关联”坐标为，
∴线段与线段成“斜关联”，
∵线段与双曲线成“斜关联”，
∴线段与双曲线相交，如图所示：
线段所在直线解析式为，将代入双曲线，得到，
∵交点落在点和之间，
∴，
解得：；
（2）将直线先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到直线，整理得，
∴直线：与直线：成“斜关联”，
∵与直线成“斜关联”，
∴直线与至少有一个交点，
设直线与轴，轴分别交于点，点，当与直线相切于点时，在直线右侧，连接，如图所示，则：，
直线：，令，则，
∴点，
令，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：；
当与直线相切于点时，在直线左侧，连接，如图所示：
同理可得，
∴，即；
综上所述：．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，反比例函数的综合应用，切线的性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握“斜关联”的定义，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
19．(1)①，；②当时，直线上存在线段的融合点
(2)或
【分析】（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域，则当直线与两圆相切时是临界点，据此求解即可；
（2）先推理出的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与内切，外切时a的值即可得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示，根据题意可知，是线段的融合点，
故答案为；，；
②如图1所示，设的垂直平分线与线段的交点为Q，
∵点Q在线段的垂直平分线上，
∴，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，的长为半径的圆上，
∴当点Q在上移动时，此时点P的轨迹即线段的融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域．
当直线与两圆相切时，记为，，如图2所示．
∵，，
∴,
∴或．
∴当时，直线上存在线段的融合点．
（2）解：如图3-1所示，假设线段位置确定，
由轴对称的性质可知，
∴点在以T为圆心，的长为半径的圆上运动，点在以T为圆心，以的长为半径的圆上运动，
∴的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；
当时，
如图3-2所示，当以T为圆心，为半径的圆与外切时，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
如图3-3所示，当以为圆心，为半径的圆与内切时，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴时，存在直线，使得上有的融合点；
同理当时，
当以T为圆心，为半径的圆与外切时，
∴，
∴，
∴，
∴（正值舍去）；
当以为圆心，为半径的圆与内切时，
∴，
∴，
∴，
∴（正值舍去）；
∴时，存在直线，使得上有的融合点；
综上所述，当或时存在直线，使得上有的融合点．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等等，正确推理出对应线段的融合点的轨迹是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，根据半径相等，等边对等角得出，等量代换可得，即可得证；
（2）连接交于点，连接，勾股定理求得，垂径定理求得，进而勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵直线与相切于点．
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：如图，连接交于点，连接，
∵是的直径，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)；
【分析】（1）根据圆周角定理得出，由，即可得证；
（2）根据平行线的性质得出，根据（1）的结论得出，即可求得，根据是的切线，在中，勾股定理求得的长，继而求得，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∵是的切线，
∴．
∵，
∴
在中，由勾股定理，得．
∴．
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)①、；②k的值是.
(2)
【分析】（1）①根据题意得到P为MN的中点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，再根据点到圆心的距离进行判断即可；②由①可知, 点P在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心为,过点D作垂直直线于点F，求得，，，证明，根据相似性质列式计算即可得到答案；
（2）由（1）可知点P在以为直径的圆上，直线上存在关于的“折弦点”，则直线与相交或相切，分两种情况利用勾股定理求出b的最大值和最小值即可．
【详解】（1）
解：①如图，∵P为MN的中点，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的圆上，
∵，
∴点P在以为圆心，1为半径的圆上，
∵，，，
∴点，在该圆上，不在该圆上，
∴点，是关于的“折弦点”
故答案为，
②由①可知, 点P在以为圆心，1为半径的圆上，
设圆心为,
∵直线（）上只存在一个关于的“折弦点”，
∴直线（）与相切，
过点D作垂直直线于点F，
当，，解得，当，，
∴直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）由（1）可知点P在以为直径的圆上，
∵直线上存在关于的“折弦点”，
∴直线与相交或相切，
点D作垂直直线于点F，
∵直线与y轴交于点，与x轴交于点，
当点C与点A重合时，b有最大值，此时,
∴,
解得或（舍去），
当点C与点B重合时，b有最小值，此时,
∴,
解得（舍去）或
∴ 当时，直线上存在关于的“折弦点”.
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，圆的切线性质定理，弄清定义，会画图分析是解题的关键.
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，根据，可得，即可得证；
（2）过点作于点，得出四边形是矩形，进而得出，根据（1）可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，点为的中点，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴是的切线；
（2）如图，过点作于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据同角的余角相等证明结论；
（2）根据题意画出图形，根据切线的性质得到，进而得到，根据正切的定义、勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴∠ADC=∠ABD；
（2）∵PD是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠PDC=∠DOC，
∵，
∴即，
设，则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，互余的性质，切线的性质，勾股定理和正切三角函数，熟练掌握切线的性质，三角函数是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)CD=2
【分析】（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求证；
（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，CE=，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴BC=BD
∴∠CAB=∠DAB
∵AM是∠DAF的平分线
∴∠DAM=∠DAF
∵∠CAD+∠DAF=180°
∴∠DAB+∠DAM=90°
即∠BAM=90°，AB⊥AM
∴AM是⊙O的切线
（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM
∴CD//AM
∴∠ANC=∠OCE=30°
在Rt△OCE中，OC=2
∴OE=1，CE=
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CD=2CE=2．
【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接半径OC，证明OC⊥CD；
（2）先证明平行线，证明△ADE∽△DCE．
【详解】（1）证明：
连接OC，
∵ OA=OC ，
∴ ∠OCA=∠A .
∵∠BCD=∠A ，
∴ ∠OCA=∠BCD .
∵ AB是⊙O的直径 ，
∴ ∠ACB=90 ，即∠OCA+∠OCB=90 .
∴ ∠BCD+∠OCB=90 .
∴ OC⊥CD .
又∵ CD经过半径OC的外端 ，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解 ∵ DE⊥AC ，
∴ ∠E=90
∴ ∠ACB=∠E ，
∴ BC∥DE，
∴ ∠BCD=∠CDE，
∵∠BCD+∠BOC =90 ，∠ACO+∠BOC =90 ，
∴∠BCD=∠ACO，
∵∠A=∠ACO，
∴ ∠A=∠CDE，
∴△ADE∽△DCE，
∴ 即，
∴ AE=8，
∴ AC=AE－CE=8－2=6．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形相似的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定，灵活运用三角形相似，圆周角定理是解题的关键．
27．（1）0，；（2）；（3）
【分析】（1）根据新定义，即可求解；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；
（3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．
【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)．
∴，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，
∴d（A，⊙O）＝，
∴d（B，⊙O）＝；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，
∵点A(，0)，B(0，)．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴，
∵d（⊙O，线段AB）=0，
∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，
∴r的取值范围是，
（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ，
∵点A(，0)，B(0，)．
∴ ，
∴ ，
∴∠OAB=60°，
∵C(m，0)，
当点C在点A的右侧时， ，
∴ ，
∴ ，
∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1，
∴ ，解得： ，
当点C与点A重合时， ，
此时d（⊙C，线段AB）=0，
当点C在点A的左侧时， ，
∴
，
∴ ，解得： ，
∴．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．
28．(1)C
(2)
(3)
【分析】（1）作出图形，根据切线的定义结合“关联点”即可求解；
（2）根据题意，为等边三角形，则仅与相切时，和有“关联点”，进而求得半径r的取值范围；
（3）根据关联点以及切线的性质，直径所对的角是直角，找到点的运动轨迹是以为圆心半径为的半圆在轴上的部分，进而即可求得的值．
【详解】（1）解：如图，
，，，,
，轴,.
的半径为2，
直线与相切
直线l和的“关联点”是点
故答案为：
（2）如图，根据题意与有“关联点”，则与相切，且与相离
,
是等边三角形
为的中点，则
当与相切时，则点为的内心
半径r的取值范围为：
（3）如图，设和直线m的“关联点”为，，交轴于点，
是的切线，
的圆心为点，半径为t，
轴是的切线
点的运动轨迹是以为圆心半径为的半圆在轴上的部分，则点，
在直线上，
当直线与相切时，即当点与点重合时，最大，
此时与轴交于点，
当点运动到点时，则过点，
则
解得
b的取值范围为：
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，一次函数与坐标轴交点问题，等边三角形的性质，等边三角形的内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．
